函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用 课件-2027届高三数学一轮复习

第27讲 函数 及三 角函数模型的应用 1 1.结合具体实例,了解 的实际意义;能 借助图象理解参数 , , 的意义,了解参数的变化对函数图象的影响. 2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻 画事物周期变化的数学模型. 课 标 要 求 2 1.用五点法画 在一个周期内的简图 时,要找五个特征点,如表所示： _ ___ _ ____ _____ _ ____ _ _____ ___ __ ___ _ __ ____ 0 A 0 0 0 ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 3 2.函数的图象经变换得到 的图象的步骤#2 课 前 基 础 巩 固 4 3. 的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 _ __ ___ _______ ___ 课 前 基 础 巩 固 5 题组一 常识题 1.［教材改编］函数 的振幅、频率和初相分别为 ________. 2,, [解析] 由振幅、频率和初相的定义可知,函数 的振 幅为2,频率为,初相为 . ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 6 2.［教材改编］用“五点法”作 的图象时，描出的五 个点的横坐标依次是_ _______________. ,, ,, [解析] 当分别取0,, ,, 时，的值分别为 ,, , , ，故用“五点法”作图时，描出的五个点的横坐标依次是 , , , , . 课 前 基 础 巩 固 7 3.［教材改编］为了得到函数 的图象,只需把 的图象向右平移_ __个单位长度. [解析] 由于函数,故把 的图象向右平移个单位长度得到函数 的图象. 课 前 基 础 巩 固 8 4.［教材改编］如图，某地一天 时的温度变化曲线为函数 的图象的一部分，则 这段曲线的函数解析式为_ _________________________________. ， 课 前 基 础 巩 固 9 [解析] 从题图中可以看出， 时的温度 变化曲线是函数 在半个 周期内的图象，所以 ， ， 又，所以 . 又 ，, ，所以 ， 所以所求解析式为， . 课 前 基 础 巩 固 10 题组二 常错题 ◆ 索引：搞错图象应平移多少个单位长度致误;不能正确理解三角 函数图象对称性的特征致误;不能准确确定函数解析式致误. 5.为了得到函数的图象,可以将函数 的 图象向____平移__个单位长度. 右 [解析] ,故将函数 的 图象向右平移个单位长度即可得到函数 的图象. 课 前 基 础 巩 固 11 6.若对任意实数 都有 ,且,则实数 _________. 或 [解析] 由得，直线为函数 的图象的一 条对称轴,故当时,函数 取得最大值或最小值,则 或,解得或 . 课 前 基 础 巩 固 12 7.已知 的部分图象如图 所示，则 _ ___. 课 前 基 础 巩 固 13 [解析] 设的最小正周期为 ，由题图可得 ，，解得 . 又，解得. 因为的图象经过点 ，所以 ， 即 ， ，又，故 ， 故 ，所以 . 课 前 基 础 巩 固 14 探究点一 函数 的图象变换 例1（1）将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到 原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移 个单位长度， 则得到的图象对应的函数解析式为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］利用三角函数图象的平移、伸缩变换即可求解； √ 课 堂 考 点 探 究 15 [解析] 将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原 来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为 ， 再将所得图象向左平移 个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 16 （2）[2025·湖北“新八校”协作体5月联考]将函数 的图象向左平移 个单位长度后与函数 的图象重合，则 的最小值为( ) A.4 B.5 C.6 D.8 ［思路点拨］利用图象平移法则及诱导公式，得到将函数 的图 象向左平移 个单位长度后所得图象对应的函数为 ，再结合条件得到 , ，即 可求解. √ 课 堂 考 点 探 究 17 [解析] 将函数的图象向左平移 个单位 长度后，得到 的图象， 由题知, ，即 ,，又，故取，可得 的最小值为4， 故选A. 课 堂 考 点 探 究 18 [总结反思] 由的图象变换到 的图象,两 种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是 个单位长度; 先伸缩再平移,平移的量是 个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩 变换都是针对,而言的,例如左右平移时，依赖于 本身加减多少值, 而不是依赖于 加减多少值. 课 堂 考 点 探 究 19 变式题（1）函数 的图象可以由( ) A.的图象向右平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横 坐标变为原来的 （纵坐标不变）得到 B.的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横 坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到 C.的图象上各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再把 所得图象向右平移 个单位长度得到 D. 的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 再把所得图象向左平移 个单位长度得到 √ 课 堂 考 点 探 究 20 [解析] 对于A，将的图象向右平移 个单位长度，得到 的图象，再将 的图象上各点的横坐标 变为原来的（纵坐标不变），得到 的图象，故A错误； 对于B，将的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象，再将 的图象上各点的横坐标 变为原来的2倍（纵坐标不变），得到 的图象，故B 错误； 课 堂 考 点 探 究 21 对于C，将的图象上各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变）， 得到的图象，再将 的图象向右平移个单位长度， 得到 的图象，故C正确； 对于D，将 的图象上各点的横坐标变为原来的2倍 （纵坐标不变），得到的图象，再将 的图象 向左平移个单位长度，得到 的图象， 故D错误.故选C. 课 堂 考 点 探 究 （2）已知函数，将 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数的图象，若 的图象与 的图象关于轴对称，则 的最小值为( ) A. B. C. D. √ [解析] 由题意知，要使 的 图象与的图象关于 轴对称，则 ， 所以 ,，故 ,，又 ，所以 ，故选B. 课 堂 考 点 探 究 23 探究点二 函数 的图象与解析式 例2（1）[2025·广西玉林重点中学二联]已知 A. B. C. D. 的部分图象如图所示，则 ( ) √ 课 堂 考 点 探 究 24 ［思路点拨］由题图可知以及函数 的最 小正周期 的值，利用周期公式可求得 的值， 然后将点 的坐标代入函数 的解 析式，结合 的取值范围求出 的值，由此 可得出函数 的解析式； 课 堂 考 点 探 究 25 [解析] 由题图可得，函数 的最小正 周期， . 将点的坐标代入函数 的解析式得 ，得 , ,，则，， .故选D. 课 堂 考 点 探 究 26 （2）已知函数 ， 如图，点,是直线与函数 的图象的 两个交点，若，则 ____. ［思路点拨］根据，两点间的距离以及三角函数的性质求出 ， 结合的图象过点求出 ，进而确定 的解析式，从而 求出 的值. 课 堂 考 点 探 究 27 [解析] 设,，由 可得 ， 令 ，得 或 , ， 结合题图可知，故 ， ， . 由题图可知 ， 课 堂 考 点 探 究 28 结合图象呈现的函数特征，可得 , ，解得 , ， , ， ， 故 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 根据三角函数的图象求解析式,关键在于对, , 的理解,主要从以 下三个方面考虑: （1）根据最大值或最小值求出 的值. （2）根据最小正周期求出 的值. （3）求 的常用方法如下:①代入法,把图象上的一个已知点的坐标 代入（此时要注意该点的位置）或把图象的最高点或最低点的坐标 代入；②五点法,确定 的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为 突破口. 课 堂 考 点 探 究 30 变式题（1）已知函数 的部分图象如图所示，其中 ，则 的 最小值为( ) A. B. C.2 D. √ 课 堂 考 点 探 究 31 [解析] 由题图知,所以 . 因为,所以 ，所以 . 作出正弦函数的图象，如图， , , 设函数 的最小正周期为, 的图象与曲线类比，可知 ，即. 因为 ，所以 ,所以，所以 的最小值为 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 32 （2）[2025·泉州四校模拟] 已知函数 的部 分图象如图所示，的图象与轴交于点 ，且 ，，，则 _____. [解析] 设函数的最小正周期为 ，由题图可知，则，所以 ，所以 . 由 及题图，得 ，，即 ， ， 课 堂 考 点 探 究 33 因为，所以 ，则. 因为 ，所 以，故， ， 故，解得 或 （舍去），所以 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 34 探究点三 函数 图象与性质的综合问题 例3 [2025·陕西西安中学二模] 某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时，列 表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 0 （1）请将上表数据补充完整，并写出函数 的解析式； 课 堂 考 点 探 究 35 ［思路点拨］根据表中数据可得函数 的最值、最小正周期和取 得最值时的 的值，进而可得答案； 解：由题意知，，故， 又 ，故 ， 表中数据补充完整为： 0 0 2 0 0 的解析式为 . 课 堂 考 点 探 究 （2）求图象的对称中心与 的单调递增区间； ［思路点拨］借助正弦函数图象的对称中心与正弦函数的单调递增 区间求解即可； 解：令 ，，解得，，所以 图 象的对称中心为， . 令， ，解得 ,，所以 的单调递增区间为 ， . 课 堂 考 点 探 究 37 （3）当时，求使成立的 的取值范围. ［思路点拨］由条件可得 ，然后解不等式即可. 解：由可得 ，所以 ,，解得 , ，所以使成立的的取值范围为 , . 课 堂 考 点 探 究 38 [总结反思] 三角函数的图象与性质综合问题的求解思路: （1）将函数整理成 或 的形式; （2）把 看成一个整体; （3）借助正弦函数或余弦函数 的图象与性质 （如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关 问题. 课 堂 考 点 探 究 39 变式题 （多选题）已知函数 的图象与 轴交 于点 ，两条相邻对称轴之间的距离为6，且相邻的最高点与最低 点之间的距离为10，则( ) A. B. C.图象的对称轴方程为, D.在上的取值范围为 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 40 [解析] ，因 为图象的两条相邻对称轴之间的距离为6，所以 ，得 ，故B正确； 因为 的图象上相邻的最高点与最低点之间的 距离为10，所以，可得 ，故A错误； 由，得，因为 ，所以 ，可得，故 ，则 ， 课 堂 考 点 探 究 41 ,， 则图象的对称轴方程为, ，故C正确； 由，得 ,所以 ，则，故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 探究点四 三角函数模型的简单应用 例4 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施， 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从 高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地 面的高度为，转盘直径为 ，设置有 48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客 在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 . 课 堂 考 点 探 究 43 （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 后距离地面的高度为 ，求在转动一周的过程 中，关于 的函数解析式； ［思路点拨］建立直角坐标系，根据已知条件结 合三角函数即可得到关于 的解析式； 课 堂 考 点 探 究 44 解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点 ，以 轴心为原点，与地面平行的直线为 轴建立直角 坐标系. 当时，游客甲位于点 ， 取以为顶点，以为始边，以 为终边的角为 . 根据摩天轮转一周大约需要 ，可知座舱转动的角速度约为 ， 由题意可得, . 课 堂 考 点 探 究 45 （2）求游客甲在开始转动 后距离地面的高 度； ［思路点拨］根据（1）的结果，把 代入即 可求解； 解：当时， ， 所以游客甲在开始转动后距离地面的高度约为 . 课 堂 考 点 探 究 46 （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里， 在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差 （单位：）关于 的函数解析式，并求高度差 的最大值（精确到0.1）. 参考公式与数据： ； ； . 课 堂 考 点 探 究 47 ［思路点拨］根据（1）的结果，结合题意分别计 算经过后甲、乙距离地面的高度和 ，并 利用参考公式化简高度差函数，根据 的取值范围， 结合三角函数的性质，即可求解. 课 堂 考 点 探 究 解：如图，甲、乙两人的位置分别用点, 表示， 则 . 经过 后甲距离地面的高度为 ，点相对于点 始终 落后 ，此时乙距离地面的高度为 ， 则甲、乙距离地面的高度差 ， 课 堂 考 点 探 究 49 利用 ，可得 ， . 当，即（或 ） 时，的最大值为 ， 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 三角函数模型的实际应用问题的类型及解题关键: （1）已知函数解析式（模型）,利用三角函数的有关性质解决问题,其 关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.（2）当函数解析式 未知时,需把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用 三角函数的有关知识解决问题,其关键是利用三角函数解析式中的相关 参数表示实际问题中的有关量,如周期、振幅、初相等,然后建立模型. 课 堂 考 点 探 究 51 变式题（1）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽 培.时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开 花时所需气温约为，气温上升到约 开始闭合，在花期内， 时钟花每天开闭一次.某景区种有时钟花，该景区6时 时的气温 随时间 （时）的变化趋势近似满足函数 ，则在6时 时中，赏花的最佳时段大致 为( ) A.7.3时时 B.8.7时 时 C.7.3时时 D.8.7时 时 √ 课 堂 考 点 探 究 52 [解析] 当时， .由 ，得 ，所以 ，解得 （时）. 由，得 ，所以 ，解得（时），故在6时 时中，赏花的 最佳时段大致为8.7时 时. 课 堂 考 点 探 究 53 （2）（多选题）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心 到水面的距 离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为， 与水平 正方向的夹角为.若筒车以角速度 沿逆时针方向转动，筒 车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间为 ，则下列说 法中正确的是( ) A. B. C. D. √ √ 课 堂 考 点 探 究 54 [解析] 由题可知，从筒车开始转动到盛水 筒第一次到达入水点 ，盛水筒转过的角 度小于 ，又筒车转动的角速度为 ，故 ，故A正确； 由题意可得，盛水筒到水面的距离（单位：）与经过的时间 （单位： ）之间的函数关系为， 令 ，得 ，解得 ，故 ， 课 堂 考 点 探 究 55 , ， ， 故D正确； ， ， ，故C错误； 由 ，可得，故B错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 例1 ［配例1使用］[2025·江苏南京二模]把函数 图象上所有 点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将图象上所有的点向右 平移个单位长度，得到函数的图象，则 ( ) A. B. C. D. √ 【备选理由】例1考查余弦函数图象的变换、求变换后图象对应的解 析式等知识； 教 师 备 用 习 题 57 [解析] 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），得到的图象对应的函数为 ， 再将的图象上所有的点向右平移 个单位长度，得到的图象对 应的函数为 .故选B. 教 师 备 用 习 题 例2 ［配例2使用］[2025·湖北武汉华中师大一 附中月考]已知函数 的图象 如图，点，两点均在 的图象上， 过，分别作轴的垂线，垂足分别为， ， A. B.1 C. D. 若平行四边形的面积为 ，则 ( ) √ 【备选理由】例2考查函数 的图象与解析式，考查 学生识图、用图解决问题的能力； 教 师 备 用 习 题 59 [解析] 由四边形 为平行四边形，点 ，， ，得 ， ， 由平行四边形的面积为 ，得 ，解得 . 由函数图象的对称性得函数的最小正周期为 ， 又 ，则 . 教 师 备 用 习 题 60 由，得 ，即 ， 又点在 图象处于上升趋势的部分， 故， ，得 ，， 又 ，则，因此 ， 所以 ， 故选D. 教 师 备 用 习 题 【备选理由】例3考查由图象确定余弦型函数的解析式， 考查函数的单调性，考查余弦型函数图象的对称中心，考 查方程根的个数等知识，考查学生综合运用知识分析解决问题的能 力及学生逻辑推理与数学运算的核心素养； 教 师 备 用 习 题 62 例3 ［配例3使用］（多选题）[2025·河北秦皇岛二模]已知函数 的部分图象如图所示，则下列 说法正确的是( ) A. B.点是 图象的一个对称中心 C.方程在区间 上有2026个实数解 D.若，则 的单调递增区间为 ， √ √ 教 师 备 用 习 题 63 [解析] 对于A，由函数图象可知， 的最小正周 期满足，即 ，所以 ， 又因为函数图象过点 ， 所以 ，结合图象可知 ，，解得 ，，又因为 ， 所以 ，故A正确. 教 师 备 用 习 题 64 对于B，，因为函数 图象的对称中心是 ，所以令 ，，可得， ， 当时，，所以点是 图象的一 个对称中心，故B正确. 对于C，令 ，得 ， . 教 师 备 用 习 题 ，时， ， ，则在区间上，，1， ， 1012，共有1013个； 当 ，时，， ，则在区间 上，，2， ，1012，共有1012个. 综上，方程在区间 上有 （个） 实数解，故C错误. 教 师 备 用 习 题 对于D，要使函数 有意义，则 ，又因为函数 在 上单调递减，所以要使函数 单调递增， 只需函数单调递减，且 ， 所以 ， ，解得 ，，所以 的单调 递增区间为， ，故D错误. 故选AB. 教 师 备 用 习 题 例4 ［配例3使用］（多选题）[2025·河南豫东部分名校三模]函数 的图象如图所示，将 的图象 向左平移个单位长度，得到 的图象，则下列说法正确的是 ( ) A. B.函数的图象关于点 对称 C.函数的图象关于直线 对称 D.函数在 上单调递减 √ √ √ 【备选理由】例4考查由函数 的图象确定解析式 及其性质，考查三角函数图象的变换，考查学生综合运用知识分析 解决问题的能力及学生逻辑推理与数学运算的核心素养； 教 师 备 用 习 题 68 [解析] 因为点在函数 的图象上，所 以，即 ，又 ，所以，解得 ，故 A正确； ，由 ，，得， ， 故函数图象的对称中心为 ， ，当时，得对称中心为 ， 故B正确； 教 师 备 用 习 题 69 ， 其图象的对称轴方程为 ， ，所以 直线不是函数 的图象的对称轴，故C错误； ， 由 ， ，得， ，所以函数 的单调递减区间为， ， 教 师 备 用 习 题 因为， ，所以函数 在区间 上单调递减，故 D正确.故选ABD. 教 师 备 用 习 题 例5 ［配例4使用］（多选题）2025年10月，钱塘江出现了罕见的潮 景"鱼鳞潮"，"鱼鳞潮"的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外 一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若 波状涌潮的图象近似为函数 的图象， 而破碎的涌潮的图象近似为是函数 的导函数）的图象． 已知当 时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为 ，则下 列说法正确的是( ) A. B. C.是偶函数 D.在区间 上单调 √ √ 【备选理由】例5考查三角函数模型的简单应用，考查学生运用所学 知识处理实际问题的能力. 教 师 备 用 习 题 72 [解析] 由，得 ，由题意 得，即 ，故 ，因为 ，，所以，所以， ，故选 项A错误； 因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为 ， 即，得，所以 ， 则 ，故选 项B正确； 教 师 备 用 习 题 73 因为，所以 ，所 以 为偶函数，故选项C正确； ，由，得 ，因为函 数在上单调递增，在 上单调递减，所以 在区间 上不单调，故选项D错误.故选BC. 教 师 备 用 习 题 作业手册 75 1.函数 在下列区间上单调递减的是( ) A. B. C. D. √ ◆ 基础热身 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 76 [解析] 由 , ，得 ,. 当时， 在区间上单调递减； 当时，在区间 上单调递减； 当时，在区间上单调递减. 故在 ，，上均不单调递减， 在 上单调递减，故选C. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 77 2.[2025·广东汕头一模]要得到函数 的图象，只需将函数 的图象( ) A.向右平移个单位长度 B.向左平移 个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移 个单位长度 [解析] 将函数的图象向右平移 个单位长度得到 的图象，故选C. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 78 3.若将函数的图象向左平移 个单位长度后 得到一个奇函数的图象，则 的最小值为( ) A. B.1 C. D.3 [解析] 将函数的图象向左平移 个单位长 度后得到 的图象， 因为为奇函数，所以,,则, ， 又，所以 的最小值为 ，故选A. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 79 4.已知函数 的部分图象如图所示，则 的表达式可以为 ( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 80 [解析] 设的最小正周期为 ，由题图可知 ,，解得 ，故 . 因为的图象经过点 ， 所以 , ，故 ,，所以， .故选A. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 81 5.（多选题）[2025·河南新乡二模]将函数 图象 上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数 的 图象，则( ) A. B.的最小正周期为 C.的图象关于点 对称 D.的图象关于直线 对称 √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 82 [解析] 依题意可得，故 ， 故A正确； 的最小正周期 ，故B错误； 由 ，可知的图象关于点对称，故C正确； 由 ，可知的图象关于直线对称， 故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 83 6.（多选题）[2025·重庆一中一诊]声音源于物体振动所产生的、能 够激发听觉的波动.为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技 术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率、 振幅完全相同，但相位差为 的奇数倍的声音，理论上就可以和噪 声完全抵消.某一目标噪声的数学函数模型是 ， 则可以作为降噪模拟声的数学函数模型的函数解析式可以为 ( ) A. B. C. D. √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 84 [解析] 由题意可知，可以作为降噪模拟声的数学函数模型为 ,， 又 ， ，故A，B选项满足题意，C，D选项不满足题意.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 85 7.函数 的最小正周期为____，振幅为___，初相为 ____. 2 [解析] 由题意，函数的最小正周期为 ，振幅为2，初相为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 86 8.将函数的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则 的图象的对称中心为_ _____________. ， [解析] 由题意可知，函数 ， 令， ，解得，， 所以函数的图象的对称中心为 ， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 87 9.已知函数 的部分图象如图所示. （1）求 的解析式； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 88 解：由题可知解得 设函数的最小正周期为 ，由题图可知 ，可得 ，解得 . 由 ，可得 ,，即 , ，又 ，所以 ，故的解析式为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 89 （2）求 的零点； 解：令，可得 ，所 以 , 或 , ， 解得 , 或 , ，所 以的零点为 , 和 , . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 90 （3）将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数 的图象，求在 上的取值范围. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 91 解：由题意可得 . 因为，所以. 当 ，即时，取得最大值 ； 当，即时， 取得最小值. 故在 上的取值范围为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 92 10.已知函数 的部分 图象如图所示，其中, 为函数图象上相邻的最高 点和最低点，且，将的图象向右平移 A. B. C. D. 个单位长度，得到函数的图象，则 在下列区间上单调递增的是 ( ) √ ◆ 综合提升 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 93 [解析] 由题图知，设的最小正周期为 ， 因为，所以 ,所以 ,故,所以 . 由，得 ，又 ，所以，故 将的图象向右平移 个单位长度，可得函数 的图象， 令 ， ，得， ，当 时，；当时， .故选D. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 94 11.[2025·浙江精诚联盟适应性联考]若函数 的最小正周期为 ，其图象 的一条对称轴的方程为，则函数在 上的零点个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 95 [解析] 由题意知 ，解得. 因为 的图象的一条对称轴的方程为，所以 ， ，得 ，，因为，所以， 故 . 令，得，，解得， ，当 ，，0，1时，，，，，可得 在 上有4个零点.故选D. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 96 12.（多选题）[2025·河南开封等三地二模]如图，弹簧挂着的小球做 上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度 （单位：）由关系式 确定，则下列说法正确的 是( ) A.小球在开始振动（即 ）时在平衡位置上方 处 B.每秒钟小球能往复振动 次 C.函数的图象关于直线 对称 D.小球从 到时运动的路程是 √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 97 [解析] 当时， ，故A 正确； 小球往复振动的周期 ，所以每 秒钟小球能往复振动 次，故B错误； 因为 ，所以函数 的图象关于直线对称，故C正确； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 98 ，所 以小球从 到 时运动的路程是 ，故D正确. 故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.已知函数 的部分图象如 图所示，，是该函数图象上的两点，则 的值为__. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 100 [解析] 函数的最小正周期 ，由题意 知，解得 . 因为且, 分别在函数 的单调递减区间和 单调递增区间内， 所以 ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 101 故 ，解得,符合题意， 故 ，， 又 ，所以 ,故 ，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数 的图象，再将的图象上各点的横坐标变为原来的 ，纵 坐标不变，得到函数的图象，若在区间 上恰有两个极 值点和两个零点，则 的取值范围为_ ______. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 103 [解析] 由题意得 ，则 . 设，则在 上恰有 两个极值点和两个零点，作出 的图象，如图所示，由图可知 ，解得 . ，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 104 15.[2025·湖北黄冈调研] 已知函数 , 的最小正周期为 . （1）求函数 的单调递增区间以及其图象的对称中心； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 105 解：由题意知 ， 因为的最小正周期为 ，所以 ，解得 ，所以 . 令,，得 , ，故的单调递增区间为, . 令 ,，则,，故 的图象的对称中心 为, . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 106 （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移 个单 位长度，得到函数的图象，在函数 的图象上从左到右依次 取点,, ,，该点列的横坐标依次为,, , ，其中 ，，求 的值. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 107 解：由题意得 ， 则的最小正周期为 ，又 ，故 ， 又 , ， ， 故 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 108 16.已知函数的定义域为，且 ，直线 与曲线交于, 两点，则( ) A.为奇函数 B. 的定义域和值域相同 C. D. 的最大值为2 √ ◆ 能力拓展 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 109 [解析] 对于A，因为 ，所以， ， 所以 ， 令，则 , ，即, ，所以 ，所以 为偶函数，故A错误. 对于B，函数的定义域为，值域为，故B错误. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 110 对于C，由 ，得，即, ， 故曲线 为单位圆除去点和点 ，如图. 若直线 与单位圆有两个交点，则圆心到 直线 的距离， 解得 . 当直线过点时， ； 当直线过点时， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ，故C错误. 对于D，由弦长公式可得 ， 又且，所以当,即直线 过原点时， 取得最大值2，故D正确.故选D. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.[2025·北京海淀区一模] 如图所示，某游乐场有 一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成， 的 圆心固定在转轮上的点 处，某个座椅固定在转轮 上的点处.的半径为10米，的半径为5米，的圆心 距离地面的竖 直高度为20米.游乐设施运行过程中，与 分别绕各自的圆心逆时针方 向匀速旋转，旋转一周用时 分钟，旋转一周用时分钟. 当在 正 下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟 距离地面的竖直高度 为 米.给出下列四个结论： 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 113 ① ； ② 的最大值是35； ③ 在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟； ④存在，使得时到 的距离等于 15米. 其中所有正确结论的序号为______. ①③ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [解析] 转轮与转轮 分别绕各自的圆心逆时针方 向匀速旋转，旋转一周用时 分钟， 旋转一周 用时分钟，可得最小正周期 ， ，所 以角速度，， 又 的半径为10米，的圆心距离地面的竖直高度为20米， 所以第分钟， 点距离地面的高度（单位：米）为， 第分钟， 距离地面的竖直高度（单位：米）为 ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 115 ，所以 ，故①正确. 当，即时， 取得最大 值，最大值为，故②错误. 因为旋转一周用时 分钟，旋转一周用时分钟，所以点 在圆周上旋 转的速度大小为 （米/分钟）， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 同理可得点在圆周上旋转的速度大小为 （米/分钟）， 所以点 在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟， 故③正确. 若到的距离等于15米，则点 在线段上，则需 ,，得 , ,所以不存在，使得时到 的距离等于15米,故④错误.故填①③. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 【知识聚焦】 1.<m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 0 <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 2.<m></m> <m></m> 3.<m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 【对点演练】 1.2,<m></m>,<m></m> 2.<m></m> ,<m></m>,<m></m> ,<m></m>,<m></m> 3.<m></m> 4.<m></m>，<m></m> 5.右 <m></m> 6.<m></m>或<m></m> 7.<m></m> 课堂考点探究 例1（1）C （2）A 变式题（1）C （2）B 例2（1）D （2）<m></m> 变式题（1）A （2）<m></m> 例3（1）表格略，</m>. （2）<m></m>图象的对称中心为<m></m>，<m></m>. 单调递增区间为<m></m>，<m></m>. （3）</m>的取值范围为<m></m>,<m></m>. 变式题 BCD 例4（1） </m>,<m></m>.（2）</m>. （3）</m>，<m></m>. 高度差的最大值约为<m></m>. 变式题（1）B （2）AD 答 案 核 查 118 基础热身 1.C 2.C 3.A 4.A 5.ACD 6.AB 7.<m></m> 2 <m></m> 8.<m></m>，<m></m> 9.（1）<m></m>. （2）</m>的零点为<m></m> ,<m></m>和<m></m> ,<m></m>. （3）<m></m>在<m></m>上的取值范围为<m></m>. 综合提升 10.D 11.D 12.ACD 13.<m></m> 14.<m></m> 15.（1）</m>的单调递增区间为<m></m>,<m></m>. 对称中心为<m></m>,<m></m>. （2）</m>. 能力拓展 16.D 17.①③ 答 案 核 查 119 $