4.6函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 课件-2027届高三数学一轮复习

第四章　三角函数、解三角形 第6节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象. 2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响. 3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 课标要求 1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点 x ______ -+ ________ - _______ ωx+φ 0 _____ π ______ 2π y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 - 3 2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 | 4 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T=___ f== _____ φ ωx+φ 5 常用结论与微点提醒 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律:“左加右减，上加下减”. 2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换:向左平移个单位长度而非φ个单位长度. 6 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　) (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x. (2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等. 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 × × 7 (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　) (4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　) √ √ 8 2.(人教A必修一P239T2改编)为了得到函数y＝3sin的图象，只需把函数y＝3sin的图象上所有的点(　　) A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 B 9 3.(苏教必修一P212练习T4改编)将函数f(x)＝3sin的图象向左平移后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝_________________.  g(x)＝f＝3sin＝3sin. 3sin 10 4.(北师大必修二P52B组T1改编)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<2π)一个周期的图象如图所示，则A＝________，ω＝__________，φ＝_________.  由图知A＝4，T＝＝4π， 故ω＝，由×＋φ＝2kπ＋π， 得φ＝2kπ＋，又0<φ<2π，所以φ＝. 4 11 例1 已知f(x)＝2sin， (1)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表); 考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 因为x∈[0，π]， 所以2x＋∈. 列表如下: 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 1 2 0 －2 0 1 描点、连线得图象: (2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到? 将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin的图象. 感悟提升 作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象常用如下两种方法: (1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象; (2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 训练1 (1)(多选)(2026·重庆诊断)要得到函数y＝cos x的图象，可将函数y＝sin的图象(　　) A.先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) B.先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) C.所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度 D.所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度 BC 对于A，将y＝sin个单位长度， 可得y＝sin＝sin 2x， 再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin x，故A错误; 对于B，将y＝sin个单位长度，可得y＝sin＝cos 2x， 再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cos x，故B正确; 对于C，将y＝sin所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin， 再向左平移个单位长度得 y＝sin＝cos x，故C正确; 对于D，将y＝sin所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin， 再向左平移个单位长度得 y＝sin＝sin，故D错误. (2)(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 C 因为函数y＝2sin的最小正周期T＝， 所以函数y＝2sin在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象， 所以作出函数y＝2sin与y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示， 由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C. 例2 (1)(2026·连云港调研)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A 考点二　由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 A.ω＝2，φ＝－ B.ω＝2，φ＝ C.ω＝，φ＝－ D.ω＝，φ＝ 由图可知当x＝0时， f(0)＝2sin φ＝－1， 又|φ|<，解得φ＝－， 又由图可知f＝f， 所以x＝为f(x)的对称轴， 则ω－＋2kπ，k∈Z， 即ω＝2＋6k， 结合图象<×，即0<ω<3， 则解得ω＝2，故A正确. (2)(多选)(2026·西安模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　) BC A.f(x)＝2sin B.f(x)＝2sin C.f(x)＝－2cos D.f(x)＝－2cos 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)， 由题中函数图象得A＝2，最小正周期T＝4×， 解得ω＝2，又f＝2， 则2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<，则φ＝， 所以f(x)＝2sin，B正确; 2sin≠2sin，A错误; 又2sin＝－2cos， 则f(x)＝－2cos，C正确; 2sin＝2sin ＝－2cos，D错误.故选BC. 感悟提升 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ.常用方法如下:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入. 训练2 (1)(2026·银川调研)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象，则该函数的解析式可以是(　　) C 根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，可得A＝2，T＝×， 解得ω＝2， 再将点代入可得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝， 故y＝2sin. A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝2sin D.y＝2sin (2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝____________.  对比正弦函数y＝sin x的图象易知， 点为“五点(画图)法”中的第五点， - 所以ω＋φ＝2kπ，k∈Z.① 由题知|AB|＝xB－xA＝， 则 两式相减，得ω(xB－xA)＝，即ω＝， 解得ω＝4. 代入①，得φ＝2kπ－，k∈Z， 所以f(π)＝sin＝sin＝－. 角度1　图象与性质的综合应用 例3 (多选)(2026·湖州调研)已知函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)的最大值为2，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则下列说法正确的是(　 　) A.ω＝2 B.函数f(x)的图象向左平移个单位后关于原点对称 C.函数f(x)的图象关于点对称 D.函数f(x)在区间上单调递增 ABD 考点三　三角函数图象、性质的综合应用 对于A，因为函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以该函数最小正周期为T＝2×＝π， 故ω＝＝2，A正确; 对于B，由函数f(x)的最大值为2可知A＝2，故f(x)＝2sin， 函数f(x)的图象向左平移个单位后，可得到函数y＝2sin＝2sin 2x的图象，该函数为奇函数，B正确; 对于C，f＝2sin≠0， 故函数f(x)的图象不关于点对称，C错误; 对于D，当0≤x≤时，－≤2x－≤， 故函数f(x)在区间上单调递增，D正确. 角度2　三角函数的零点(方程的根)问题 例4 已知函数f(x)＝2sin，且关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，则t的取值范围是____________.  因为x∈， 所以2x－∈， 所以2sin∈[－1，2]，且当x＝时，f＝1， [-1,1)∪{2} 所以其函数图象如图所示. 因为关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，即y＝f(x)与y＝t只有一个交点，结合函数图象可知－1≤t<1或t＝2. 感悟提升 1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性和最值等. 2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. 训练3 (多选)(2026·合肥质检)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)，将y＝f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象.若g(x)为奇函数，且最小正周期为π，则下列说法正确的是(　　 ) A.函数f(x)的图象关于点中心对称 B.函数f(x)在区间上单调递减 C.不等式g(x)≥的解集为(k∈Z) D.方程f＝g(x)在(0，π)上有2个解 ACD 根据题意可得 g(x)＝cos， 因为g(x)的最小正周期为π，所以＝π， 因为ω>0，所以ω＝4， 即g(x)＝cos， 又g(x)为奇函数， 所以φ－＋kπ，k∈Z， 解得φ＝π＋kπ，k∈Z， 又－<φ<， 所以当k＝－2时，φ＝－， 所以g(x)＝cos＝－sin 2x， f(x)＝cos. 对于A，当x＝时，f＝cos＝0， 所以点是f(x)图象的一个对称中心，故A正确; 对于B，令2kπ≤4x－≤π＋2kπ，k∈Z， 解得≤x≤，k∈Z， 易知，k∈Z的子集，故B错误; 对于C，g(x)≥，即－sin 2x≥， 得sin 2x≤－， 则－＋2kπ≤2x≤－＋2kπ，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，故C正确; 对于D，在同一直角坐标系中分别画出y1＝f＝cos与y2＝g(x)＝ －sin 2x在[0，π]上的图象，如图所示， 通过图象可知，两函数图象在(0，π)上共有2个交点，故D正确. 一、单选题 1.y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A.2，4π， B.2， C.2，，－ D.2，4π，－ C 由题意知A＝2，f＝， 初相为－. 2.(2026·德阳模拟)已知函数f(x)＝cos，现将函数f(x)的图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数g(x)，则g值为(　　) A. B.－ C. D.－ B 将函数f(x)的图象的横坐标变为原来的，可得g(x)＝cos， 所以g＝cos＝－，故选B. 3.(2026·临沂模拟)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于y轴对称，则φ＝(　　) A.－ B.－ C. D. B 由题意g(x)＝f＝sin是偶函数， 从而解得φ＝－. 4.若函数f(x)＝sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，其图象与函数g(x)＝cos 2x的图象重合，则m的值可以为(　　) A. B. C. D. D 由题可得f(x＋m)＝sin的图象与函数g(x)＝cos 2x的图象重合， 则2m＋＋2kπ，k∈Z， 解得m＝＋kπ，k∈Z，故m的值可以为. 5.(2026·岳阳质检)已知函数f(x)＝sin x＋acos x的一个零点是，将函数y＝f(2x)的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为(　　) A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝－2cos 2x D.y＝2cos 2x D 依题意，f＝sin ＋acos a＝0， 解得a＝－， 所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin. 则f(2x)＝2sin， 其图象向左平移个单位长度得到 y＝2sin＝2sin ＝2cos 2x的图象. 6.(2026·天津和平区模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，要得到y＝sin x的图象，只需将函数f(x)的图象上所有的点(　　) A A.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移 动个单位长度 B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移 动个单位长度 C.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平行移 动个单位长度 D.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 由图可知，A＝，得T＝π， 又T＝，由ω>0解得ω＝2; 将点代入f(x)，得0＝sin， 点在函数单调减区间上， 则2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z， 解得φ＝2kπ＋，k∈Z， 又|φ|<π，所以φ＝， 得f(x)＝sin. 将f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度，得y＝sin x的图象. 7.(2026·滨州调研)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　) C A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 由题图知A＝2，函数图象经过点和点(0，)， 则 因为0<φ<π，所以由②可得φ＝或φ＝. (1)当φ＝时，由①得sin＝0， 结合图象可得＝π＋2kπ，k∈Z， 解得ω＝2＋6k，k∈Z. 由题图知<<， 又ω>0，则<ω<3，故ω＝2， 此时f(x)＝2sin， 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故C正确. (2)当φ＝时，由①得sin＝0， 结合图象可得＝π＋2kπ，k∈Z， 解得ω＝1＋6k，k∈Z. 由(1)知<ω<3，故ω的值不存在.故选C. 二、多选题 8.(2026·郑州模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋π)，g(x)＝－cos，则(　　) A.f(x)与g(x)在上都单调递增 B.f(x)与g(x)在上都单调递减 C.将g(x)的图象向右平移个单位长度后，得到f(x)的图象 D.将g(x)的图象向左平移个单位长度后，得到f(x)的图象 BC 因为f(x)＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，g(x)＝－cos ＝－cos＝－sin， 对于A，由x∈，得2x∈，2x＋∈， 则f(x)在上单调递减，g(x)在上单调递增，A错误; 对于B，由x∈， 得2x∈，2x＋∈， 则f(x)与g(x)在上都单调递减，B正确; 对于C，将g(x)的图象向右平移个单位长度后， 得到y＝－sin＝－sin 2x＝f(x)的图象，C正确; 对于D，将g(x)的图象向左平移个单位长度后， 得到y＝－sin＝－sin(2x＋π)＝sin 2x的图象，D错误. 9.(2026·汕尾模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　 　) ABD 由图象可得， 故T＝π，故ω＝2，故A正确; A.ω＝2 B.φ＝ C.y＝f是奇函数 D.当x∈[3π，4π]时，f(x)的图象与x轴有2个交点 故f(x)＝sin(2x＋φ)，而f＝1， 故2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 故φ＝＋2kπ，k∈Z，而|φ|<，故φ＝，故B正确; 因为f＝sin＝cos 2x， 故f为偶函数，故C错误; 故f(x)＝sin，当x∈[3π，4π]时，6π＋≤2x＋≤8π＋， 因为y＝sin t在上的零点为7π，8π. 故f(x)在[3π，4π]上有两个不同的零点，故D正确. 三、填空题 10.(2023·全国乙卷改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间()上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f(－)＝ _________.  由题意得×，解得ω＝2，易知x＝是f(x)的最小值点， 所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)， 于是f(x)＝sin＝sin， f＝sin＝sin . 11.(2026·渭南模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)在上的值域为____________.  [－2，－] 设f(x)的最小正周期为T， 由题图可知，A＝2，T＝， 则T＝π＝，得ω＝2， 故f(x)＝2sin(2x＋φ). 又f＝2sin＝0， 则－＋φ＝kπ，k∈Z， 解得φ＝＋kπ，k∈Z， 因为|φ|<，所以φ＝， 从而f(x)＝2sin， 当x∈时， 2x＋∈， 则－2≤f(x)≤－， 即f(x)在上的值域为[－2，－]. 12.(2026·长沙调研)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条对称轴间距离的最小值为，且x＝为f(x)的一个零点，则不等式f(x)≥的解集为________________________.  ,k∈Z 因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ) 所以T＝2×＝π，ω＝＝2. 所以f(x)＝sin(2x＋φ). 因为x＝为f(x)的一个零点， ， 所以sin＝0， 即sin＝0，所以φ＋＝kπ，k∈Z， 因为|φ|<，所以φ＝－， 所以f(x)＝sin， 由f(x)≥，得sin≥， 所以＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 所以＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 不等式f(x)≥，k∈Z. 四、解答题 13.已知函数f(x)＝－cos＋1－2sin2x. (1)用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，π]上的图象; f(x)＝－cos＋1－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin. 列表如下: x 0 π f(x) 1 2 0 －2 0 1 描点、连线，函数f(x)在区间[0，π]上的大致图象如图. (2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心. 将函数f(x)＝2sin个单位长度后得到y＝2sin＝2sin的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝2sin的图象. 由＝kπ，k∈Z，得x＝2kπ＋，k∈Z， 故g(x)图象的对称中心为，k∈Z. 14.(2026·南昌模拟)已知函数f(x)＝sin＋2cos2(ω>0).若函数f(x)的相邻两条对称轴间的距离为. (1)求ω的值，并求函数f(x)在的值域; f(x)＝sin＋2cos2 ＝sincos ＝2sin， 由题意可知，函数f(x)的最小正周期T＝π＝，所以ω＝1， 所以f(x)＝2sin， 由x∈，得2x＋∈， 故sin∈. 所以f(x)在. (2)若函数y＝f(x＋θ)－(其中θ∈)为奇函数，求θ的值. 函数y＝f(x＋θ)－ ＝2sin为奇函数， 则2θ＋＝kπ，k∈Z， 所以θ＝，k∈Z， 因为θ∈， 所以k＝1，θ＝π. $