23.3第2课时一次函数与一元一次不等式 课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

**基本信息** 本同步练习通过“基础-综合-拓展”三层设计，以一次函数与一元一次不等式关系为核心，从单一知识点应用到几何与函数综合，梯度递进培养抽象能力、推理意识和几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识分点练|一次函数与不等式关系、图象法解不等式|选择填空为主，直接考查图象解集，夯实概念理解| |能力综合练|函数性质与不等式综合应用|多函数比较、含参数分析，培养逻辑推理能力| |拓展探究练|几何与函数综合（如三角形面积）|结合坐标系与几何图形，发展几何直观和创新意识|

23.3第2课时一次函数与一元一次不等式 知识分点练 夯基础 知识点1 一次函数与一元一次不等式的关系 1．如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2．已知不等式的解集是，下列有可能是函数的图象的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 4．如图，直线的图象经过点，当时，x的取值范围是______． 5．如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 知识点2 用图象法解一元一次不等式 6．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．由图象可知 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 8．如图，正比例函数和一次函数交于点，不等式的解集为______． 9．如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 能力综合练 练思维 10．已知一次函数（a，b是常数）的图像经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 11．一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 12．一次函数与的图象交于点，点的纵坐标为，则满足的的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 13．在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中画出了一次函数和的图象（如图），两直线相交于点，分别与轴交于点．已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的不等式的解集是_______； (2)关于的不等式的解集是________； (3)关于的不等式组解集是________． 14．一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象有下列五个结论：①，②，③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是________． 15．如图，在中，，，动点P从点B出发，沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P的运动路程为x，的面积为y．请解答下列问题： (1)请直接写出y与x的函数关系式及x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围（误差不超过0.2）． 16．如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 拓展探究练 提素养 17．如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在平面内找一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出D点的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点．点、点恰好关于点对称． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)如果线段的长为，求点的坐标； (4)我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，直接写出所有符合条件的整点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.3第2课时一次函数与一元一次不等式 知识分点练 夯基础 知识点1 一次函数与一元一次不等式的关系 1．如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象确定的解集，再利用整体思想求解即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象与x轴交于点，且y随x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集为． 要求不等式的解集，即求的解集， 将看作整体，可得， 解得． 2．已知不等式的解集是，下列有可能是函数的图象的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：不等式的解集是， 直线与轴交点为且随增大而减小，即C选项符合题意． 3．如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】将点，代入一次函数，可求得的值为，将的值代入不等式即可求出解集． 【详解】解：已知一次函数过点， 将点坐标代入解析式：， 解得：， ∴一次函数解析式为， 直线上函数值满足时，对应横坐标的取值范围： 当时，代入，得 解得：，即直线与轴交点为， 当时，对应已知点 最终解集为：． 4．如图，直线的图象经过点，当时，x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据函数图象可知，直线与轴交于点，观察轴上方的图象对应的自变量的取值范围即可； 【详解】解：由图象可知，直线与轴的交点坐标为， 当时，函数图象在轴上方，即， 所以当时，的取值范围是． 5．如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直线与x轴的交点的横坐标即为关于的方程的解，据此可得答案； （2）根据函数图象找到一次函数的函数值小于1时自变量的取值范围即可得到答案； （3）找到一次函数的函数图象在一次函数的图象下方或二者的交点处时自变量的取值范围即可得到答案； （4）根据函数图象分别求出不等式和的解集即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，直线与x轴交于点， ∴关于的方程的解是； （2）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集是； （3）解：由函数图象可知，当，； （4）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式组的解集为． 知识点2 用图象法解一元一次不等式 6．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从函数图象的角度看，求关于的不等式的解集就是确定直线在上方部分对应x的取值范围．因此先将点代入函数，求出n的值，再根据图象即可解答． 【详解】解：∵直线过点 ∴，解得， ∴直线与直线交于点， ∴由图象可得，关于的不等式的解集为． 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．由图象可知 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 【答案】D 【分析】先观察直线与轴交点的位置在直线与轴交点的上方，得，可判断；再根据两条直线的交点可得方程组的解即可判断选项，然后根据直线与轴交点的坐标可判断；最后根据当时，直线在直线的下方，可判断． 【详解】解：、因为直线与轴交点的位置在直线与轴交点的上方， 所以，该选项正确，不符合题意； 、因为直线与直线的交点坐标是， 所以方程组的解为，该选项正确，不符合题意； 、因为直线与轴交点的坐标是， 所以方程的解为，该选项正确，不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项错误，符合题意． 8．如图，正比例函数和一次函数交于点，不等式的解集为______． 【答案】 【分析】利用正比例函数解析式确定A点坐标，结合图形即可求解． 【详解】解：正比例函数和一次函数交于点， ，解得． ． 结合图形可知，当时，． 能力综合练 练思维 9．如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，利用函数图象确定不等式的解集是解题的关键．先将交点代入直线：求出的值，再结合函数图象，找出直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围，进而得到不等式的解集． 【详解】解：将点坐标代入直线，得， 从图中直接看出，当时，， 故答案为：． 10．已知一次函数（a，b是常数）的图像经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数图象经过的象限判断a的符号，再结合与x轴的交点，确定时x的取值范围即可． 【详解】∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，函数值随的增大而减小， ∵一次函数图象与轴交于点， ∴当时，， 不等式，即， 结合函数增减性可得：． 11．一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据题意，由不等式组，结合图象可得其解集为满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解． 【详解】解：由图象可知满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值， ，故正确． 12．一次函数与的图象交于点，点的纵坐标为，则满足的的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据与交点坐标的纵坐标，求出点的坐标，代入中，求出的解析式，再根据，列不等式方程组，即可求解． 【详解】∵与的图象交于点，点的纵坐标为， ∴将点的纵坐标为代入，解得：， ∴， 将代入，解得：， ∴， ∵， ∴，即 解得：， ∴当时，的取值范围是． 13．在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中画出了一次函数和的图象（如图），两直线相交于点，分别与轴交于点．已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的不等式的解集是_______； (2)关于的不等式的解集是________； (3)关于的不等式组解集是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用与轴交于且递减，得图像在轴上方时，解集为； （）根据两直线交点横坐标为，得交点左侧在下 方，解集为； （）解：由交点且递减，得函数值小于时；解：由与轴交于，递增，得；取两者公共部分，不等式组解集为． 【详解】（1）解：不等式，表示的图像在轴上方， ∵与轴交于，且随增大而减小， ∴图像在轴上方时； （2）解：不等式，表示的图像在图像下方， ∵两直线交点的横坐标为，交点左侧满足在下方， ∴解集为； （3）解：∵：表示函数值小于，交点，递减， ∴解集为； ∵：表示函数值大于，与轴交于，递增， ∴解集为； ∴两个解集的公共部分为，即不等式组的解集． 14．一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象有下列五个结论：①，②，③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是________． 【答案】3 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与轴、轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤． 【详解】解：一次函数经过第一、二、三象限， ，故①正确； 一次函数与轴交于负半轴，与轴交于， ，方程的解是，故②正确，③不正确； 由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确； 由函数图象可知，不等式组的解集是，故⑤正确； 正确的一共有3个． 15．如图，在中，，，动点P从点B出发，沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P的运动路程为x，的面积为y．请解答下列问题： (1)请直接写出y与x的函数关系式及x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围（误差不超过0.2）． 【答案】(1)当时，，当时， (2)图象见解析；性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 ； (3)或 【分析】（1）先求出，再直接利用三角形面积公式即可求解； （2）直接画出图象并观察图象特征即可求解； （3）直接观察图象求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴ 当时，， 当时，， （2）解：图象如图所示： 性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 ； （3）由图象可知， 当时，或， 解得：或， 当时，自变量x的取值范围是或． 16．如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用一次函数上的点，其纵坐标为值，横坐标为值得到答案． （2）根据一次函数图象的所求图象在某点的左侧，则小于该点的横坐标，在某点的右侧，则大于该点的横坐标得到答案． （3）根据点的左边，得出对应线段的长度，用割补法求出答案． 【详解】（1）解：∵一次函数过点， ∴当时，； ∵一次函数过点， ∴当时，， 根据图象可知，当时，一次函数的图象在点的右侧， ∴． （2）解：由图象可知当时，一次函数在点的右侧， ∴， ∵点时一次函数和的交点， ∴当时，两个一次函数的函数值相等， 当时，图象在点的左侧， ∴， 综上所述，． （3）解：∵一次函数过点和点， ∴将两点代入到一次函数中， ， 解得，一次函数表达式为：， 令，解得，即点， 如图所示，过点作垂直于轴交轴于点， 由题意知：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的综合问题，解题关键是能将点的坐标与一次函数的关系理清楚． 拓展探究练 提素养 17．如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在平面内找一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出D点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)①；②或或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及一次函数与一元一次方程，一元一次不等式（组）的关系，等腰直角三角形的性质及应用等． （1）依据题意，利用直线与x轴交点即为时，对应x的值，进而得出答案； （2）依据题意，利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案； （3）①利用三角形面积公式求得即可； ②设，可得，，，分两种情况讨论：当为直角边时，，；当为直角边时，，．分别可得关于m、n的方程组，解方程组即可得D点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴关于x的方程的解是； ∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴观察图象可得关于x的不等式的解集是； 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴观察图象可得关于x的不等式组的解集为， 故答案为：； （3）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②设， ∵，， ∴，，， 分以下两种情况讨论： 当为直角边时，，， ∴， 解得或， ∴D的坐标为或； 当为直角边时，，， ∴， 解得或， ∴D的坐标为或； 综上所述，D的坐标为或或或． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点．点、点恰好关于点对称． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)如果线段的长为，求点的坐标； (4)我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，直接写出所有符合条件的整点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或 (4) 【分析】（1）根据得，根据点、点恰好关于点对称，得到．代入，解得m值即可求直线的解析式； （2）根据得到，根据得到，继而得到，根据得到，根据，解答即可； （3）根据点在直线上，设，根据轴，交直线于点，得．结合线段的长为，得到，解答即可； （4）根据点在直线上，设，根据轴，交直线于点，得．得到，结合，分类解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵点、点恰好关于点对称， ∴． 把代入， 得 解得， 故直线的解析式为． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）∵点在直线上，设， ∵轴，交直线于点， ∴． ∵线段的长为， ∴， ∴或， 解得或． ∴点坐标为或． （4）∵点在直线上，设， ∵轴，交直线于点， ∴． ∴， ∵， ∴，， ∴，，，， 解得，，， ∴或， ∵点P是整点，， ∴n必须是整数，必须是整数， ∴或，且n是2的倍数， 故或， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述，点或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，对称的性质，不等式组解集的整数解，平行y轴直线上的两点间距离公式，熟练掌握待定系数法，不等式组解集的整数解是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $