精品解析：上海市黄浦区2025-2026学年第二学期高三5月模拟数学试卷

黄浦区2025-2026学年第二学期高三年级数学三模 2026.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 设全集，，则_________. 2. 不等式的解集为___________． 3. 已知随机变量服从正态分布，则________． 4. 已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 5. 已知实数，满足，则的最大值为________． 6. 已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________． 7. 某班共有30名学生，则其中至少有2名学生在同一天出生的概率为________．（默认每年天数均为365天，结果精确到0.001） 8. 利用二项式定理，被8除所得的余数为________． 9. 在中，，，则在上的数量投影的取值范围为________． 10. 双曲线的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则该双曲线两条渐近线夹角的余弦值为________． 11. 设，，，满足．若的值与、无关，则的取值范围为________． 12. 我校新添置了“智能咖啡机”供师生使用，使用者可持空纸杯接咖啡．当投入一枚“五爱币”后，“智能咖啡机”将出液，此时液面高度占纸杯高度的比为（忽略咖啡表面张力）．已知纸杯是圆台形状的容器，杯口半径大于杯底半径，咖啡机每次出液量一致．若使用者直至投入三枚“五爱币”，才发现咖啡液溢出纸杯，则的取值范围为________． 二、选择题（本大题共4题，满分18分．第13-14题满分4分，第15-16题满分5分）． 13. 已知是虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个根，则的虚部为（ ）． A. 3 B. C. D. 14. 某研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计，根据统计数据制作列联表，提出原假设：“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系，计算得，由此可知（ ）．（显著性水平取0.05，） A. 接受原假设，没有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 B. 拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 C. 接受原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 D. 拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系 15. 记为数列的前项和，已知和（为常数）均为等比数列，则的值可能为 A. B. C. D. 16. 设，均为非空集合，函数的定义域为，若存在，使得对任意，均有，则称函数具有“性质”．下列说法中正确的是（ ）． A. “”是“函数具有‘性质’”的充分非必要条件 B. 设，则“函数具有‘性质’”是“具有最小值”的必要非充分条件 C. 设，“”是“函数具有‘性质’”的充分必要条件 D. 设，“函数具有‘性质’”是“具有‘性质’”的既非充分又非必要条件 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，三棱锥中，，，，为的中点． （1）证明：； （2）点满足，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 现有除颜色外都相同的个红球和个白球，随机取个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并放入一个另一种颜色的球，经过次摸球，袋中的红球个数记为． （1）求和； （2）求； （3）当时，求随机变量的分布列和数学期望． 19. 设，已知函数，其中． （1）若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围； （2）当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 20. 设抛物线的焦点为，过的直线交于，，过且垂直于的直线交抛物线的准线于，交轴于． （1）若，求点的坐标； （2）若，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程； （3）求的取值范围． 21. 对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”． （1）已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由； （2）已知是周期为的偶函数，且当时，．函数是的“关联函数”，若在上至少有26个解，求的最小值； （3）已知函数和的定义域均为．当（为正整数）时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”且是的“关联函数”，求函数的零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄浦区2025-2026学年第二学期高三年级数学三模 2026.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 设全集，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全集求补集即可. 【详解】因为，所以， 故答案为： 2. 不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的求法可直接求得结果. 【详解】由得：，解得：，即不等式的解集为. 故答案为：. 3. 已知随机变量服从正态分布，则________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以正态密度曲线关于直线对称，得到. 4. 已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，， 当时，，符合上式， 所以. 5. 已知实数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由，等式两边平方得：展开得. 由于对任意实数，有， 将其代入上式：，则. 当且仅当时取等号，代入,解得或，此时，满足取等条件,因此的最大值为1. 6. 已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】设，则以为终边的角为， 又，， 所以， 所以点的横坐标为 7. 某班共有30名学生，则其中至少有2名学生在同一天出生的概率为________．（默认每年天数均为365天，结果精确到0.001） 【答案】0.706 【解析】 【分析】先计算全班所有学生生日互不相同的概率，再用对立事件概率关系计算即可. 【详解】设全班30名学生生日全部互不相同为事件A，所以， 所以全班30名学生中至少有2名学生在同一天出生的概率为 8. 利用二项式定理，被8除所得的余数为________． 【答案】7 【解析】 【详解】 . 所以被8除所得的余数为7. 9. 在中，，，则在上的数量投影的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】确定点的位置，建立平面直角坐标系，根据正弦定理及投影的定义计算求解. 【详解】由正弦定理可得（为外接圆半径） 所以的外接圆半径， 所以点在为弦，圆周角为的两段圆弧上运动，如图所示， 以点为坐标原点，为轴，过点垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则外接圆的圆心在直线上，因为半径， 所以圆心坐标为， 根据对称性，只讨论圆心为这种情况即可， 由向量投影的定义可知 ，当点为直线与外接圆的交点时，投影取得最值， 即或， 结合图形可知，当时，在上的数量投影有最小值，最小值为， 当时，在上的数量投影有最大值，最大值为， 所以在上的数量投影的取值范围为. 10. 双曲线的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则该双曲线两条渐近线夹角的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】联立圆与渐近线得交点，求得向量夹角及已知角得渐近线斜率，再通过直角三角形与二倍角公式求出两渐近线夹角的余弦值. 【详解】由双曲线方程，焦点， 以为直径的圆，取渐近线， 联立，解得或， 所以交点，右顶点， 则向量， 所以， 已知，因此，解得，即， 即,由知, 因为 ，所以，所以, 设圆与轴交点为，所以, 设两渐近线夹角为，则， 所以. 11. 设，，，满足．若的值与、无关，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数x，y满足,设,求出的取值范围，再结合的值与x，y均无关，得到相应不等式恒成立，确定a的取值范围. 【详解】实数x，y满足, 可设,  则, , 令，则， 则原问题变为的值与t无关， 由于，故，则， 要使得的值与t无关，需满足对所有的恒成立， 即，即对所有的恒成立，故 当时，，符合题意， 实数a的取值范围是. 12. 我校新添置了“智能咖啡机”供师生使用，使用者可持空纸杯接咖啡．当投入一枚“五爱币”后，“智能咖啡机”将出液，此时液面高度占纸杯高度的比为（忽略咖啡表面张力）．已知纸杯是圆台形状的容器，杯口半径大于杯底半径，咖啡机每次出液量一致．若使用者直至投入三枚“五爱币”，才发现咖啡液溢出纸杯，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】设一枚“五爱币”对应的咖啡体积占纸杯总容积的比例为，先由“两枚不溢出，三枚溢出”得到；再利用圆台体积与圆锥极限情况比较，说明，从而求出的取值范围． 【详解】设纸杯高为，杯底半径为，杯口半径为，其中． 设投入一枚“五爱币”后咖啡体积为，纸杯总容积为，并记. 为一枚咖啡体积占纸杯总容积的比例． 由题意，投入两枚“五爱币”后咖啡不溢出，投入三枚“五爱币”后咖啡溢出，所以. 即 下面建立与之间的关系． 投入一枚“五爱币”后，液面高度为．由于纸杯是圆台形状，从杯底到杯口，半径随高度均匀增大， 所以高度为处的液面半径为 液面以下部分也是一个圆台，它的高为，下底半径为，上底半径为． 由圆台体积公式可得 整个纸杯的容积为 因此 先说明． 因为，所以 于是 故 又因为，所以 再说明为什么有． 来自圆锥的相似体积关系：如果杯底半径趋近于，圆台就接近一个圆锥； 对圆锥来说，高度变成原来的倍，半径也变成原来的倍，小圆锥与大圆锥的相似比为，所以体积比为． 题中杯底半径，底部不是尖点，相同高度比例下，液面以下部分比圆锥对应部分更“粗”， 所以体积比例应大于圆锥情形，即． 令，则． 由上式整理得 于是 因为，，所以 因此 结合，得所以即 综上，必要条件为 下面说明这个范围内的都可以取到． 当纸杯接近圆锥时，可以接近；当纸杯接近圆柱时，可以接近．杯底半径与杯口半径的比值连续变化时， 也会在与之间连续变化． 若，则所以区间与区间有公共部分． 因此可以选择合适的圆台纸杯形状，使一枚咖啡体积占比满足 这时两枚不溢出，三枚溢出，符合题意． 所以的所有可能取值范围为 二、选择题（本大题共4题，满分18分．第13-14题满分4分，第15-16题满分5分）． 13. 已知是虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个根，则的虚部为（ ）． A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭复数，故，其虚部为. 14. 某研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计，根据统计数据制作列联表，提出原假设：“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系，计算得，由此可知（ ）．（显著性水平取0.05，） A. 接受原假设，没有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 B. 拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 C. 接受原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 D. 拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系 【答案】B 【解析】 【详解】由于且，故拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系. 15. 记为数列的前项和，已知和（为常数）均为等比数列，则的值可能为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对的公比是否为1分类，可排除，再利用也是等比数列列方程即可得到，分别令，，，，可得只有时才存在满足方程，问题得解． 【详解】当时，令（其中为非零常数）， 整理得：，要使得它对任意的恒成立， 则：，解得：，这与为等比数列矛盾. 所以， 令（其中为非零常数），则，整理得： ，要使得它对任意的恒成立， 则，整理得：， 令，则，解得：，这与为等比数列矛盾. 令，则，整理得：，此方程无解． 令，则，整理得：，记， ，，所以在上必有一零点．即至少有一个实根. 令，则，整理得：，解得：，这与为等比数列矛盾. 故选C. 【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及求和公式，考查分类思想及转化能力，还考查了计算能力及方程思想，属于中档题． 16. 设，均为非空集合，函数的定义域为，若存在，使得对任意，均有，则称函数具有“性质”．下列说法中正确的是（ ）． A. “”是“函数具有‘性质’”的充分非必要条件 B. 设，则“函数具有‘性质’”是“具有最小值”的必要非充分条件 C. 设，“”是“函数具有‘性质’”的充分必要条件 D. 设，“函数具有‘性质’”是“具有‘性质’”的既非充分又非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】结合新定义，根据条件之间的推出关系可判断. 【详解】对于A，的定义域为， 若，则对任意，均有，充分性成立； 若函数具有“性质”，则，，使得， 即，则，所以，必要性成立， 所以“”是“函数具有‘性质’”的充分必要条件，故A错误. 对于B，若函数具有“性质”，则，，使得， 即，则，所以充分性成立； 若具有最小值，设，则，，使得， 即，所以函数具有“性质”，必要性成立， 则“函数具有‘性质’”是“具有最小值”的充分必要条件，故B错误. 对于C，函数具有“性质”，则，，使得， 所以，且， 由不等式的性质可知，即，必要性成立； 若，取，而， 所以，所以函数不具有“性质”，充分性不成立， 所以“”是“函数具有‘性质’”的必要非充分条件，故C错误. 对于D，（方法一）若函数具有“性质”，则，，使得， 推不出，所以充分性不成立； 若函数具有“性质”，则，，使得，则， 若不在的值域内，则不存在，使得，所以必要性不成立. （方法二）充分性：举反例，取常函数， 令，则， 所以，，使得，函数具有“性质”， ，所以函数不具有“性质”， 即函数具有“性质”推不出具有“性质”，充分性不成立； 必要性：举反例，取一个值域为的函数，令，则， 取，则，，使得，函数具有“性质”， 假设存在，使得，则，与值域矛盾， 所以假设不成立，所以不具有“性质”， 即函数具有“性质”推不出具有“性质”，必要性不成立. 综上，“函数具有‘性质’”是“具有‘性质’”的既非充分又非必要条件，故D正确. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，三棱锥中，，，，为的中点． （1）证明：； （2）点满足，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明和均为等腰三角形，利用三线合一性质得到和，进而证明平面，最后利用线面垂直的性质得证； （2）根据（1）中的垂直关系及勾股定理逆定理证明，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角的正弦值。 【小问1详解】 因为， 所以为等边三角形，则. 同理，因为， 所以为等边三角形，则，所以. 因为为的中点，所以. 又因为,为的中点，所以. 因为平面， 所以平面, 因为平面， 所以. 【小问2详解】 不妨设由（1）可知. 在中，，， 所以. 因为为的中点，所以，. 在中，， 所以 在中，， 所以. 由（1）知平面，且平面， 所以， 故两两垂直. 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系 则 所以,. 因为， 所以 所以. 设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为 18. 现有除颜色外都相同的个红球和个白球，随机取个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并放入一个另一种颜色的球，经过次摸球，袋中的红球个数记为． （1）求和； （2）求； （3）当时，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1），； （2）； （3） . 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的概率公式计算对应事件的概率； （2）结合条件概率，通过全概率公式求解； （3）先确定的所有可能取值，根据全概率公式计算相应的概率，进而可得分布列，再根据期望公式计算数学期望. 【小问1详解】 因为表示从 个红球和个白球随机取个球的红球个数，所以服从超几何分布，  表示抽取的个球全为白球，故.  表示抽取的个球有个红球、个白球，故. 【小问2详解】 由题意，的所有可能取值为，由（1）知，， 同理得，. 当时，袋中全为白球，摸出白球换为红球后，红球的个数为，则，故； 当时，袋中红白球，摸到红球换白球后，红球的个数为，则， 摸到白球换红球后，红球的个数为，则，故； 当时，袋中红白球，摸到红球换白球后，红球的个数为，则， 摸到白球换红球后，红球的个数为，则，故； 当时，袋中全为红球，摸出红球换为白球后，红球的个数为，则，故； 因此，由全概率公式： 【小问3详解】 当时，袋中红白球， 第一次摸换后的可能取值为，其中（摸出红球换为白球），（摸出白球换为红球）. 第二次摸换后的可能取值为： ,   故的分布列为： 因此，数学期望。 19. 设，已知函数，其中． （1）若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围； （2）当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；实数的取值范围是 （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出导函数，根据构造函数，根据研究的单调性；根据以上单调性分析的大致图象，根据其与直线有交点可得结果. （2）构造函数，根据导数研究恒成立问题. 【小问1详解】 当时，， 其定义域为，且. 令，则， 所以在上单调递增，所以在上是增函数， 而，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. 因为在处连续，由上知在处取得极小值，也是最小值，为. 当（从右侧趋于）时，； 当时，且的增长速度比快很多，所以. 由存在零点知的图象与直线有交点， 由上知，即实数的取值范围是. 【小问2详解】 令， 则，令， 则. 因为，，所以，所以，即在上单调递增， 所以. （i）当，即时，，在上单调递增， 所以，即，满足题意； （ii）当，即时，，， 若，则，在上单调递减， 所以，即，不满足题意； 若，则，使得，当时，，单调递减， 所以，即，不满足题意. 综上，实数的取值范围是. 20. 设抛物线的焦点为，过的直线交于，，过且垂直于的直线交抛物线的准线于，交轴于． （1）若，求点的坐标； （2）若，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）写出直线方程，令即可得解； （2）分斜率存在与不存在两种讨论，当斜率存在时与抛物线联立，利用即可求解； （3）过A作，垂足为,过B作，垂足为,设，，又结合抛物线定义得，将直线的方程与联立，由韦达定理即可求解. 【小问1详解】 如图：由题意得，准线方程为：.若，则， 所以直线的方程为：，令得，所以点的坐标为. 【小问2详解】 当斜率不存在时直线方程为：； 当斜率存在时设直线方程为：，将之与联立得， 化简得，由题意得，解得 故过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程为：或. 【小问3详解】 如图： 过A作，垂足为,过B作，垂足为,设， 则，又 故，， 直线的倾斜角为, . 设，则, 设直线的方程为，则，得， 将直线的方程与联立得， 整理得，则，， ， 所以, 所以, ，当时取等号， 所以的取值范围是. 21. 对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”． （1）已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由； （2）已知是周期为的偶函数，且当时，．函数是的“关联函数”，若在上至少有26个解，求的最小值； （3）已知函数和的定义域均为．当（为正整数）时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”且是的“关联函数”，求函数的零点． 【答案】（1）不存在，理由见解析； （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据关联函数定义，若存在，则应有，取即可得到矛盾． （2）由的偶性和周期性，先确定时，从而．再分析方程在各区间内的解的个数，确定第26个解的位置． （3）由两个关联关系推出与零点相同，于是只需求的解．再按分类讨论即可． 【小问1详解】 假设存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”． 由定义可得， 取，则，矛盾． 故不存在这样的函数． 【小问2详解】 因为是周期为的偶函数，且当时， 所以当时，因为是周期为的偶函数，且当时，，所以． 又因为是的“关联函数”，所以． 由，得．当时，． 令，得，所以或． 当时，或，故方程无解． 当时，在区间内，方程有4个解， 分别为， 因此，在内有2个解；之后每经过一个形如的区间，会增加4个解． 要至少有26个解，除开始的2个解外，还需增加24个解， 即需要6个这样的区间．第26个解为， 故的最小值为． 【小问3详解】 由题意，存在函数及，使得且 若，则由可得； 若，则由可得． 因此与的零点相同． 所以求方程的解，等价于求方程的解． 当时，， 令，得，因为，所以. 当时，，于是 因为，所以. 又因为，所以，从而 故时，方程无解． 综上，方程的解为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $