精品解析：2026年安徽省合肥市肥西县中考二模考试数学试题

2026年九年级第二次教学质量调研数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各数中，相反数等于本身的数是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】根据只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0，解答即可． 【详解】解：相反数等于本身的数是0． 2. 据预测，到2026年，安徽省常住人口约6113万人，6113万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，比原整数位数少1，解答即可． 【详解】解： 万， ． 3. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：它的俯视图是， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项，单项式乘多项式，积的乘方，完全平方公式的运算法则进行判断即可． 【详解】解：对选项A，，A错误； 对选项B， ，运算正确，符合题意； 对选项C，，C错误； 对选项D，，D错误． 5. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在左边作，由三角板可得，，根据拐点模型得到求出，再根据计算即可． 【详解】解：在左边作， 由三角板可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6. 在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氧化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，正确列举出所有的可能组合数，利用概率公式求概率是解题的关键． 根据题意列出所有的可能组合数，其中两瓶都是酸性溶液的只有一种组合，从而计算概率即可． 【详解】解：从四瓶溶液中随机抽取两瓶，可能的组合为： （稀硫酸，氧化钠）、（稀硫酸，稀盐酸）、（稀硫酸，碳酸钠）、（氧化钠，稀盐酸）、（氧化钠，碳酸钠）、（稀盐酸，碳酸钠）， 则总共可能组合数有6种，其中，两瓶都是酸性溶液的只有一种组合， 因此这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是， 故选：A． 7. 如图，菱形中，，点G、H分别在、上，，，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. 8 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由菱形中，，得到，是等边三角形，则，，再根据结合一线三等角模型证明，得到，代入解方程即可． 【详解】解：连接， ∵菱形中，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴， 即菱形的边长为． 8. 约定：在平面直角坐标系内，如果一个点的纵坐标是横坐标的平方，就称这个点为“二次方值点”．若函数（为常数）在第一象限的图象上存在两个不同的“二次方值点”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“二次方值点”定义，该点满足，联立一次函数得到一元二次方程，结合“第一象限存在两个不同二次方值点”的条件，利用一元二次方程根的判别式和根的正负性求解的范围即可． 【详解】解：∵“二次方值点”满足纵坐标是横坐标的平方，即， ∴联立与， 得， 整理得， ∵函数图象在第一象限存在两个不同的“二次方值点”，说明该一元二次方程有两个不相等的正实数根， 故方程有两个不等实根， ∴， 解得， 又∵两个根均为正数（第一象限横坐标），对于该方程，两根之和，满足两根均为正数， 则还需满足两根之积大于， 两根之积， 解得， 综上，的取值范围是． 9. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，证明，则，设，得到，则，故，同理可求，则，因此． 【详解】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则， 由旋转得， ∵四边形是正方形， ∴，，，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，设， 则， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键． 10. 如图，中，，，P，Q两点同时从点A出发，均以1个单位每秒的速度分别沿着，运动，则的面积与运动时间x之间的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分三种情况讨论，①当时，过点作，交于点，得到，，推出，为二次函数；②当时，过点作，交于点，过点作，交于点，得到，高为，推出，为一次函数；③当时，过点作，交于点，反向延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到，，，，，根据，得到，为二次函数． 【详解】解：①当时，过点作，交于点， ∴，， ∴，为二次函数； ②当时，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵, ∴高为， ∴，为一次函数； ③当时，如图所示，过点作，交于点，反向延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点， ∵中，， ∴， ∵，，，，， ∴， ， ， ， ∴，为二次函数，开口向下． 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分） 11. _____． 【答案】6 【解析】 【分析】先分别计算各部分的值，再按照有理数加减运算法则计算最终结果． 【详解】解：原式． 12. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 13. 如图，内接于，，若，，则的半径是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，交于点，连接，，由垂径定理可得的长，，结合已知可得，从而可得的长，在中，由勾股定理可得的长，设的半径为，在中，由勾股定理列方程求解即可得解． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，连接，， ，， ， ， ， ， 在中，， 设的半径为，则， ， 在中，， ， 解得， 即的半径为． 14. “幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小华和小明同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等． ①如图1所示，每个圆圈上的三个数字之和为_____． ②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：，，，请根据以下的对话内容，则的值为______． 小彬：由填数规则得；所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为，则的值可以用含的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值． 【答案】 ①. 12 ②. 6或9 【解析】 【分析】①根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，解方程即可； ②根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，再根据所有填入的数字之和建立等量关系，从而求得，最后由S为整数，以及，求出的值． 【详解】解：①设两个空白“□”中，左边空白“□”应填的数为x，右边空白“□”应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，可得：， 解得：， 每个圆圈上的三个数字之和为：； ②设上方的圆圈上空白“□”应填的数为m，左侧的圆圈上空白“□”应填的数为x，右侧的圆圈上空白“□”应填的数为y， 每个圆圈上的三个数字之和为S， ， ， 所有填入的数字之和为：， ， ， ， ，S为整数， 或9． 三、（本大题共2小题，每题8分，共16分） 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知点，． （1）画出线段； （2）将线段向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，画出线段； （3）以O为位似中心，在第三象限内把线段缩小到原来的一半，得到线段，画出线段． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）在直角坐标系中标出点A、B，再连接即可； （2）根据平移性质得到对应点的位置，再连接即可； （3）连接、，分别取、的中点，再连接即可． 【小问1详解】 解：线段如图所示； 【小问2详解】 解：线段如图所示； 【小问3详解】 解：线段如图所示． 四、（本大题共2小题，每题8分，共16分） 17. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，D是y轴正半轴上一点，过点D作轴，分别交一次函数图象和反比例函数图象于点B，C． （1）求k，m的值； （2）已知，连接，求的面积． 【答案】（1）k，m的值分别为7，2； （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式参数； （2）根据，求出点的横坐标，得出线段的长度，然后根据三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：把点代入，得， 把点代入，得，解得， ∴k，m的值分别为7，2； 【小问2详解】 解：由（1）知反比例函数的表达式为， 当时，， 解得， ∴； 由（1）知一次函数的表达式为， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴的面积． 18. 九年级学生李明想测量他家楼下的一棵松树的高度．由于松树周边有花坛，无法直接到达松树底部进行测量，班级数学学习小组结合实际情况完成了如下调查报告． 调查目的 测量李明家楼下的一棵松树的高度． 调查数据 ①经查阅资料，该住宅楼的高度为； ②在住宅楼顶端，利用无人机辅助测量，观测到松树顶端的俯角为； ③某一时刻太阳光下，测得住宅楼在地面的影长为，且松树顶端在地面的影子距住宅楼的水平距离为． 建立模型 根据调查数据，画出数学图形．如图，点B，E，H，D，F在同一条直线上，， ，，． 测量工具 卷尺、测角仪器、无人机 参考数据 ，， 问题解决 求松树的高度．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】延长，过点G作交延长线于点M．根据矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正切函数的应用，求解即可． 【详解】解：延长，过点G作交延长线于点M． ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 根据太阳光线是平行的， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 设， ， ∴， 根据题意，得四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 解得， 答：松树的高度约为． 五、（本大题共2小题，每题10分，共20分） 19. 随着科技的不断进步，人工智能一步步走进人们的生活．与此同时，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一，某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下：分析数据，得到下列表格： （计算方差的公式：） 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 91.5 a b 人工 89 90 100 108.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________；__________． （2）若成绩90分及以上为优秀，请你估计机器人操作800次，优秀次数为多少？ （3）根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优点（写一条即可）． 【答案】（1）95；8.2 （2）560次 （3）机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定 【解析】 【分析】（1）根据众数和方差的定义进行计算即可； （2）利用样本估计总体计算即可； （3）从平均数、方差的方面写出机器人在操作技能方面的优点． 【小问1详解】 解：观察机器人的10次操作成绩，发现95出现了三次，出现次数最多，则众数， ； 【小问2详解】 （次）， 优秀次数为560次； 【小问3详解】 机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定． 20. 如图，在中，为直径，与为弦，于点E，于点F，与相交于点G． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关图形的判定和性质． （1）先求出，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出答案即可； （2）连接，根据，得出，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， 于点F， ， ， 与都是弧所对的圆周角， ． 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ． 六、（本题满分12分） 21. 数学兴趣小组展开了“当与大小关系”的数学探究． （1）【感知】①；②；③_____（填“”“”或“”）． （2）【猜想】当，猜想_____（填“”“”或“”）． （3）【证明】数学小组从代数变形和数形结合给出了两种思路，分别如下： 思路一：∵．∴ 思路二：如图，已知，为直径，点为圆上一点，过点作于点，连接．设．∵为直径，∴．∵，∴，∴，∴ 任选一种补充证明． （4）【应用】如果，直接写出的最小值为_____． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（）根据二次根式的乘法法则计算即可求解； （）根据（）的结果猜想即可； （）根据思路补充完整证明过程即可； （）把代数式转化为，利用猜想求出的取值，进而即可求解； 本题考查了二次根式的运算，完全平方公式，圆周角定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：①；②；③， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当，猜想， 故答案为：； 【小问3详解】 思路一：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 思路二：如图，已知，为直径，点为圆上一点，过点作于点，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴； 【小问4详解】 解：， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点． （1）如图1，当时，猜想四边形的形状，并说明理由； （2）当时， ①如图2，若，求的长． （ⅱ）如图3，若，证明：． 【答案】（1）四边形是菱形，见解析 （2）①；②见解析 【解析】 【分析】（1）根据折叠和平行证明，从而可得，由四边相等的四边形是菱形得出结论； （2）①推出是等边三角形，证明，据此求解即可； ②过点作于点，证明，可得，，再由，可得，进而可得，，据此计算即可证明． 【小问1详解】 解：结论：四边形是菱形， 证明：由折叠可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②证明：过点作于点， ∴， ∵，即， ∴， ∵沿翻折，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线顶点纵坐标为． （1）求c的值． （2）约定：若函数图象上存在点，满足，且时，则称点与为一对“对偶点”，并称该函数为“对偶函数”． （ⅰ）发现时，上述二次函数是“对偶函数”，求出该函数的“对偶点”． （ⅱ）若二次函数是“对偶函数”，直接写出实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）与；（ⅱ）且 【解析】 【分析】（1）求出顶点横坐标，代入函数解析式得到顶点纵坐标，根据顶点纵坐标为即可求出c的值； （2）（ⅰ）根据非负数的性质得到，，根据，在函数上得到，进而得到，代入①得：，求解并检验是否符合即可； （ⅱ）同（ⅰ）得，根据根的判别式及作答即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得抛物线对称轴为直线， 即顶点横坐标为， 将代入抛物线得：， ∵抛物线顶点纵坐标为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：（ⅰ）当时，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵函数对偶点为，， ∴， ∵，， ∴②可化为③ 得：， ∴， ∵， ∴， 即， 代入①得：， 解得或， ∴或， 经检验都满足， 此时或， ∴函数的对偶点为与； （ⅱ）∵是“对偶函数”， ∴且， ∵，， ∴②可化为③， 得：， ∴， ∵， ∴， 即， 代入①得：， 化简得：， ∵方程有解， ∴， ∴， 当时，原方程可化为， 解得， ∴， 此时，不符合题意， ∴， 综上所述，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级第二次教学质量调研数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各数中，相反数等于本身的数是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2026 2. 据预测，到2026年，安徽省常住人口约6113万人，6113万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氧化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形中，，点G、H分别在、上，，，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. 8 D. 2 8. 约定：在平面直角坐标系内，如果一个点的纵坐标是横坐标的平方，就称这个点为“二次方值点”．若函数（为常数）在第一象限的图象上存在两个不同的“二次方值点”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，P，Q两点同时从点A出发，均以1个单位每秒的速度分别沿着，运动，则的面积与运动时间x之间的函数图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分） 11. _____． 12. 分解因式：=______． 13. 如图，内接于，，若，，则的半径是______． 14. “幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小华和小明同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等． ①如图1所示，每个圆圈上的三个数字之和为_____． ②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：，，，请根据以下的对话内容，则的值为______． 小彬：由填数规则得；所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为，则的值可以用含的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值． 三、（本大题共2小题，每题8分，共16分） 15. 解不等式：． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知点，． （1）画出线段； （2）将线段向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，画出线段； （3）以O为位似中心，在第三象限内把线段缩小到原来的一半，得到线段，画出线段． 四、（本大题共2小题，每题8分，共16分） 17. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，D是y轴正半轴上一点，过点D作轴，分别交一次函数图象和反比例函数图象于点B，C． （1）求k，m的值； （2）已知，连接，求的面积． 18. 九年级学生李明想测量他家楼下的一棵松树的高度．由于松树周边有花坛，无法直接到达松树底部进行测量，班级数学学习小组结合实际情况完成了如下调查报告． 调查目的 测量李明家楼下的一棵松树的高度． 调查数据 ①经查阅资料，该住宅楼的高度为； ②在住宅楼顶端，利用无人机辅助测量，观测到松树顶端的俯角为； ③某一时刻太阳光下，测得住宅楼在地面的影长为，且松树顶端在地面的影子距住宅楼的水平距离为． 建立模型 根据调查数据，画出数学图形．如图，点B，E，H，D，F在同一条直线上，， ，，． 测量工具 卷尺、测角仪器、无人机 参考数据 ，， 问题解决 求松树的高度．（结果精确到） 五、（本大题共2小题，每题10分，共20分） 19. 随着科技的不断进步，人工智能一步步走进人们的生活．与此同时，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一，某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下：分析数据，得到下列表格： （计算方差的公式：） 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 91.5 a b 人工 89 90 100 108.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________；__________． （2）若成绩90分及以上为优秀，请你估计机器人操作800次，优秀次数为多少？ （3）根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优点（写一条即可）． 20. 如图，在中，为直径，与为弦，于点E，于点F，与相交于点G． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 数学兴趣小组展开了“当与大小关系”的数学探究． （1）【感知】①；②；③_____（填“”“”或“”）． （2）【猜想】当，猜想_____（填“”“”或“”）． （3）【证明】数学小组从代数变形和数形结合给出了两种思路，分别如下： 思路一：∵．∴ 思路二：如图，已知，为直径，点为圆上一点，过点作于点，连接．设．∵为直径，∴．∵，∴，∴，∴ 任选一种补充证明． （4）【应用】如果，直接写出的最小值为_____． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点． （1）如图1，当时，猜想四边形的形状，并说明理由； （2）当时， ①如图2，若，求的长． （ⅱ）如图3，若，证明：． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线顶点纵坐标为． （1）求c的值． （2）约定：若函数图象上存在点，满足，且时，则称点与为一对“对偶点”，并称该函数为“对偶函数”． （ⅰ）发现时，上述二次函数是“对偶函数”，求出该函数的“对偶点”． （ⅱ）若二次函数是“对偶函数”，直接写出实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $