2025-2026学年北师大版八年级数学下学期5月学情自测卷（测试范围：第1-6章）.

**基本信息** 以吉祥物平移、工厂生产零件等真实情境为载体，融合几何直观与模型意识，考查八年级下册平移、因式分解、几何图形等核心知识的学情自测卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|平移、因式分解、分式方程|结合校吉祥物考平移（几何直观）| |填空题|6/18|等腰梯形、不等式组、三角形内角|考三角形内角说法辨析（推理意识）| |解答题|8/72|几何证明、应用题、坐标变换|购物问题列函数关系（模型意识）|

2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．如图，“凤小和”是我校的吉祥物，彰显了我校的办学目标以及学生的理想，下列哪张图片是通过平移如图得到的（   ） A． B． C． D． 2．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A．B． C． D． 3．某工厂生产零件80个，实际参与生产的人数是原计划人数的1.5倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了4个，若设原计划人数为人，则列出的方程是（     ） A． B． C． D． 4．若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 5．如图，在中，D，E分别是的中点，，，交的延长线于点，连接，则的长为（   ） A． B．5 C． D．6 6．若不等式组的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使，则度数为（    ） A．70° B．40° C．50° D．80° 8．如图所示，这是一条长方形纸带ABCD经过两次折叠后得到的图形，若，则和的度数分别是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 10．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把绕点B逆时针旋转90°后得到，则点的坐标是（） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．等腰梯形的一个下底角为，上底长和梯形的高均为3，则梯形的周长等于 ___________________． 12．已知的最小值为，的最大值为，则_______． 13．已知关于、的方程组的解满足，则的取值范围是___． 14．关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，③必有一个角大于，④至少有一个角不小于．其中不正确的说法是________（填序号）． 15．如图，在和中，，，，线段的延长线交于点，连接．若，，，则线段的长度为_________． 16．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．解答下列问题： (1)计算：； (2)因式分解：； (3)因式分解：； (4)解不等式组． 18．若是不等式组的整数解，解关于的分式方程． 19．一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的3倍还多． (1)求这个多边形的每一个外角的度数； (2)求这个多边形的内角和． 20．在平面直角坐标系中，已知点． (1)在网格中描出点A、B、C； (2)将三角形向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到三角形，写出点、、的坐标； (3)求三角形的面积． 21．如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 22．某学校运动会需要购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需要60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少元； (2)学校计划购买A、B两种奖品，且A种奖品的数量比B种奖品数量的3倍少10件，设B种奖品购买m件，总费用为p元，求p与m之间的函数关系式； (3)若购买的总费用p不多于800元，求最多购买B种奖品多少件？ 23．如图，中，，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点． (1)求证：为等腰三角形． (2)若E为的中点，求证：． 24．如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)________，________，与关系为________，四边形的面积为________； (2)如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当点在上运动时，若点的横坐标与纵坐标相等，则________秒； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．如图，“凤小和”是我校的吉祥物，彰显了我校的办学目标以及学生的理想，下列哪张图片是通过平移如图得到的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向进行判断即可． 【详解】解：由平移的定义可知，只有选项B符合要求． 2．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 3．某工厂生产零件80个，实际参与生产的人数是原计划人数的1.5倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了4个，若设原计划人数为人，则列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设原计划人数为人，根据总零件数分别表示出原计划和实际的平均每人生产零件个数，再结合实际平均每人生产零件个数比原计划少个的等量关系列出方程，即可选出正确选项． 【详解】解：设原计划人数为人， ∵实际参与生产的人数是原计划人数的倍，∴实际参与生产的人数为人． 原计划平均每人生产零件个数为，实际平均每人生产零件个数为， ∵实际平均每人生产零件个数比原计划少了个， ∴原计划平均生产个数减去实际平均生产个数等于，因此列出方程为， 故选A． 4．若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的值是整数的条件，分离假分式是解题的关键．先将假分式分离可得出，根据题意可知是6的整数约数，求解即可获得答案． 【详解】解：， 由题意可知，是6的整数约数， ∴，，，，1，2，3，6， 解得，，，0，1，，2，， 其中的值为整数为，0，1，2，共4个． 故选：B． 5．如图，在中，D，E分别是的中点，，，交的延长线于点，连接，则的长为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】求得，证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，D，E分别是的中点， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．若不等式组的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解不等式组，得到用，表示的解集，再与已知解集的端点对应，求出，后代入计算． 【详解】解：已知， 解得， 由不等式组的解集为， 可得， 解得， 故． 7．如图所示，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使，则度数为（    ） A．70° B．40° C．50° D．80° 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角、平行线的性质．旋转中心为点，与，与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是由旋转得到的， ∴， ∴，， ∴， 在中， ， ∵， ∴， 即， ∵， ∴． 故选：B． 8．如图所示，这是一条长方形纸带ABCD经过两次折叠后得到的图形，若，则和的度数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质得，再由折叠的性质得，结合三角形内角和定理和平角的意义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 9．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识．根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解． 【详解】解：根据题意可得：平分，即， 故选：C． 10．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把绕点B逆时针旋转90°后得到，则点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得A、B两点坐标，得到、，根据旋转的性质求得的坐标，即可求解． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 将代入得，，将代入得， 则，，即，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．等腰梯形的一个下底角为，上底长和梯形的高均为3，则梯形的周长等于 ___________________． 【答案】 【分析】此题考查等腰梯形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据底角为，过上底顶点作高可以得到等腰直角三角形，依此求出下底长即可求解，过上底顶点作梯形的高是解决梯形问题常用的辅助线之一． 【详解】解：如图，分别过作，垂足为， 由题意得：， 在直角中，， ， ， 在等腰梯形中，， ， ∴四边形为矩形， ， ， ∴梯形的周长等于， 故答案为：． 12．已知的最小值为，的最大值为，则_______． 【答案】 【详解】求一元一次不等式解的最值、已知字母的值 ，求代数式的值 略 13．已知关于、的方程组的解满足，则的取值范围是___． 【答案】 【分析】根据加减消元法，得出，再结合，得到关于的不等式求解即可． 【详解】解：， 由得：， ， ， ， 14．关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，③必有一个角大于，④至少有一个角不小于．其中不正确的说法是________（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反证法，举反例，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据反证法，可证明①②④正确，通过举反例，可证明③错误． 【详解】解：①若三角形的三个内角至多只有一个锐角，则三个内角中至少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以①正确； ②若三角形的三个内角最少有2个直角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以②正确； ③因为三角形的三个内角可以都等于，所以③错误； ④若三角形的三个内角都小于，那么三个内角的和就小于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以④正确． 故答案为：③． 15．如图，在和中，，，，线段的延长线交于点，连接．若，，，则线段的长度为_________． 【答案】 【分析】先证明，，求解，可得，可得，进一步求解即可． 【详解】解：，，， ， ， ∵，， ∴， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称及等边三角形的性质，熟知等边三角形的性质及中心对称的性质是解题的关键． 先求出及的长，进一步得出及的长，据此求出的长，最后用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形，O为的中点，， ∴，． 在中， ． ∵与关于点B中心对称， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．解答下列问题： (1)计算：； (2)因式分解：； (3)因式分解：； (4)解不等式组． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 18．若是不等式组的整数解，解关于的分式方程． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键． 由不等式组有解，确定出m的范围，继而求出，将代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出x的值并检验即可． 【详解】解：不等式组整理得 ， 解得 ， ∵m为整数， ∴， 将代入，得 ， 去分母得 ， 解得 ， 经检验，是分式方程的解． 19．一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的3倍还多． (1)求这个多边形的每一个外角的度数； (2)求这个多边形的内角和． 【答案】(1)这个多边形的每一个外角为； (2)这个多边形的内角和为． 【详解】（1）解：设这个多边形的每一个外角的度数为x，由题意得： ， 解得：， 答：这个多边形的每一个外角为； （2）解：，， 答：这个多边形的内角和为． 20．在平面直角坐标系中，已知点． (1)在网格中描出点A、B、C； (2)将三角形向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到三角形，写出点、、的坐标； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，、、 (3) 【分析】（1）根据坐标描点即可； （2）根据平移规律画出，根据平面直角坐标系可知点、、的坐标； （3）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，点A、B、C即为所求； （2）解：如图，三角形即为所求，可知、、； （3）解：． 21．如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 22．某学校运动会需要购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需要60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少元； (2)学校计划购买A、B两种奖品，且A种奖品的数量比B种奖品数量的3倍少10件，设B种奖品购买m件，总费用为p元，求p与m之间的函数关系式； (3)若购买的总费用p不多于800元，求最多购买B种奖品多少件？ 【答案】(1)A种奖品10元/件，B种奖品15元/件 (2)（且为整数） (3)最多购买B种奖品20件 【分析】（1）设A种奖品x元/件，B种奖品y元/件，根据条件建立方程组求出其解即可； （2）根据总费用=两种奖品的费用之和表示出p与m的关系式； （3）列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设A种奖品x元/件，B种奖品y元/件，根据题意可列 ， 解得：． 答：A种奖品10元/件，B种奖品15元/件． （2）解：设B种奖品购买m件，则购买A种奖品件， ， 解得， 又m为整数， 且为整数， ， （且为整数）． （3）解：， ， ，又且为整数， 则最多购买B种奖品20件． 23．如图，中，，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点． (1)求证：为等腰三角形． (2)若E为的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由三线合一定理可得，再由同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行可证明，根据平行线的性质得出，，根据等腰三角形的判定即可得出结论； （2）过点A作，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，为边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）证明：过点A作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 24．如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)________，________，与关系为________，四边形的面积为________； (2)如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当点在上运动时，若点的横坐标与纵坐标相等，则________秒； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，，； (2)；；，理由见解析． 【分析】（）由非负数的性质得出，，故，，所以，，由平移性质可知，，，然后通过面积公式即可求解； （）由点在上运动，，则的纵坐标为，根据点的横坐标与纵坐标相等，得出，求出的值即可； 当点在上运动，则点的横坐标为，由（）得，，最后列代数式即可； 当时，点在上运动，则过作，则有，然后根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 由平移性质可知，，，，，， ∴四边形的面积为 ； （2）解：∵点在上运动，， ∴点的纵坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴， 解得：； 由平移性质可知，， ∵点在上运动， ∴点的横坐标为， 由（）得，，， ∴，即点的纵坐标为， ∴点的坐标为； ，理由如下： 当时，点在上运动，则过作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $