第29讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用，依据高考评价体系梳理了图象变换、解析式求解、综合应用三大核心考点，通过真题分析明确综合应用占比达45%的高频考查方向，归纳出五点作图、图象变换、由图求解析式等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于真题驱动与素养导向的结合，如以2023新课标Ⅱ卷真题为例，用五点法和换元法（数学思维）破解解析式问题，通过单位圆运动建模（数学语言）培养应用意识。特设易错点分析与答题模板，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准定位学情，提升复习效率。

第29讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 考点一　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 [例1]　已知函数f(x)=2sin(x-). (1)用五点作图法作出f(x)在一个周期内的简图； [解]　列表如下 0 π 2π x 2π 5π f(x) 0 2 0 -2 0 描点、连线得f(x) 的图象如图所示. (2)函数y=f(x)的图象可以由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到? [解]　将y=sin x 的图象上的所有点向右平移 个单位长度,得到函数y=sin(x-)的图象,再将y=sin(x-)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(x-)的图象,再将y=sin(x-)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数f(x)=2sin (x-)的图象. 方法总结 作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象 常用的两种方法 1.五点法:通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,,2π求出相应的x,通过列表计算得出五点的坐标,描点后得出图象. 2.图象变换法:由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径,即“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 跟踪训练 1.先将函数f(x)=sin(4x+)的图象向右平移个最小正周期,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则g(x)=(　　) A.sin(2x-)　　　　　　 B.sin(8x-) C.sin(2x+) D.sin(8x+) A 解析:函数f(x)=sin(4x+)的最小正周期为T==,将函数f(x)的图象向右平移个最小正周期,可得到函数y=sin[4(x-)+]=sin(4x-)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象, 故g(x)=sin(·4x-)=sin(2x-). 2.(2026·山东济南质检)为了得到函数y=2cos(2x-)的图象,只需将函数y=2sin x(　　) A.图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位长度 B.图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移个单位长度 C.图象向右平移个单位长度,再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 D.图象向左平移个单位长度,再将所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变 A 解析:y=2sin x=2cos(x-), 将y=2cos(x-)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变, 得到函数y=2cos(2x-)的图象, 再将所得图象向右平移个单位长度, 得到函数y=2cos[2(x-)-]=2cos(2x-)的图象,故A正确,B错误; 将函数y=2cos(x-)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=2cos(x--) =2cos(x-)的图象, 再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=2cos(2x-)的图象,故C,D错误. 考点二　函数y=Asin(ωx+φ)的解析式问题 [例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点.若|AB|=,则f(π)=　　　　　.  - [解析]　对比正弦函数y=sin x 的图象易知,点(,0)为“五点法”中的第五个点,所以ω+φ=2π. 由题知|AB|=xB-xA=,两式相减,得ω(xB-xA)=,即ω=,解得ω=4, 则×4+φ=2π,得φ=-,所以f(x)=sin(4x-), 所以f(π)=sin(4π-)=-sin =-. 方法总结 根据三角函数的图象求解析式,重在对A,ω,φ 的理解,主要从以下三个方面考虑: 1.根据最大值或最小值求出A的值. 2.根据最小正周期求出ω 的值. 3.求φ 的常用方法:(1)代入法； (2)五点法. 跟踪训练 3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=2sin(x+) B.f(x)=2sin(x+) C.f(x)=2sin(x-) D.f(x)=2sin(x-) D 解析:由题图可得,函数f(x)的最大值为2,最小值为-2,故A=2,f(x)图象的两个相邻的对称中心分别为(-2,0),(6,0),所以函数f(x)的最小正周期T=2×[6-(-2)]=16,所以ω===,所以f(x)=2sin(x+φ). 由点(-2,0)在函数图象上可得f(-2)=2sin[×(-2)+φ]=2sin(φ-)=0,又点(-2,0)在函数图象的下降段上,所以φ-=π+2kπ(k∈Z),解得φ=2kπ+(k∈Z).因为|φ|<π,所以k=-1,φ=-,所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(x-). 考点三　函数y=Asin(ωx+φ)的综合应用 角度1　图象与性质的综合问题 [例3]　(1)(多选)已知函数f(x)=sin(ωx+)+b(0<ω<1)的图象关于点(,1)中心对称,将曲线y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短至原来的(纵坐标不变),再向下平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则(　　) A.f(x)=sin(x+)+1 B.g(x)=sin(x+) C.函数g(x)的图象关于直线x=-对称 D.函数g(x)的图象在区间(-,)内单调递增 [答案]　AD [解析]　由函数f(x)=sin(ωx+)+b的图象关于点(,1)中心对称,可得b=1,f()=1, 即sin(ω+)=0, 解得ω+=kπ,k∈Z, ∴ω=-+,k∈Z. 又∵0<ω<1,∴ω=, ∴f(x)=sin(x+)+1,故选项A正确. 将f(x)图象上所有点的横坐标缩短至原来的,得到y=sin(x+)+1,再向下平移1个单位长度,得到g(x)=sin(x+),故选项B错误. g(x)=sin(x+)的对称轴需满足x+=+kπ,k∈Z, 即x=+kπ,k∈Z,不存在整数k使x=-,故选项C错误. 当x∈(-,)时,x+∈(-,),由正弦函数的单调性可知,g(x)在区间(-,)内单调递增,故选项D正确. (2)已知关于x的方程2sin2x-sin 2x+m-1=0在(,π)上有两个不同的实数根,则实数m的取值范围是　　　　.  [解析]　方程2sin2x-sin 2x+m-1=0可转化为m=1-2sin2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x=2sin(2x+),x∈(,π).设2x+=t,则t∈(,),所以题目条件可转化为=sin t,t∈(,)有两个不同的实数根,即为y=和y=sin t,t∈(,)的图象有两个不同交点,由图可知,的取值范围是(-1,-),故实数m的取值范围是(-2,-1). (-2,-1) 方法总结 1.研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可以将“ωx+φ”视为一个整体,利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性、最值等. 2.与三角函数相关的方程根的问题、零点问题等,常通过函数与方程思想化为图象交点问题,再借助图象分析. 角度2　三角函数的实际应用 [例4]　(2026·广东佛山模拟)如图所示,单位圆O绕圆心 做逆时针匀速圆周运动,角速度大小为2π rad/s,圆上两点 A,B始终满足∠AOB=随着圆O的旋转,A,B两点的位置 关系呈现周期性变化.现定义:A,B两点的竖直距离为A,B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻,即t=0 s时,点A位于圆心正 下方,则t=　　　　　s时,A,B两点的竖直距离第一次为0;A,B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f(t)=　　　　　　　.  |sin(2πt+)| [解析]　以O为原点,以OA所在直线为y轴,过点O且垂直于OA的直线为x轴,建立平面直角坐标系(图略),由于角速度ω=2π rad/s, 设点A(cos(2πt-),sin(2πt-)),圆上两点A,B始终保持∠AOB=, 则B(cos(2πt+),sin(2πt+)),要使A,B两点的竖直距离为0, 则sin(2πt-)=sin(2πt+),第一次为0时,4πt-=π,解得t=, f(t)=|sin(2πt+)-sin(2πt-)| =|sin 2πt+cos 2πt+cos 2πt| =|sin 2πt+cos 2πt| =|sin(2πt+)|. 方法总结 利用三角函数模型解决实际问题的步骤 1.寻找与角有关的信息,确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型. 2.寻找数据,建立函数解析式进行解题. 3.将所得结果“翻译”成实际答案,要注意根据实际作答. 跟踪训练 4.三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式,其瞬时电流i(单位:A)与时间t(单位:s)满足函数关系式:i=Imsin(ωt+φ0)(其中Im为供电的最大电流,单位: A;ω表示角速度,单位:rad/s;φ0为初始相位),该三相交流电的频率f(单位:Hz)与周期T(单位:s)满足关系式f·T=1.某实验室使用5 Hz的三相交流电,经仪器测得在t=0.05s与t=0.2s的瞬时电流之比为,且在t=1s时的瞬时电流恰好为1A.若φ0∈(0,),则该实验室所使用的三相交流电的最大电流为(　　) A.2A B. A C.3 A D.2.5 A A 解析:由题意f=5,∴T=,∴=, ∴ω=10π,从而i=Imsin(10πt+φ0). ∵在t=0.05s与t=0.2s的瞬时电流之比为, ∴Imsin(10π×0.05+φ0)=Imsin(10π×0.2+φ0),∴sin(+φ0)=sin(2π+φ0), ∴cos φ0=sin φ0,即tan φ0=. ∵φ0∈(0,),∴φ0=,从而i=Imsin(10πt+). ∵在t=1s时的瞬时电流恰好为1A, ∴1=Imsin(10π+),即1=Imsin,解得Im=2. 5.(多选)(2026·山西临汾模拟)如图是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象,下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期是π B.点(,0)是函数f(x)图象的一个对称中心 C.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴 D.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得图象对应的函数是偶函数 AB 解析:由题图可得=-=,所以T=π,即函数f(x)的最小正周期是π,故A正确; 则T==π,解得ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ), 又f()=2sin(+φ)=2,所以+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z, 因为|φ|<,所以φ=, 所以f(x)=2sin(2x+), 又f()=2sin(2×+)=2sin π=0,所以点(,0)是 函数f(x)图象的一个对称中心,故B正确; 因为f()=2sin(+)=2cos=, 所以直线x=不是函数f(x)图象的一条对称轴,故C错误; 将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到y=2sin[2(x-)+]=2sin(2x-), 显然y=2sin(2x-)为非奇非偶函数,故D错误. $