精品解析：江西丰城市第九中学 、第二中学2025-2026学年高一下学期5月阶段性检测数学试卷

江西丰城九中、丰城二中2025-2026学年（下）高一5月阶段性检测 联考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知， 则，解得， 在方向上的投影向量为：． 2. 已知函数的最小正周期为，则的对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用正切函数的周期公式求出参数，再根据正切函数对称中心的性质列方程求解横坐标，得到的对称中心. 【详解】对于正切型函数，最小正周期公式为， 已知最小正周期，代入得，解得， 因此函数为.  正切函数的对称中心为， 令整体，解得，即，​ 因此的对称中心为. 3. 在中，向量与满足，且，则为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰非等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由方向向量和向量垂直可得的角平分线与边垂直，再根据数量积定义和三角形内角和定理判断三角形形状即可. 【详解】、分别是、方向的单位向量， 两个单位向量的和方向为的角平分线方向， 由条件，可知的角平分线与边垂直， 因此，为等腰三角形. 由向量数量积的定义，可得： 是三角形内角，即，因此. 结合得，可得， 三个内角不全相等，故是等腰非等边三角形. 4. 如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ） 参考数据：. A. 米 B. 米 C. 300米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知， 则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 又，两式相加， 得，即， 解得. 5. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可求出的取值范围，根据函数的单调性可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】因为，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以， 所以，解得， 由可得， 又因为，所以可得，即， 又因为，所以，故，所以的取值范围是. 6. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，可得，由正弦定理边化角，结合两角差的正弦公式，可得，根据角的范围，整理求解，即可得答案. 【详解】因为，，所以. 由正弦定理，得， 所以，即. 在锐角三角形中，，， 所以，即，所以. 7. 定义在 上的奇函数满足，且当时，，则错误的是（ ） A. 满足 B. 在上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图像关于点对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的周期性、单调性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，函数满足，则， 是周期为的周期函数，A正确； 对于B，因为为奇函数，当时，， 则，， 故在上不具有单调性，B错误； 对于C，是周期为的周期函数，则有， 变形可得，的图象关于直线对称，C正确； 对于D，奇函数是周期为的周期函数，则， 变形可得，的图象关于点对称，D正确； 故选：B 8. 在中，内角A，B，C所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是（ ） A. 点G为的重心，若，则 B. 若满足，，的有两解，则t的取值范围为 C. 若则是的外心 D. 若点O为内一点，且，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据重心的性质用表示，可得，从而求得判断A；根据余弦定理及二次方程有两根，求得的范围，判断B；由向量的数量积的运算及外心的定义判断C；延长交于点，由向量的线性运算法则及向量共线定理，可得，从而求得面积比，判断D. 【详解】选项A：点为的重心，设中点为，则=， 故，即，， 所以，A正确； 选项B：首先，且必有两种可能的取值， 由余弦定理，得， 故关于的方程必有两个不同的正数解， 所以，解得. 另一方面当时，，所以，所以，且， 所以可能是锐角，也可能是钝角，所以确有两解. 所以的取值范围是，B正确； 选项C：若， 则， 所以，所以点在边的高上，所以不一定是的外心，所以C错误； 选项D：若点为内一点，且，延长交于点， 故存在实数，使得，由于在直线上，故，从而， 即，所以，故，D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在音乐合成中，两个简单的声波可以叠加形成新的波形.已知某合成波形对应的函数为，下列关于该函数说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 【答案】AB 【解析】 【分析】化简函数，结合三角函数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由函数， 对于A，函数的最小正周期为，所以A正确； 对于B，函数的最大值为，所以B正确； 对于C，令，可得， 其中不是的解，所以不是的对称轴，所以C错误； 对于D，由，可得， 当时，即时，函数单调递增； 当时，即时，函数单调递减，所以D错误. 10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若平面内有四个点A、B、C、D，则必有 【答案】AD 【解析】 【详解】根据向量共线定理，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得，所以选项A正确； 是方向相同，模长相等，不能得出，所以B错误； 由得， 当时，得，不能得出，所以C错误； 对于平面内任意四个点A、B、C、D，由，所以D正确； 11. 下列说法正确的是（ ） A. 5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件 B. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为 C. 数据7.0，7.4，7.6，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的25%分位数为7.4 D. 某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，“甲站正中间”与“乙站正中间”不可能同时发生，它们是互斥事件，A正确； 对于B，向上面的点数是3的整数倍的概率为，B错误； 对于C，这组数据已经是从小到大排列，又，故25%分位数为，C错误. 对于D，，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用和，将原式化为关于的二次齐次式，再通过弦化切转化为关于的分式方程，结合分母不为零的条件解得，最后用正切二倍角公式求出的值． 【详解】由， 得， 即，化简得， 所以，解得， 所以． 13. 函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的图象，求出函数的周期及，进而求出，再逆用五点法求出，即可得到结论． 【详解】由图象得，，即周期，即， 所以，又，所以函数的解析式为. 14. 已知是边长为4的等边三角形，P是平面ABC内一点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，则即可求解. 【详解】以为轴，中垂线为轴建立平面直角坐标系，由已知有，设点， 则有， 所以， 所以， 当点时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集、并集与补集定义计算即可得； （2）利用集合间包含关系运算即可得. 【小问1详解】 由，，则或， 则，或； 【小问2详解】 由于，则有，解得. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，， （1）求角； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，，可得，利用正弦定理将边转化为角的正弦即可求解； （2）根据余弦定理可求得，利用面积公式求解即可. 【小问1详解】 由，，得， 由正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 故， 由，得； 【小问2详解】 由余弦定理可，得， 解得， 所以的面积为. 17. 已知函数且为奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）解不等式； （3）求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，即可求出的值，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解； （2）根据条件得，利用指数不等式的解法，即可求解； （3）根据条件，将问题转化成在上有两个不等根，令，利用二次函数根的分布建立方程组，即可求解. 【小问1详解】 因为且，则的定义域为，又为奇函数， 则，解得，所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则，所以函数的值域为. 【小问2详解】 由（1）知，由，得到， 整理得到，解得，所以不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，令，即，整理得到， 又函数在区间上有两个不同的零点，所以时，方程有两个不等根， 令，得到，又在区间上单调递增，所以， 则在上有两个不等根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 已知，，函数. （1）求函数的解析式及周期； （2）若，且，求的值. （3）角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据余弦定理结合基本不等式计算求解即可. 【小问1详解】 . 周期； 【小问2详解】 由可知，，化简得， ，，， ； 【小问3详解】 由可得，即， 又，则，则，所以. 由余弦定理知： ， 当且仅当时“”成立， 此时为等边三角形， 又所以的周长的最大值为. 19. 如图，在中，延长至点，使得，点在线段上，延长，交于点，且，记，． （1）请用表示向量； （2）若为的中点，求实数的值； （3）在（2）的条件下，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用向量的基本定理求解； （2）利用向量共线的推论求解； （3）利用向量的数量积求解. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 因为为的中点，由（1）知， 所以． 因为三点共线， 所以， 所以，解得，所以. 【小问3详解】 ． 由（1）知，由（2）知，， 则， 所以， 所以，得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西丰城九中、丰城二中2025-2026学年（下）高一5月阶段性检测 联考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的最小正周期为，则的对称中心为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，向量与满足，且，则为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰非等边三角形 4. 如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ） 参考数据：. A. 米 B. 米 C. 300米 D. 米 5. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 定义在 上的奇函数满足，且当时，，则错误的是（ ） A. 满足 B. 在上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图像关于点对称 8. 在中，内角A，B，C所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是（ ） A. 点G为的重心，若，则 B. 若满足，，的有两解，则t的取值范围为 C. 若则是的外心 D. 若点O为内一点，且，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在音乐合成中，两个简单的声波可以叠加形成新的波形.已知某合成波形对应的函数为，下列关于该函数说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若平面内有四个点A、B、C、D，则必有 11. 下列说法正确的是（ ） A. 5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件 B. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为 C. 数据7.0，7.4，7.6，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的25%分位数为7.4 D. 某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 13. 函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为________． 14. 已知是边长为4的等边三角形，P是平面ABC内一点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，， （1）求角； （2）若，求的面积． 17. 已知函数且为奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）解不等式； （3）求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 18. 已知，，函数. （1）求函数的解析式及周期； （2）若，且，求的值. （3）角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值. 19. 如图，在中，延长至点，使得，点在线段上，延长，交于点，且，记，． （1）请用表示向量； （2）若为的中点，求实数的值； （3）在（2）的条件下，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $