命题大赛 江西省高一数学下学期阶段测试（月考）2025-2026学年（北师大版必修第二册）

**基本信息** 聚焦高一数学必修二三角、向量、解三角形核心内容，通过音乐声波叠加等生活情境与多层级问题设计，考查数学抽象、逻辑推理及运算能力，适配阶段性知识巩固与能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角恒等变换、充分条件（第2题）、解三角形（第3题）|基础概念辨析，如第4题三角函数图像平移| |多选题|3/18|三角函数性质（第9题）、向量数量积（第10题）|生活情境（声波叠加）与多结论判断，考查批判性思维| |填空题|3/15|扇形圆心角（第12题）、三角函数最值（第13题）|空间几何与动态问题结合，如第14题等边三角形动点最值| |解答题|5/77|三角函数解析式（第15题）、向量几何综合（第19题）|多问递进设计，如第17题结合三角与解三角形周长最值，考查综合应用|

江西高一数学下学期5月底或6月初阶段性测试(月考)试卷 (北师大版 必修第二册第一、二、四章) 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C B C C A D B D AB ACD BC 一、单选题 1．C 解析：根据角度制与弧度制互化公式，可得．故选C. 2．B 解析：若，则，又，所以或，则， 所以当时，“”推不出“”；若，，则，可得，则，所以当时，“”可以推出.综上，“”是“”的必要不充分条件.故选B. 3．C 解析：由于三边所对的角分别为，则等价于；对于选项A，由及正弦定理得，即故A正确；对于选项B，因为，由余弦函数的单调性知，故B正确；对于选项C，当时，满足，但，故C错误；对于选项D，由A知，，所以，又，，，故D正确．故选C． 4．C 解析：，将函数的图象向右平移个单位长度得的图象,知选项C对.故选C. 5．A 解析：因为，所以.故选A. 6．D 解析：由题意可得，解得，显然 ，， 于是.故选D. 7．B 解析：由，三点共线，得，即，所以，当且仅当，即时取等号，知最小值为.故选B. 8．D 解析：对于选项A，在中，由正弦定理知，结合大边对大角可得，故命题正确，知A不符合题意；对于选项B，因为，，，由正弦定理，得，由知，只有一解，所以有一个解，故命题正确，知B不符合题意；对于选项C，因为，由正弦定理得：，则，因为，可知或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故命题正确，知C不符合题意；对于选项D，因为，由余弦定理得：，即，因为，所以或，故命题错误，D符合题意.故选D. 二、多选题 9．AB 【分析】化简函数，结合三角函数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解. 解析：由于函数；对于选项A，函数的最小正周期为，知A正确；对于选项B，函数的最大值为，知B正确； 对于选项C，令，可得，其中不是的解，所以不是的对称轴，知C错误；对于选项D，由，可得，当时，即时，函数单调递增，而 当时，即时，函数单调递减，知D错误.综上,故选AB. 10．ACD 解析：对于选项A，，知A正确；对于选项B，由A知，， ，知B错误； 对于选项C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则,,设， 所以，当时，的最小值为2，知C正确； 对于选项D，当三点共线时，,，所以， 又因为，所以，所以，所以，知D正确.综上,故选ACD. 11．BC 解析：对于选项A,由，得，因为锐角三角形，故， 而在上单调递增，所以，所以，必要性成立，知A错误；对于选项B，由，由正弦定理得，因为为锐角三角形，故，故，故得，即，所以，，因为，所以，故或；当时，，此时为直角三角形，不合要求舍去，由，则是等腰三角形，知B正确；对于选项C，若，由余弦定理得，则，又，故，则，由正弦定理得，故，即，因为，故，即，为锐角三角形，故，，则，，因为，所以，解得，由得，解得，又，综上，，其中在上单调递减，故，知C正确；对于选项D，，由选项C知，，故，因为，所以，由对勾函数性质，在上单调递减，当时，，当时，，所以，知D错误.故选BC. 三、填空题 12． 解析：设扇形的半径为，圆心角为，则，解得，所以扇形的圆心角为.故填. 13． 解析：因为，则，因为在区间上恰有3个最小值点，所以结合余弦函数的性质可得，，得，则实数的取值范围为.故填. 14．; 解析：建系如图所示,因为是边长为2的等边三角形，，.. 设，. .，，.. 当时，取得最小值，最小值为.故两个空分别填;. 四、解答题 15．(1)，递增区间为；(2). 解析:（1）由题意知，最大值，周期，∴，∴． 将点代入得：，则，又，故，故；(4分) 因为，所以,所以的单调递增区间为.(8分) （2）因为，所以，且. 则，所以，所以.(13分) 16．(1)；(2)①；②. 解析：（1）由题意可得，所以，由角平分线定理可知， 所以，故点.(5分) （2）①因为为中点，所以，，，则，，，所以；(10分) ②设，则，故，此为关于的二次函数，对称轴为，即当时，取得最小值．(15分) 17．(1)，；(2)；(3). 解析：（1）化简. 周期.(5分) （2）由可知，，化简得， ，，， 故. (10分) （3）由可得，即，又，则，则，所以.由余弦定理知： ，当且仅当时“”成立， 此时为等边三角形，又,所以的周长的最大值为.(15分) 18．（1）；（2）或. 解析：（1）∵，∴， 即，得.∵，∴，∴.又，∴.(8分) （2）由题可知,∴.由余弦定理得， 由，可得，∴，解得. ∴，结合，可解得或，所以或. 由正弦定理可得或.(17分) 19．(1)；(2)；(3)． 【分析】（1）利用向量的基本定理求解；（2）利用向量共线的推论求解；（3）利用向量的数量积求解. 解析：（1）．(4分) （2）因为为的中点，由（1）知，所以． 因为三点共线，所以， 所以，解得，所以.(10分) （3）． 由（1）知，由（2）知，， 则， 所以， 所以，得， 所以．(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 弧度制与角度制互化及终边相同角 0.85 2 单选题 5 诱导公式与充要条件 0.8 3 单选题 5 正弦定理及应用 0.75 4 单选题 5 三角函数图象与性质 0.75 5 单选题 5 平面向量的坐标运算与平行 0.65 6 单选题 5 正切函数与正弦函数二倍角公式 0.7 7 单选题 5 平面向量基本定理与不等式 0.45 8 单选题 5 解三角形及正余弦定理、三角恒等变换与边角范围问题 0.5 9 多选题 6 三角函数图象与性质 0.6 10 多选题 6 向量的综合应用与平面向量的基本定理 0.55 11 多选题 6 解三角形及正余弦定理、三角恒等变换与边角范围问题 0.75 12 填空题 5 扇形的弧长公式与面积公式及中心角问题 0.55 13 填空题 5 三角函数图象与性质及图像变换 0.5 14 填空题 5 向量的数量积及最值 0.8 15 解答题 13 三角函数的图像与性质及计算 0.7 16 解答题 15 向量的坐标运算、夹角的余弦、数量积计算 0.65 17 解答题 15 向量数量积的坐标运算、三角函数性质、正余弦定理、三角形周长的最值 0.55 18 解答题 17 三角公式恒等变换与解三角形、面积周长与角的正弦比值 0.35 19 解答题 17 平面向量基本定理、求参数的值及求线段的比值 0.25 $ 应用场景:月考/阶段性测试/ 高一数学下学期5月底或6月初阶段性测试(月考)试卷 北师大版 必修第二册第一、二、四章内容 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.将改写成的形式是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在中，设三边所对的角分别为，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．为了得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 5．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．若，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A．5 B． C． D．9 8．已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列四个命题中错误的命题是（    ） A．在中，若 ，则 B．若 ，，，则有唯一解 C．若，则是等腰三角形或直角三角形 D．若 ，则角 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在音乐合成中，两个简单的声波可以叠加形成新的波形.已知某合成波形对应的函数为，下列关于该函数说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 10．如图，为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小值为2 D．若，则当B，O，P三点共线时， 11．已知锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．，则是等腰三角形 C．若，则的取值范围 D．若，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知扇形的弧长为，面积为，则扇形的圆心角为________． 13．已知函数在区间上恰有3个最小值点，则实数的取值范围为________． 14．已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数满足：①相邻两条对称轴的距离为；②在处取得最大值2．(1)求的解析式及其单调递增区间；(2)若，求满足的的值． 16．在平面直角坐标系中，已知，，，． (1)的平分线与交于点，求点的坐标． (2)若，为与的交点．①若，求；②求的最小值． 17．已知，，函数. (1)求函数的解析式及周期；(2)若，且，求的值. (3)角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值. 18．已知斜三角形的内角，，所对的边分别为，，；且． （1）求角；（2）若的面积为，周长为15，求的值． 19．如图，在中，延长至点，使得，点在线段上，延长，交于点，且，记，． (1)请用表示向量； (2)若为的中点，求实数的值； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $