15.2.2 分式的加减 同步练习 2025--2026学年华东师大版八年级数学下册

**基本信息** 初中数学分式的加减同步练，覆盖分式加减（同/异分母）及混合运算，分2课时，分层设计从基础概念到综合应用，强化运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|同/异分母分式加减法则|典例+变式训练，夯实概念理解| |能力提升|分式混合运算、化简求值|易错点辨析（整体思想应用），提升运算准确性| |综合应用|实际问题（成像公式、行程）、创新定义（和整分式）|结合生活情境与新定义，培养模型意识与创新思维|

15.2.2分式的加减 第1课时　分式的加减 1．同分母的分式相加减，分母 ，分子 . 2．异分母的分式相加减，先 ，变为 的分式，然后再加减． 考点1　同分母分式的加减法 【典例1】计算－的结果是( ) A.2－x　 B．x－2 C． D． 同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，但需注意结果要化到最简． 【变式训练】 1．(贵州模拟)化简－的结果是( ) A． B．－ C．－ D． 考点2　异分母分式的加减法 【典例2】化简：－. 异分母的分式相加减，要先通分，再按照同分母的分式加减法进行计算，计算结果要化为最简分式． 【变式训练】 2．化简－的结果是( ) A．－ B． C．－ D． 知识点1　同分母分式加减法 1．计算－的结果为( ) A． B．－ C．1 D．－1 2．计算－的结果是( ) A．m＋1 B．m－1 C．m－2 D．－m－2 3．计算＋的结果是 . 知识点2　异分母分式加减法 4．化简－的结果是( ) A． B． C．1 D．－1 5．＋的运算结果正确的是( ) A． B． C． D．a＋b 6．化简＋的结果是( ) A．－2a＋b B．－2a－b C．2a＋b D．2a－b 7．计算－的结果是 . 易错易混点　整体思想应用不熟练致错 8．已知－＝3，则分式的值为( ) A．1 B．－1 C． D．－ 9．若把分式＋中的x、y同时扩大2倍，则分式的值( ) A．是原来的2倍 B．是原来的 C．是原来的 D．不变 10．化简－(a＋1)的结果为 ． 11．照相机成像时，照相机镜头的焦距为f，物体到镜头的距离为u，胶片(像)到镜头的距离为v，满足＝＋(v≠f).已知f、v，则u＝ ． 12．计算＋＋＋. 13．小明同学化简－的过程如下． 解：原式＝－　第一步 ＝－第二步 ＝　第三步 ＝　第四步 ＝　第五步 (1)小明同学化简的第一步是 ；(填“整式乘法”或“因式分解”) (2)化简过程中第 步出现错误，出现错误的原因是 ； (3)请你书写正确的化简过程及结果． 14.如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．例：分式M＝，N＝，M＋N＝1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1. (1)已知分式A＝，B＝，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k. (2)已知分式C＝，D＝，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝4. ①求G； ②若x为正整数，分式D的值也为正整数，则x值为 ． 第2课时　分式的混合运算 分式的加减、乘除、乘方混合运算，与分数的加、减、乘、除、乘方混合运算一样，也是先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，若有括号，先算括号内的． 考点1　分式的混合运算 【典例1】化简：÷－. 分式的混合运算要注意运算顺序，分子相加减时注意括号． 【变式训练】 1．化简·(a－)的结果是( ) A.a＋b B． C．a－b D． 考点2　分式的化简求值 【典例2】如图，若a＝6b，b＞0，则·(a－)的值在( ) A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 分式的化简求值要注意先化简，再求值，必要时要用整体代入，选值代入的时候要注意代入的数值必须使得原分式有意义． 【变式训练】 2．先化简，再求值：÷(x－)，其中－＜x＜，且x是整数． 知识点1　分式的混合运算 1．计算：÷(1－)的结果为( ) A．x B．－ C． D．－ 2．下列运算正确的是( ) A．＋＝ B．－＝0 C．1÷×＝ D．＝x＋y 3．对于代数式m、n，定义运算“”：mn＝，例如：42＝，若(x－1)(x＋2)＝＋，则A＋3B＝ ． 4．计算： (1)(－)·(a2－4)； (2)(＋)÷. 知识点2　分式的化简求值 5．当x＝6，y＝3时，代数式(＋)·的值是( ) A．2 B．3 C．6 D．9 6．已知A＝÷，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是( ) 甲：A的计算结果为； 乙：当x＝－3时，A＝2； 丙：当0＜x＜3时，A的值为正数． A．乙错，丙对 B．甲和乙都对 C．甲对，丙错 D．甲错，丙对 7．若a，b互为倒数，则代数式÷(＋)的值为 ． 8．先化简，再求值： (－)÷，其中x＝－. 易错易混点　对分式的二次整理不熟练致错 9．用替换分式中的n后，经过化简，结果是( ) A． B．2m C． D． 10．已知a＋＝5，则a2＋的值为( ) A．－5 B．27 C．23 D．25 11. 若a2＋5ab－b2＝0，则－的值为 ． 12. 若a1＝1－，a2＝1－，a3＝1－，…，则a2 020的值为 (用含m的代数式表示). 13．已知a＝b＋2 020，求代数式·÷的值． 14．先化简：(x－)÷，若－2≤x≤2，请你选择一个恰当的x值(x是整数)代入求值． 15．先化简－÷，然后从－3，－1，0，2中选择一个你喜欢的x值代入求值． 【母题P13T4】林林家与学校的距离为a km，林林骑自行车从家到学校需要b min，某天，林林从家骑自行车出发c min后，爸爸才从家骑自行车出发，结果爸爸与林林同时到达学校，爸爸每分钟比林林多骑多少千米？ 【变式】某人沿一条河流顺流游泳L m，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游速为x m/h，水流速度为n m/h.求他来回一趟所需的时间t. 16.(创新意识)阅读下列材料，完成后面的任务． 在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． (1)求x＋的值； (2)求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.2.2分式的加减 第1课时　分式的加减 1．同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减. 2．异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 考点1　同分母分式的加减法 【典例1】计算－的结果是( A ) A.2－x　 B．x－2 C． D． 解析：原式＝＝－＝－x＋2＝2－x. 同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，但需注意结果要化到最简． 【变式训练】 1．化简－的结果是(D) A． B．－ C．－ D． 考点2　异分母分式的加减法 【典例2】化简：－. 解：－＝＋ ＝＋＝. 异分母的分式相加减，要先通分，再按照同分母的分式加减法进行计算，计算结果要化为最简分式． 【变式训练】 2．化简－的结果是(A) A．－ B． C．－ D． 知识点1　同分母分式加减法 1．计算－的结果为(C) A． B．－ C．1 D．－1 2．计算－的结果是(B) A．m＋1 B．m－1 C．m－2 D．－m－2 3．计算＋的结果是1. 知识点2　异分母分式加减法 4．化简－的结果是(D) A． B． C．1 D．－1 5．＋的运算结果正确的是(C) A． B． C． D．a＋b 6．化简＋的结果是(C) A．－2a＋b B．－2a－b C．2a＋b D．2a－b 7．计算－的结果是. 易错易混点　整体思想应用不熟练致错 8．已知－＝3，则分式的值为(B) A．1 B．－1 C． D．－ ∵－＝3，∴＝3， ∴y－x＝3xy， ∴＝＝－1. 9．若把分式＋中的x、y同时扩大2倍，则分式的值(B) A．是原来的2倍 B．是原来的 C．是原来的 D．不变 10．化简－(a＋1)的结果为． 11．照相机成像时，照相机镜头的焦距为f，物体到镜头的距离为u，胶片(像)到镜头的距离为v，满足＝＋(v≠f).已知f、v，则u＝． 12．计算＋＋＋. 原式＝＋＋＝＋＝. 13．小明同学化简－的过程如下． 解：原式＝－　第一步 ＝－第二步 ＝　第三步 ＝　第四步 ＝　第五步 (1)小明同学化简的第一步是因式分解；(填“整式乘法”或“因式分解”) (2)化简过程中第三步出现错误，出现错误的原因是6没变号； (3)请你书写正确的化简过程及结果． (1)因式分解　(2)三　6没变号 (3)原式＝－＝＝. 14.如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．例：分式M＝，N＝，M＋N＝1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1. (1)已知分式A＝，B＝，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k. (2)已知分式C＝，D＝，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝4. ①求G； ②若x为正整数，分式D的值也为正整数，则x值为1或2． (1)∵A＋B＝＋＝＝＝3， ∴A与B互为“和整分式”，“和整值”k＝3. (2)①由题意，得＋＝4， 去分母，得(4x－2)(x＋3)＋G＝4(x＋3)(x－3)， 整理，得G＝－10x－30. ②∵G＝－10x－30， ∴D＝＝＝－. ∵分式D的值为正整数， ∴x－3＝－1或－2或－5或－10. 当x－3＝－1时，x＝2； 当x－3＝－2时，x＝1； 当x－3＝－5时，x＝－2(舍去)； 当x－3＝－10时，x＝－7(舍去)， ∴x值为1或2. 第2课时　分式的混合运算 分式的加减、乘除、乘方混合运算，与分数的加、减、乘、除、乘方混合运算一样，也是先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，若有括号，先算括号内的． 考点1　分式的混合运算 【典例1】化简：÷－. 解：原式＝·－ ＝－ ＝ ＝. 分式的混合运算要注意运算顺序，分子相加减时注意括号． 【变式训练】 1．化简·(a－)的结果是(A) A.a＋b B． C．a－b D． 考点2　分式的化简求值 【典例2】如图，若a＝6b，b＞0，则·(a－)的值在( D ) A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 解析：·(a－)＝·＝·＝. 当a＝6b时，原式＝＝＝. ∵＝，＝，＝，＝， ∴<<1. ∴·(a－)的值在第④段． 分式的化简求值要注意先化简，再求值，必要时要用整体代入，选值代入的时候要注意代入的数值必须使得原分式有意义． 【变式训练】 2．先化简，再求值：÷(x－)，其中－＜x＜，且x是整数． ÷(x－) ＝÷ ＝· ＝. ∵－＜x＜，且x是整数，∴x＝1或－1或±2(舍去)， 当x＝1时，原式＝＝； 当x＝－1时，原式＝＝1. 知识点1　分式的混合运算 1．计算：÷(1－)的结果为(C) A．x B．－ C． D．－ 2．下列运算正确的是(C) A．＋＝ B．－＝0 C．1÷×＝ D．＝x＋y 3．对于代数式m、n，定义运算“”：mn＝，例如：42＝，若(x－1)(x＋2)＝＋，则A＋3B＝8． 4．计算： (1)(－)·(a2－4)； (2)(＋)÷. (1)原式＝·(a＋2)(a－2)＝3a＋6－a＋2＝2a＋8. (2)原式＝·＝·＝·＝. 知识点2　分式的化简求值 5．当x＝6，y＝3时，代数式(＋)·的值是(C) A．2 B．3 C．6 D．9 原式＝·＝，当x＝6，y＝3时，原式＝＝6. 6．已知A＝÷，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是(C) 甲：A的计算结果为； 乙：当x＝－3时，A＝2； 丙：当0＜x＜3时，A的值为正数． A．乙错，丙对 B．甲和乙都对 C．甲对，丙错 D．甲错，丙对 7．若a，b互为倒数，则代数式÷(＋)的值为1． 8．先化简，再求值： (－)÷，其中x＝－. 原式＝(＋)·＝·＝x－1.当x＝－时，原式＝－－1＝－. 易错易混点　对分式的二次整理不熟练致错 9．用替换分式中的n后，经过化简，结果是(A) A． B．2m C． D． 由题意，把n＝代入，得(－1)÷(＋1)＝()÷()＝×＝. 10．已知a＋＝5，则a2＋的值为(C) A．－5 B．27 C．23 D．25 11. 若a2＋5ab－b2＝0，则－的值为5． 12. 若a1＝1－，a2＝1－，a3＝1－，…，则a2 020的值为1－(用含m的代数式表示). a1＝，a2＝1－＝，a3＝1－(1－m)＝m，a4＝，a5＝，a6＝m，…，每三个一循环，2 020÷3＝673……1，故a2 020＝a1＝1－. 13．已知a＝b＋2 020，求代数式·÷的值． 原式＝··(a－b)(a＋b)＝2(a－b). ∵a＝b＋2 020， ∴a－b＝2 020， ∴原式＝2×2 020＝4 040. 14．先化简：(x－)÷，若－2≤x≤2，请你选择一个恰当的x值(x是整数)代入求值． 原式＝·＝·＝.在－2≤x≤2中，整数有－2，－1，0，1，2.由题意，得x≠0，－2，取x＝1时，原式＝＝－(答案不唯一). 15．先化简－÷，然后从－3，－1，0，2中选择一个你喜欢的x值代入求值． 原式＝－· ＝－ ＝ ＝－. 当x＝±2，±3时，分式无意义， ∴当x＝－1时，原式＝1.5.(或当x＝0时， 原式＝1). 【母题P13T4】林林家与学校的距离为a km，林林骑自行车从家到学校需要b min，某天，林林从家骑自行车出发c min后，爸爸才从家骑自行车出发，结果爸爸与林林同时到达学校，爸爸每分钟比林林多骑多少千米？ 由题意，得林林的骑车速度为，爸爸所用时间为b－c，则爸爸的骑车速度为， ∴－＝. 答：爸爸每分钟比林林多骑千米． 【变式】某人沿一条河流顺流游泳L m，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游速为x m/h，水流速度为n m/h.求他来回一趟所需的时间t. 由题意，知此人顺流时速度为(x＋n) m/h，逆流时速度为(x－n) m/h， ∴t＝＋＝. 答：他来回一趟所需的时间为. 16.(创新意识)阅读下列材料，完成后面的任务． 在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若＝，求代数式x＋的值． 解： ∵＝，∴＝4，∴＋＝4，即x＋＝4. 任务：已知＝. (1)求x＋的值； (2)求的值． (1)∵＝， ∴＝2， ∴x－3＋＝2， ∴x＋＝5. (2)∵＝x2＋2＋＝(x＋)2＝25， ∴＝. 学科网（北京）股份有限公司 $