四川绵阳市三台中学2025-2026学年高一下学期4月教学质量检测数学试题

三台中学2025级高一下4月教学质量检测 数学试题 考试时间：2026.4.16120分钟 总分：150 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.复数z=(1+i)(4-i)的虚部为() A.5i B.3i C.5 D.3 2.已知平面向量a=(3,-2),b=(1,2+1),若a1b,则2=() 1 B.1 D.- 5 A.- 3 2 3 2 3.已知向量a=(0,),6=4,1),c=(-12),c=xa+yb,则=( A.-3 B月 c D 4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=2,b=3,c=√万，则C=() A.30 B.45 C.60 D.90 5.如图，在正六边形ABCDEF中，BA+CD+EF=() A.0 B.BE C.AD D.CF 6.已知a和6是两个不共线的向量，若AB=a+mb,BC=5a+46,DC=-a-2b,且A,B, D三点共线，则实数m的值为() 1 B.1 C、1 D.-1 2 7.设△ABC的面积为S,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2=a2+c2-ac,若 AC.AB=2√3S,则此三角形的形状为() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 8.己知非零向量AB与AC满足( AB +AC)BC=0,且IAB-AC22,AB+AC卡6N2,点D是 IABI ACI △ABC的边AB上的动点，则BD.CD的最小值为() 数学试题第1页共4页 B号 1 C.2 1 A.-1 0.5 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9.已知复数z满足z(1+i)=1-3i,z+2m是纯虚数，其中m∈R,i为虚数单位，则() 1 A.m=2 B.z·z=3 C.z=5 D.z在复平面内所对应的点位于第二象限 10.潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过 长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为y=Ac0s(Or+乃)+6(A>0,0>0),其中y(单位： 31 m)为港口水深，x(单位：h)为时间(0≤x≤24)，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间 隔最少为6h,且中午12点的水深为8m,为保证安全，当水深超过8m时，应限制船只出入，则下列 说法中正确的是() A.0=π 6 B.最高水位为(43+6)m C.该港口从上午8点之后开始首次限制船只出入 D.一天内限制船只出入的时长为8 11.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,P为△ABC内的一点，下列说法中正确的 有() A.若sinA>sinB,则A>B B.若O为AABC所在的平面内任意一点，OP=.(OA+OB+OC),则点P为三角形ABC的重心 C.若cosA<sinB,则△ABC为锐角三角形 D.若A-骨，b=2,且△M8C为锐角三角形，则a的取值范围是(5,2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷中的横线上 12.已知平面向量ā，6的夹角为150°，且ā=√5，b=4,则6在a上的投影向量为 1B,在A1BC中，A-了AB=8,cosC=7,则AC= 2tan Atan B 14.在△MBC中，a,bc分别是角4B,C的对边，若a2+b=2025c,则tan C(tan4+nB的值 为 数学试题第2页共4页 四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知向量a与6的夹角0-经，且-3，风-25. (1)求a.b,(a+2b)(a-3b): (2)求a与a+2b的夹角的余弦值. 16.己知在△ABC中，点M是BC边上靠近点B的四等分点，点N为AB中点，设AM与CN相交于 点P (1I)请用AB、AC表示向量AM和NM: ②设和AC的夹角为0，若c0s0-},且4d-2,求证：Cv上B: (3)若B(2,4),C(-1,6),求点M的坐标. 17.某海域的东西方向上分别有A,B两个观测点（如图），它们相距103+√3)海里.现有一艘轮船在D 点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45°，B点北偏西60°，这时，位于B点南偏西60° 且与B点相距40√5海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时. D 459 60 B 60 (1)求B点到D点的距离BD: (2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间. 数学试题第3页共4页 18在△ABC中，内角4、8、C所对的边分别为a,b,Cn1-cos4=5a-b,C为锐角 (1)求角C; (2)若c=2,求√3a-b的取值范围； (3)若c=1,延长AB至D,使得BD=2AB,∠BCD=T,求△ABC的面积 6 19.“费马点”是由法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使 其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个 内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点：当△ABC有一个 内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2B-cos2A=2sin2C (1)求A: (2)若bC=2,设点P为△ABC的费马点，求PA.PB+PB.PC+PC.PA; (3)设点P为△ABC的费马点，PB+PC=tPA,求实数t的最小值. 数学试题第4页共4页 三台中学2025级高一下4月教学质量检测 (参考答案) 2 3 5 6 个 8 9 10 11 D B A D 8 C D AD ACD ABD 1.【详解】因为(1+i)(4-i)=4-i+4i-i2=5+3i. 所以复数(1+i)(4-i)的虚部为3.故选D. 2解析：因为ā⊥方，所以ā：6=3x1-2(2+1)=0,解得2= 2·故选B 3.【详解】因为=(0，I),b=(1,1),c=(-1,2),所以x(0,1)+y(1,1)=（-1,2), 仁2所以选：A 4.【详解】由余弦定理，可得cosC=+-c_4+9-71 2ab 2×2×32 又因为0°<C<180°，故C=60°.故选：C. 5.【详解】在正六边形ABCDEF中，CD=AF,EF=CB, BA+CD+EF=BA+AF+CB=CF,故选：D. 6.【详解】因为BD=BC+CD=5a+4b+a+2b=6a+6b, 且A,B,D三点共线， 所以存在实数入，使得AB=元BD,即a+mb=元(6a+6), [1=6入 则 m=6'解得m=l.故选：B. 7.【详解】由余弦定理得62=d2+c2-2 accosB=d2+c2-ac,所以cosB=2,因为0<B<元， 1 故B=T.由4C.AB=2√5S,得1AC‖BcosA=-23x)besin A,即bccosA=-V3 besin A, 化简得5sinA=0sA,因为0<4<元，所以V5sinA=6osA>0,可得anA=5 6 故C元--石=乃，因此△ABC为直角三角形，故选C 数学试题参考答案第1页共8页 AB AC 8.【详解】因为 分别表示B与4C方向上的单位向量，所以B AC 表示∠BAC的 4BI ACI ABI ACI AB AC 平分线上的共线向量，又( :BC=0,即AB+AC 与BC垂直，由三线合一可知， 4BACI AB=AC,如图，取BC的中点E,连接AE,则AE回BC,又|AB-AC=22,AB+AC=6N2, 其中AB-AC=CB,AB+AC=2AE,所以BC=22,AE=3V2,故BE=√2， 以E为坐标原点，建立直角坐标系 B(-√2,0)，C(N2,0),A(0,3V2)设BD=1AB, BD=1BA=(N2元，3V2), CD=CB+BD=(-2√2,0)+(N2元，3v2)=(N21-2W2,3√2) BD.CD=√21×(21-2√2)+3V21×3V21=202-4 当=0时20-4轻的最小值为写枚D.CD的最小值为号 故选：D 10 9.【详解】2=-i-30-目-2，1-21： 1+i(1+i)1-i)2 1 对于A,z+2m=2m-1-2i是纯虚数，2m-1=0,m=2A正确 对于B,z=-1+2i,∴.z·z=(-1)2-4i2=5,B错误： 对于C,=V-1)'+(-2)=5,C错误： 对于D,三=-1+2i对应的点为(-1,2)，位于第二象限，D正确.故选：AD. 10.【详解】水位最高点和最低点的时间间隔为6h, 了6，解得7=12 ·7s2x 解特心径名放A正确 中午12点的水深为8m, 8=Ao8x12+引+6，化简得8=4+6，解得4=4. 6 .最高水位为函数最大值y=A+6=4+6=10m,故B错误； :当水深超过8m时限制船只出入， 数学试题参考答案第2页共8页 4m6s8mx+则2m号+号2 解得x∈(12k-4,12k),k∈Z, 在x∈[0,24]范围内，有效区间为(8,12)和(20,24)，共8小时，在早上8点之后开始首次限制， 故C正确、D正确故选：ACD. 血【详解】对于A,因0<A,B<元，由sinA>sinB>0及正弦定理可得gDgL, 故得a>b,又因为“三角形中大边对大角”，所以A>B,故A正确： 对于B,0p=30A+0B+0C)→30P=01+0B+0c→0A-0P+0B-0P+0c-0P=0, →PA+PB+PC=0 取BC中点为D,则PA+2PD=0→AP=2PD,则P点为BC边中线更靠近BC边中点D的三等分 点，由重心性质可得P为△ABC的重心，故B正确； 对于C,当4-，B-牙时，满足cos4<smB,但△A8C为纯角三角形，放C错误： 4 对于D,因为△ABC为锐角三角形，且A=T 3 0<B< 则 2 x解得<B< . 所以sinB 0<C=π- 、B36下R 6 3 3 由正弦定理 sin4 sinB'得a=bsin4 b 2sin d= n3=5,所以a∈(5,2V5),D正确.故选ABD sinB sinB sinB 12.【详解】由平面向量a,6的夹角为150°，且a=√3,1b=4, 所以6在a上的投影向量为5cos<a,b>日 -2a. 18.【详解】在a4BC中，由coC=-号，可得snC=-cosC_5 7 8 BC AB BC 由正弦定理得， sinc"sind,即455，解得BC=7, 7 2 由余弦定理得，cosC=-1-AC+72-8 ,整理得，AC2+2AC-15=0, 7 2·AC.7 即(AC+5)(AC-3)=0, 解得AC=-5(舍去)或AC=3,故答案为：3. 14.【详解】由a2+b2=2025c2,得a2+b2-c2=2024c2, 数学试题参考答案第3页共8页 又d+b2-c2=2 abcosC,所以2024c2=2 abeosC,所以cosC=1012c ab 2sin Asin B 2tan Atan B 2sin Asin BcosC 则 cos Acos B tan C(tan A+tan B)sin C sin A sin B sin C(sin Acos B+cos Asin B) cosC cos A cos B 2sin Asin BcosC2sin Asin B cosC 2ab cosC 2ab 1012c2 =2024. sin Csin(A+B) sin2C c2 ab 15【详解】)由己知，得a-万=风cos0=3x2v2x2, 2）=-6,…2分 (a+27-(a-37=a2-3a-b+2a.b-662=9-(-6)-48=-33…6分 (2)a+26=√@+2=Va+4a-6+46=32+4×(-6)+4×(2V=7.9分 设a与a+2b的夹角为a, a(a+2B) 则cosa= a+2a6_9-12-回 同a+2网 :a+23x7 17 因此，a与a+26的夹角的余弦值为- …………………13分 17 16.【详解】(1)AM=AB+BW=AB+BC=B+(4C-AB=3B+4C…2分 N4+M=AB+AB+AC=B+AC… 4 4 4 (2)CN=AW-AC=AB-AC,…6分 @6-}丽-ca 号花源衣 --Hccos0 -2 -24 =0, .CN⊥AB .CN⊥AB… …11分 (3)设M(x,),由已知可得BM=BC… …12分 4 数学试题参考答案第4页共8页 x-2y-4到-432) 3 5 x-2= x= 4 ，即 1 y-4= 9 2 所以点M的坐标是，9 …15分 4’2 17.【详解】(1)由题意知AB=10(3+√5)海里， ∠DBA=90°-60°=30°，∠DAB=90°-45=45°， ∠ADB=180-(45+30=105,…1分 sinBsin(60+45)=sin 60 cos45c060'sin45 …3分 4 DB AB 在△DAB中，由正弦定理得 sin∠DAB sin∠ADB' DB=4B-sin /D4B103+).sin45 sin∠ADB sin(60°+45） 10(3+√5)-sin45 =20W5(海里)…7分 sin45cos60°+cos45°sin60 (2)在△DBC中，∠DBC=∠DBA+∠ABC=30+(90°-60）=60°，…8分 BC=40√5（海里），由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD·BC.coS∠DBC =1200+4800-2×205x40V5x1=3600, 2 .CD=60(海里)…13分 则救援船到达D点需要时间1=60=2（小时）. …15分 30 18【详解】1)因为5in1-coA=V5a-b,由正弦定理. 得√3sin4sinC-cosAsinC=√3sinA-sinB(*). 又B=π-（A+C), 所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 代入(*)，可得√3sin4sinC=√3sinA-sinAcosC. 数学试题参考答案第5页共8页 因为A∈(0，π)，所以sinA≠0， 所以√3sinC+cosC=√3，… …2分 即sinc+）=V3 62 所以C+工∈ π2π) 6 6’3 所以c+名分即C .…5分 6 (2)2R=C =4, sinC 3a-b=3x2Rsin A-2Rsin B =4(3sin A-sin B) =4(√3sinA-sin(A+C) =45sinA-sin(A+》 6 5 2 =4sin(A-Z) 6 …8分 0<A< ,-<A-<2r 5π 6 6 63 si4-名s1 6 ·-2<4sin(4-≤4 6 所以√5a-b的取值范围是(-2,4].… …l1分 (3)在△ABC中，由正弦定理得。 sinA"sinc2 在△BCD中，BD=2C=2,∠BDC=元-T--A=2-A, 66 3 ⊙ a BD =4 由正弦定理， 2-A0sim∠BCDD. sin 3 数学试题参考答案第6页共8页 由口口可得sinA=2sin 2-A0,展开化简得cosM=0, 因为A∈(0，)，所以A=刀 …14分 2 因为c=1,∠ACB=刀，所以b= an乙AcBV3. 所以S=)c=xIx5= ……17分 2 2 19.【详解】(1)由已知△ABC中，cos2B-cos2A=2sin2C, 即1-2sin2B-1+2sin2A=2sin2C,故sin2A=sin2C+sin2B,…2分 由正弦定理可得a2=b2+c2, 故△ABC直角三角形，即A=亚 …5分 2 2π (2)由(1)可得△ABC的三个角都小于120°= 3 则由费马点定义可知： ∠APB=∠BPC=∠CPA= 2π 3 设|PA=x,|PB=y,|PC=z, 由SAAPB+S△BPC+S△APC=S△ABc得： 1515lz5_x2, -+-Vz -XZ 22 2222 整理得y+yz+xz= 45 …7分 3 则PaPB+PB.P+PAPC=(2+g(2+(2》 14325 …10分 23 3 (3)点P为△ABC的费马点， 则∠APB=∠BPC=∠CPA-2π， 3 设|PB=mPA,PC=nPA, 数学试题参考答案第7页共8页 |PA=x,m>0,n>0,x>0, 则由PB+PC=tPA得m+n=t: 由余弦定理得 AB 2=x2+m2x2-2mx2 cos 2元=(m2+m+0x2, |4CP=x+m22-2x2co2π=0m2+n+10x2, 3 BCP2=m2x2+n2x2-2mnx2 cos 2r=(m2+r2+mm）x2, 故由|ACP+|ABBC 得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(n2+m2+mn)x2, 即m十n+2=mn,…l3分 而m>0,n>0, 故m+n+2=m≤(m+, 当且仅当m=n, 结合m+n+2=mn,解得m=n=1+√3时， 等号成立， 又m+n=t,即有t2-4t-8≥0， 解得t≥2+2√3或t≤2-2√3（舍去）， 故实数t的最小值为2+2√3.… …17分 数学试题参考答案第8页共8页