第23章 一次函数 专题--待定系数法求一次函数的解析式 重点题型归纳 专项练 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦待定系数法求一次函数解析式，通过分层模块构建从基础到综合的解题体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |已知一点求正比例函数|4题|设y=kx代入求解|从特殊（正比例函数）到一般，强化待定系数法基础应用| |已知一点求k/b值|4题|代入点坐标建立方程|深化函数图像与点的对应关系，培养方程思想| |多项式成正比例|6题|设y=k(ax+b)转化求解|拓展函数表达形式，提升模型观念| |已知两点求表达式|5题|联立方程组求k,b|巩固两点确定一直线原理，强化代数推理| |两直线平移|5题|平移规律（上加下减）|结合几何变换，体现数形结合思想|

第23章 一次函数 专题--待定系数法求一次函数的解析式 重点题型归纳 专项练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册 一、已知一点求正比例函数的解析式 1．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例函数的表达式； (2)若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点，将这个一次函数的图象向下平移4个单位，写出平移后函数表达式． 2．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例函数的表达式； (2)若这个图象还经过点，求点的坐标． 3．已知正比例函数． (1)若点在它的图象上，求正比例函数的表达式； (2)若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围． 4．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例函数的表达式； (2)若这个图象还经过点，求点的坐标． 二、已知一点求一次函数的k值或b值 5．已知一次函数的图象经过点，则m的值为（     ） A．1 B． C．5 D． 6．已知一次函数，当时，，则________． 7．已知一次函数的图象经过点，则________． 8．将一次函数（m为常数，）的图象向上平移2个单位，平移后的图象经过点，求m的值． 三、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式 9．已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式，并判断此时是的什么函数？ (2)当时，求的值． (3)当时，求的值． 10．已知：与成正比例，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)将该函数图象沿y轴向下平移3个单位后，得到的图象经过点，求a的值． 11．已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)判断点是否是上述函数图象上的点，说明理由． 12．已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求x的取值范围． 13．已知与成正比例，当时，． (1)求与的函数表达式； (2)若点在（1）中的函数图象上，请求出m的值． 14．已知与成正比例，且当时，． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值； (3)若函数值y的取值范围是，求x的取值范围． 四、已知两点，求一次函数的表达式 15．已知一次函数的图象经过两点． (1)求该一次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系内画出该一次函数的示意图． (3)若，直接写出的取值范围． 16．已知一次函数的图象经过，两点，且与x轴交于点C，求： (1)一次函数的表达式； (2)求出点C的坐标； (3)画出一次函数的图象，并求的面积． 17．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式． (2)求该一次函数的图象与轴、轴的交点坐标． 18．已知一次函数经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个一次函数的图象上？说明理由． 19．已知一次函数经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)随的增大而_______（“增大”或“减小”）； (3)判断点是否在这个一次函数的图象上？说明理由． 五、两直线平移，求直线表达式 20．在平面直角坐标系中，直线过和两点． (1)求直线的函数表达式． (2)将直线向下平移2个单位长度得到直线，求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 21．已知直线． (1)求它关于轴对称的直线所对应的函数表达式； (2)将直线向左平移3个单位长度，求平移后所得直线所对应的函数表达式． 22．直线平移后经过点，得到直线． (1)求直线的表达式，并说明经过怎样的平移得到； (2)设直线和轴交于点，和轴交于点，求出、的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线l：经过点A，点A的横坐标为，点A与点B关于y轴对称． (1)求点的坐标； (2)将直线沿轴向下平移得到直线，与轴交于点，若的面积为，求平移后的直线的函数表达式． 24．如图，已知一次函数的图象过点、． (1)求这个函数的表达式； (2)若把直线AB向上平移3个单位长度，则平移后的直线对应的函数表达式为______，在平移过程中，直线在第一象限内扫过的图形面积为______． 参考答案 题号 5 答案 A 1．(1) (2) 本题主要考查了一次函数图像与几何变换，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）待定系数法求出正比例函数解析式即可； （2）先求出平移前的解析式，再根据平移法则得到新的解析式． （1）解：设正比例函数解析式为，图象经过点， ， 得， 故正比例函数的表达式为； （2）解：一次函数的图象与正比例函数的图象平行， 一次函数，即， 一次函数图像经过点， 解得， 一次函数解析式为：， 将这个一次函数的图象向下平移4个单位，得到． 2．(1) (2) 本题考查了待定系数法求正比例函数解析式、正比例函数的性质，正确求出正比例函数解析式是解此题的关键． （1）设这个正比例函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中求出的函数解析式，计算即可得解． （1）解：设这个正比例函数解析式为， 将点代入得， 解得， 这个正比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得， 解得， 点的坐标是． 3．(1) (2) 本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，解正比例函数图象的性质，熟练掌握正比例函数的图象性质是解题的关键； （1）把点的坐标代入即可计算． （2）根据正比例函数图象的性质，得，解不等式即可求得k的取值范围； （1）解： 点在的图象上， ，             解得，             正比例函数的表达式为． （2）（2）的图象经过第二、四象限， ，             ． 4．(1) (2) （）利用待定系数法解答即可； （）把点坐标代入（）所得函数解析式解答即可； 本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键． （1）解：设这个正比例函数的表达式为， ∵正比例函数的图象经过点， ∴，即， ∴正比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得， 解得， ∴点的坐标是． 5．A 本题主要考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象上的点一定满足函数解析式是解题的关键． 将点代入函数解析式得到关于m的方程求解即可． 解：∵点在函数的图象上， ∴当时，，即，解得：． 故选A． 6． 本题主要考查了一次函数解析式的求解，解题的关键在于将已知的自变量和对应的函数值代入函数表达式，建立方程求解未知参数．将，代入函数，求解关于的方程即可解答． 解：将，代入函数， 得， 解得， 故答案为：． 7．1 本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式．将点代入解析式即可求解． 解：将点代入一次函数，得， 即：， 解得：． 故答案为：1． 8． 本题考查了一次函数的图象平移与函数解析式的求解，正确表示出一次函数平移后的函数解析式是解决本题的关键． 根据一次函数的平移规则，即“上加下减”，表示出平移后的一次函数解析式，再将点代入函数解析式中即可求解． 解：一次函数的图象向上平移2个单位后得到，     把代入，得， ∴． 9．(1)，y是x的一次函数 (2)5 (3) （1）结合正比例函数得出，再代入数值计算，得，即可作答． （2）直接把代入计算，即可作答． （3）直接把代入计算，即可作答． （1）解：∵与成正比例， ∴设， 把，代入，得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴y是x的一次函数； （2）解：由（1）得， 当时，． （3）解：由（1）得， 当时，， ∴． 10．(1) (2) 本题考查待定系数法求函数解析式，函数平移的规律，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）设，将，代入解析式求解，即可解题； （2）根据平移的规律得到平移后的解析式为，再将代入解析式求解，即可解题． （1）解：设， 将，代入中， 有， 解得， ∴，即； （2）解：∵向下平移3个单位， ∴平移后的解析式为， 将，代入中， 有 解得． 11．(1) (2)点是上述函数图象上的点，理由见解析 本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数的函数值，正比例函数的定义，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义可设，再利用待定系数法求解即可； （2）求出时的函数值即可得到结论． （1）解：设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：点是上述函数图象上的点，理由如下： 在中，当时，， ∴点是上述函数图象上的点． 12．(1) (2) 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，关键是将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题． （1）已知与成正比例，即可以设，把代入即可求得k的值，从而求得函数解析式； （2）求得和时所对应的函数值，然后根据一次函数的增减性即可求得x的取值范围． （1）解：设， 把，代入得：， 解得：， 则该函数关系式为：， ； （2）解：把代入，得， 把代入，得， 因为，所以随的增大而减小， 所以当时，． 13．(1) (2) （1）设，再由当时，，求出的值即可得解； （2）当时，求出的值即可． （1）解：与成正比例， 设， 当时，， ， 解得：， ，即， 与的函数表达式为； （2）解：∵点在函数的图象上， ∴． 14．(1) (2) (3) 本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的增减性，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）由题意设，代入时，求出，写出与之间的函数表达式； （2）当时代入解析式，求的值； （3）分别求出当和时，对应的x的值，然后利用一次函数的增减性求得的取值范围． （1）解：设， 当时，． ， ， 则， ； （2）解：当时， ； （3）解：当时， ， 当时， ， 一次函数， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，． 15．(1) (2)见解析 (3) （1）将点和分别代入一次函数解析式，得到二元一次方程组，求解即可得到系数和的值，进而得出一次函数表达式为； （2）直线过和两点，由于两点确定一条直线，在直角坐标系中绘制即可； （3）根据题意，结合，即可得出的取值范围． （1）解：已知一次函数解析式为， 将点和代入一次函数解析式得， ， 解得：， 一次函数的表达式为． （2）在直角坐标系中绘制过点和 直线如下图所示， （3）由题意可知，一次函数表达式为， ， 函数值取值范围为． 求解本题的关键是将两点坐标代入表达式，建立二元一次方程组求出系数，其次，是利用函数值与自变量的关系式，推出函数值的范围． 16．(1) (2) (3)图见解析，4 此题考查了一次函数，涉及待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，运用数形结合思想是解题的关键． （1）把，代入解析式得到关于k、b的二元一次方程组，再解方程组求出k、b，从而确定一次函数的解析式； （2）令求解即可； （3）根据列表，描点，连线画图，再根据三角形的面积公式求解即可． （1）解：设一次函数的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：令得， 解得， ． （3）解：列表： x 0 y 2 0 画图如下： ， ， ． 17．(1) (2)一次函数图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为 本题考查一次函数表达式，以及与轴和轴的交点坐标的求解． （1）解：设一次函数的表达式为：， 代入，两点，得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵一次函数的表达式为， ∴当时，， 当时，，解得：． ∴一次函数图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 18．(1)一次函数的表达式为； (2)点在这个一次函数的图象上，理由见解析． 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键． （）利用待定系数法求解即可； （）求出当时的值，比较即可得解． （1）解：设一次函数的表达式为，由一次函数过，两点， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：点在这个一次函数的图象上，理由， 由（）得一次函数的表达式为， 当时，， ∴点在这个一次函数的图象上． 19．(1) (2)增大 (3)点在这个一次函数的图象上，理由见解析 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质即可解答； （3）求出当时y的值，比较即可得解． （1）解：设一次函数的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：， 随的增大而增大， 故答案为：增大； （3）解：点在这个一次函数的图象上，理由如下： 当时，， ∴点在这个一次函数的图象上． 20．(1) (2) 本题考查的是一次函数的几何应用．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，函数的平移，是解题的关键． （1）设直线的表达式为，将和代入，解方程组求出k，b的值，即得： （2）根据平移规律：左加右减，上加下减，可得将直线向下平移2个单位长度后为，得交坐标轴于点，得，即可求出与坐标轴围成的三角形的面积． （1）解：设直线的表达式为， ∵直线过和两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：直线向下平移2个单位长度得到：， 令，则；令，则， 设直线交x轴于点A，交y轴于点B， ∴， ∴， ∴． 21．(1) (2) 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，熟知相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，那么点是直线关于轴对称的直线上的一点，则点是直线上的一点，据此把代入到中求出关于的函数关系式即可得到答案； （2）设平移后所得直线所对应的函数表达式为，点在原函数图象上，则点在平移后的函数图象上，据此利用待定系数法求解即可． （1）解：设点是直线关于轴对称的直线上的一点，则点是直线上的一点， ∴， ∴， ∴直线关于轴对称的直线的函数表达式为； （2）解：设平移后所得直线所对应的函数表达式为， 把向左平移3个单位长度后得， 把代入，得． ∴平移后所得直线所对应的函数表达式为． 22．(1)，向上平移2个单位得到 (2)， 此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，求一次函数与x轴和y轴的交点坐标． （1）利用待定系数法求解即可； （2）分别令和代入求解即可． （1）∵直线平移后经过点，得到直线 ∴ ∴ ∴ ∴向上平移2个单位得到； （2）当时，， ∴； 当时， 解得 ∴． 23．(1)点的坐标为 (2)或 本题考查了一次函数图象与几何变换，轴对称的性质，三角形的面积，正确把握变换规律是解题关键． （1）把代入直线的解析式求得A的坐标，然后根据轴对称的性质求得点B的坐标； （2）由的面积为3，求得，从而求得点C的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的函数表达式． （1）解：把代入直线l： 得：， 点， A与点B关于y轴对称， 点 B 的坐标为； （2）由，可知 ， 如图，设与y轴的交点为D，得． ， ， ， ， 直线是由直线l平移得到， 可设直线的函数表达式为， ①当点C在上方时，点C的坐标为， 将代入，得， 直线的函数表达式为； ②当点C在下方时，点的坐标为， 将代入，得， 直线的函数表达式为． 综上，平移后的直线的函数表达式为：或． 24．(1) (2)， 本题考查了一次函数图象与几何变换、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：牢记平移的性质“上加下减，左加右减”；结合图形找出直线在第一象限内扫过的图形面积即为梯形的面积． （1）根据、，利用待定系数法求解即可； （2）根据平移的性质“上加下减，左加右减”即可得出平移后的直线表达式；设直线与x轴交点为点D，与y轴的交点为点C，根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点C、D的坐标，再根据直线在第一象限内扫过的图形面积结合三角形的面积公式即可得出结论． （1）解：∵一次函数的图像过点、， ∴， 解得， ∴这个函数的表达式为； （2）解：根据平移的性质可知：直线：向上平移3个单位后得到的直线表达式为， 设直线与x轴交点为点D，与y轴的交点为点C， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； 当时，， ∴， ∴点D的坐标为． ∴直线在第一象限内扫过的图形面积为． 故答案为：，． 学科网（北京）股份有限公司 $