精品解析：河北石家庄精英中学2025-2026学年高一下学期第二次调研考试数学试题

石家庄精英中学2025~2026学年第一学期第二次调研考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：必修第二册. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，下列与方向相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 所以与方向相同的向量坐标为， 又，故C正确. 2. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. 1 C. D. i 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数的乘方计算求解. 【详解】. 故选：A. 3. 在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱台 C. 四棱锥 D. 三棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】由棱台和棱锥的结构特征判断即可. 【详解】如图所示，在三棱台中， 截去三棱锥后得到的是四棱锥. 故选：C. 4. 设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立； 当且时，设存在直线，且， 因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可得，所以，即必要性成立， 故“”是“且”的必要不充分条件． 故选：A． 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得圆锥底面半径和高，由此求得圆锥的体积. 【详解】设圆锥底面半径为，高为，母线长为，则， 底面周长，所以， 所以圆锥的体积为. 故选：B 6. 若是异面直线，下列四个命题中正确的是（ ） A. 过不在上任一点，必可作直线与都平行 B. 过不在上任一点，必可作直线与都相交 C. 过不在上任一点，必可作平面与都平行 D. 过可以并且只可以作一个平面与平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线的定义、平面的基本性质及线面平行的判定定理逐项判断即可. 【详解】如图， ，是异面直线，设不在，上的任意一点为． 假设过点可作直线，，则．这与已知，是异面直线相矛盾．所以假设不成立，即不存在过点的直线与，都平行．故A错误； 若点或（P不在直线上），则不能够作直线与，都相交，故B错误； 若点或，则不能够作平面与，都平行，故C错误； 在直线上取，点，过，分别作直线，与直线平行，，可确定平面， 即平行于，此时在平面上，故D正确． 7. 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面去截半径为的半球，且球心到平面的距离为，则平面与半球底面之间的几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求得面截圆锥时所得小圆锥的体积和平面与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果. 【详解】平面截圆柱所得截面圆半径， 平面截圆锥时所得小圆锥的体积， 又平面与圆柱下底面之间的部分的体积为 根据祖暅原理可知：平面与半球底面之间的几何体体积. 故选：C. 8. 如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为2的正三角形，则原图中边在轴上的射影长度为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由斜二测画法还原直观图，利用正弦定理求解即可. 【详解】由题意，过点作轴，交轴于点，还原后的图形如图． 在中，， 又因为== 所以， 故 ，故C正确． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若复数是方程的一个根，其中，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】因为复数是方程的一个根， 所以复数是方程的另一个根， 所以，且， 即，． 10. 下列命题正确的是（ ） A. 棱柱的侧面一定是平行四边形 B. 用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台 C. 空间中不同的三点可以确定唯一平面 D. 过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行 【答案】AD 【解析】 【分析】根据圆锥和圆台的结构特征即可求解AB，根据空间中点线面的关系即可求解CD. 【详解】对于A, 棱柱的侧面一定是平行四边形,A正确， 对于B，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台，故B错误， 对于C, 空间中不在同一直线上的不同的三点可以确定唯一平面，C错误， 对于D, 过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行,D正确， 故选：AD 11. 已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 复数满足，则的最大值为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数对应点，复数的模，复数的虚部，复数模的几何意义求解即可. 【详解】复数在复平面内对应的向量，则． 的虚部为，故A，C正确，B错误； 由复数满足，所以点的集合是以点为圆心，以1为半径的圆， 所以，故D正确． 12. 如图，在直三棱柱中，分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥后所得的几何体记为，则（ ） A. EG与为异面直线 B. 有13条棱 C. 有7个顶点 D. 平面平面EFG 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用异面直线的定义容易判断A项；对于B,C两项，只需按一定顺序去数即得；对于D项，需要运用线面平行推理得到面面平行即可. 【详解】对于A项，因平面，平面且, 平面,故EG与为异面直线,故A项正确； 对于B项，组成几何体的棱有；；共13条棱，故B项正确； 对于C项，几何体的顶点有共8个，故C项错误； 对于D项，如图，取中点，连接, 因,则是的中点， 又分别为所在棱的中点，故得, 因,则得,故, 则,又平面,而平面,故平面； 易证,且,故得,则, 故,又平面,而平面,故平面； 又,故得平面平面,故D项正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查空间想象能力和面面平行的判定方法，属于较难题. 解题的思路即是，要充分理解和把握异面直线的定义，同时在统计顶点数和棱的条数时，应按照一定的顺序进行，才能不重不漏，至于面面平行的判断，只需按照判定定理，在一个平面内寻找两条相交且与另一个平面平行的直线即得. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 复数的辐角主值为________. 【答案】 【解析】 【分析】 先化复数三角形式，再根据辐角主值定义得结果. 【详解】因为，所以辐角主值为. 故答案为： 【点睛】本题考查复数辐角主值定义、复数三角形式，考查基本分析求解能力，属基础题. 14. 某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点A与，现测得，，米，在点A处测得塔顶的仰角为，则塔高为_________米． 【答案】 【解析】 【分析】在中利用正弦定理可得，再由可计算出米. 【详解】根据题意可知，在中，，可得； 利用正弦定理可得，即； 又在点A处测得塔顶的仰角为，即， 所以， 即塔高为米. 故答案为： 15. 正六棱台上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的体积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由正六边形性质求相应长度和面积，借助于轴截面求高，进而可得体积. 【详解】对于正六棱台， 由正六边形性质可知，， 且上、下底面面积分别为， 根据轴截面，可知为等腰梯形， 则高，即正六棱台的高为， 所以正六棱台的体积是. 故答案为：. 16. 如图，在长方体中，是棱上的一个动点，过三点的平面截长方体所得截面的周长的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】作辅助线，得出截面图形，再由侧面与沿着展开，利用两点间距离最短求周长最小值. 【详解】在长方体的棱上取一点，满足，连接，． 因为，，，所以，同理可证． 则四边形为平行四边形，且是过，，三点的平面截长方体所得截面,则周长．将侧面与沿着展开，得侧面展开图如图, 当，，三点共线时，有最小值，． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知，在复平面内，复数对应的点分别为． （1）求； （2）已知四点组成平行四边形，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的夹角公式求解即可； （2）利用向量，求点的坐标即可. 【小问1详解】 由题意，，，， 故，，，， 则， 即． 【小问2详解】 因为四点，，，组成平行四边形，所以． 设，则 , 即，解得，即． 18. 如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得证； （2）根据棱锥体积之间的关系及体积公式求解. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为，且，所以． 又因为，则，所以， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为DE＝2EP，所以， 所以． 所以． 19. 一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内部有一个高为的内接圆柱. （1）求该圆锥的表面积； （2）用表示圆柱的轴截面面积；当为何值时，求最大值. 【答案】（1） （2）；当时， 【解析】 【分析】（1）利用圆锥的侧面积公式，圆锥的底面积公式，圆锥的表面积公式求解； （2）设圆柱的底面半径为，利用三角形相似得到，解得，求出圆柱的轴截面面积，得到是的二次函数，利用二次函数的图象和性质求解. 【小问1详解】 设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，， ， 则圆锥的侧面积为， 圆锥的底面积为， 则圆锥的表面积； 【小问2详解】 设圆柱的底面半径为，则由三角形相似得到，解得， 则圆柱的轴截面面积为， 对称轴为，当时，. 20. 在中，内角的对边分别为，若，且． （1）求角； （2）若点为线段上的一点，且，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化后，再由三角恒等变换后求解； （2）利用中线的向量表示，平方后求出，再由三角形面积公式得解. 【小问1详解】 依题意由正弦定理得， 即． 因为，所以． 所以，即． 【小问2详解】 因为， , 所以，两边平方， 得, 即 ， 可得， 又，所以代入方程，可解得． 所以的面积. 21. 如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且. （1）记平面平面，证明：； （2）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证. （2）连接交于，连接，取中点，过作的平行线交于，连接，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得出结论. 【小问1详解】 在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. 【小问2详解】 在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下：连接交于，连接，则为中点， 取中点，又，则， 过作的平行线交于，连接，在中，有， 由平面PAC，平面PAC，得平面PAC，而，则， 又，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又，得平面，所以存在，且. 22. 由复数的三角形式，若复数，在复平面内对应的向量分别为、，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍．请根据所学知识，回答下列问题． （1）在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转角至点，证明：点的旋转坐标公式 （2）已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点，点，以为边作等边，且在边的上方．求线段长度的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据复数的三角形式，利用复数相等求解； （2）利用向量旋转公式及向量的模的计算公式求解. 【小问1详解】 由复数乘法的几何意义， 得 ， 即 ， 所以， 【小问2详解】 根据图形的对称性，不妨设点在轴及上方． 设，，． 则将向量绕点顺时针旋转得到向量． 由旋转坐标公式，得， 所以， 则 ， 所以当时，取得最大值3， 故线段长度的最大值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄精英中学2025~2026学年第一学期第二次调研考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：必修第二册. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，下列与方向相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. 1 C. D. i 3. 在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱台 C. 四棱锥 D. 三棱柱 4. 设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 若是异面直线，下列四个命题中正确的是（ ） A. 过不在上任一点，必可作直线与都平行 B. 过不在上任一点，必可作直线与都相交 C. 过不在上任一点，必可作平面与都平行 D. 过可以并且只可以作一个平面与平行 7. 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面去截半径为的半球，且球心到平面的距离为，则平面与半球底面之间的几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为2的正三角形，则原图中边在轴上的射影长度为（ ） A. B. C. D. 3 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若复数是方程的一个根，其中，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 棱柱的侧面一定是平行四边形 B. 用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台 C. 空间中不同的三点可以确定唯一平面 D. 过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行 11. 已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 复数满足，则的最大值为6 12. 如图，在直三棱柱中，分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥后所得的几何体记为，则（ ） A. EG与为异面直线 B. 有13条棱 C. 有7个顶点 D. 平面平面EFG 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 复数的辐角主值为________. 14. 某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点A与，现测得，，米，在点A处测得塔顶的仰角为，则塔高为_________米． 15. 正六棱台上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的体积是____________． 16. 如图，在长方体中，是棱上的一个动点，过三点的平面截长方体所得截面的周长的最小值为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知，在复平面内，复数对应的点分别为． （1）求； （2）已知四点组成平行四边形，求点的坐标． 18. 如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 19. 一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内部有一个高为的内接圆柱. （1）求该圆锥的表面积； （2）用表示圆柱的轴截面面积；当为何值时，求最大值. 20. 在中，内角的对边分别为，若 ，且． （1）求角； （2）若点为线段上的一点，且，，求的面积． 21. 如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且. （1）记平面平面，证明：； （2）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 22. 由复数的三角形式，若复数 ， 在复平面内对应的向量分别为、，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍．请根据所学知识，回答下列问题． （1）在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转角至点，证明：点的旋转坐标公式 （2）已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点，点，以为边作等边，且在边的上方．求线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $