精品解析：上海市格致中学2024-2025学年高三下学期三模数学试题

格致中学二○二四学年度第二学期模拟考试 高三年级数学试卷 （测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获/ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利/ 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每小题4分，第7-12题每小题5分，满分54分） 1. 已知全集，集合，则________． 2. 不等式的解集为________． 3. 函数的最小正周期为________． 4. 复数z满足（i是虚数单位），则在复平面内，z对应的点在第________象限． 5. 直线，直线，若，则________． 6. 假设小明的数学成绩X符合正态分布，查询资料后得知，，，那么小明数学成绩在120至130分之间的概率是________．（精确到0.0001） 7. 记为数列的前项和，若，则_____________． 8. 在二项展开式中，的幂指数是正数的项一共有______个． 9. 三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为________．（精确到1） 10. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则该鳖臑的体积为________． 11. 抛物线的焦点F，准线l，点A、B是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点M在l上的投影是N，则的最小值为________． 12. 一只青蛙在正方体的顶点A处，每次等概率的跳跃到相邻三个顶点中的一个，那么六次跳跃后回到顶点A的概率为________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每小题4分，第15、16题每小题5分，满分18分） 13. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ） A. B. C. D. 14. 设函数的定义域为是的极大值点，则（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 15. 已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件． 16. 指示函数是一个重要数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知全集U的元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数，集合A、B都是U的子集．现有以下四个命题： ①若，则； ②； ③； ④； 注：表示M中所有元素x所对应的函数值之和．（其中M是定义域的子集） 上述命题中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式． （2）若，求实数的取值范围． 18. 图一，四边形是边长为2的菱形，且，点为的中点，现将沿直线折起，形成如图二的四棱锥，点为的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值. 19. 下表是某景点在某APP平台10天预定票销售情况： 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量y（万张） 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 202 2.05 2.07 0.50 （1）由于系统故障，该APP平台在第10天时销售量数据异常，现剔除第10天数据，求y关于t的线性回归方程，并用回归方程修正第十天的销售数据；（回归系数与销售数据都精确到0.0001） （2）为招揽游客，现推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中X张盖有纪念章（可兑换纪念品），X的分布如下：．求X的期望与方差； （3）在（2）的条件下，小明购买了一份团体票，从中随机抽取2张，恰有1张有纪念章，求此情况发生的概率． 附：对于一组数据、、…、，其回归方程为，其中回归系数，． 20. 在平面直角坐标系中，椭圆，左右焦点分别是，，点A是椭圆上的任意一点，A到原点O的距离最大为． （1）若面积最大值为1，求椭圆的表达式； （2）若，过点A（异于顶点）作长轴的垂线，垂足为M，连接AO并延长交椭圆于另一点B，连接BM交椭圆于另一点C，证明：； （3）在（2）的条件下，过点A作不经过的直线l，其斜率为k，交椭圆于另一点D，到直线l的距离为d．如果直线、l、的斜率依次成等差数列，求d的取值范围． 21. 已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：． （1）若，求出函数的极值点，并判断的符号； （2）若，，讨论方程解的个数； （3）若，当，，记与中较大者为．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 格致中学二○二四学年度第二学期模拟考试 高三年级数学试卷 （测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获/ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利/ 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每小题4分，第7-12题每小题5分，满分54分） 1. 已知全集，集合，则________． 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可求解. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为：. 2. 不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】应用分式不等式的解法得，解一元二次不等式求解集. 【详解】由题设，而， 所以，则，即解集为. 故答案为： 3. 函数的最小正周期为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求出结果. 【详解】，所以函数周期， 故答案为：. 4. 复数z满足（i是虚数单位），则在复平面内，z对应的点在第________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】由复数的除法、复数的几何意义即可求解. 【详解】由题意，则在复平面内，z对应的点为在第三象限. 故答案为：三. 5. 直线，直线，若，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用直线平行的判定列方程求参数值，注意验证. 【详解】由题设及，有，则， 所以或， 当，则，重合，不符合； 当，则，，符合. 所以. 故答案为：1 6. 假设小明的数学成绩X符合正态分布，查询资料后得知，，，那么小明数学成绩在120至130分之间的概率是________．（精确到0.0001） 【答案】0.4772 【解析】 【分析】正态分布标准化：将原始变量  转换为标准正态变量 ，公式为 ，区间转换：成绩区间  对应  的区间 ，概率计算：利用标准正态累积分布函数 ，区间概率为 . 【详解】小明的数学成绩  服从正态分布 ，即均值 ，标准差 . 需要求成绩在 120 分至 130 分之间的概率 . 由于正态分布的性质，将  标准化为标准正态分布变量 ： 当  时，,当 时，, 因此，，其中  服从标准正态分布. 给定标准正态分布的累积分布函数值：，，,需要计算 . 由于标准正态分布关于均值对称，,代入已知值： 结果精确到 0.0001，因此概率为 0.4772, 故答案为：0.4772. 7. 记为数列的前项和，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值. 【详解】根据，可得， 两式相减得，即， 当时，，解得， 所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列， 所以，故答案是. 点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果. 8. 在的二项展开式中，的幂指数是正数的项一共有______个． 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式通项，令的指数为正数，求出参数的所有取值，即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，解得，因为，故， 所以的幂指数是正数的项一共有个. 故答案为：. 9. 三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为________．（精确到1） 【答案】373 【解析】 【分析】过C作，过B作，进而，易知，在中，求得，进而，在中，用正弦定理即可求得的长，进而可知的长. 【详解】如图，过C作，过B作， 故， 由题易知为等腰直角三角形，所以． 所以 因为，所以. 在中，由正弦定理得， ， 而， 所以， 所以. 故答案为：373. 10. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则该鳖臑的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件将三棱锥放入长方体中可求出三棱锥的高，再应用体积公式计算求解. 【详解】 如图，根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中， 则三棱锥 外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥 的外接球的半径为， 三棱锥 的外接球的表面积为，，， ，，解得， . 故答案为：. 11. 抛物线的焦点F，准线l，点A、B是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点M在l上的投影是N，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P，设､，把MN用a、b表示，在中用余弦定理把AB表示出来，就可以表示出并求最值. 【详解】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P， 设､，如图所示，根据抛物线的定义， 可知、， 梯形中，有， 在中，， 又∵，∴， ∴， 故 的最小值是. 故答案为：. 12. 一只青蛙在正方体的顶点A处，每次等概率的跳跃到相邻三个顶点中的一个，那么六次跳跃后回到顶点A的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】移动偶数次返回的路径数，考虑从出发移动次后所在点，再分类探讨得递推公式，利用累加法求出，进而求出概率即可得解. 【详解】由点A出发，经过偶数次移动只能到达点，经过奇数次移动后只能到达， 考虑移动（为偶数）次返回到的路径数为，显然； 由于移动次后只能位于点，其中位于再移动1次可回到， 则考虑移动次后所在点，把这4个点分成两类，点和点， 若在点，路径数为，再移动2次返回到只有3种折返路径； 若在（路径数为）中的一个，再移动2次返回路径数， 每个点处都有2条路径（）， 因此移动（为偶数）次返回到的路径数， 即，累加得，总路径数为， 因此青蛙跳跃（为偶数）次后恰好回到的概率， 所以六次跳跃后回到顶点A的概率为 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每小题4分，第15、16题每小题5分，满分18分） 13. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，结合正方体的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断. 【详解】对于A，如图，，四点共面，A不是； 对于B，如图，，四点共面，B不是； 对于C，如图，，四点共面，C不是； 对于D，如图，平面，平面，平面，直线， 则与是异面直线，D是. 故选：D 14. 设函数的定义域为是的极大值点，则（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，的图象和的图象关于轴对称，是的极大值点；BD选项，可举出反例；C选项，的图象和的图象关于原点对称，故是的极小值点. 【详解】A选项，的图象和的图象关于轴对称， 因为是的极大值点，故是的极大值点，A错误； BD选项，取，则是的极大值点， ，故不是的极大值点，B错误； ，其为偶函数，在上单调递减， 不是的极大值点，D错误. C选项，的图象和的图象关于原点对称， 因为是的极大值点，故是的极小值点，C正确. 故选：C 15. 已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件． 【答案】B 【解析】 【分析】设，令得，充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到结论. 【详解】设，中，令得， 即，所以是等比数列，充分性成立； 但必要性不成立，理由如下： 不妨设的首项为1，公比为2，取得， 但，不满足，从而必要性不成立， 综上，P是Q的充分非必要条件. 故选：B 16. 指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知全集U的元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数，集合A、B都是U的子集．现有以下四个命题： ①若，则； ②； ③； ④； 注：表示M中所有元素x所对应的函数值之和．（其中M是定义域的子集） 上述命题中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，知对集合的指示函数求和的结果是属于集合的元素的个数，再结合指示函数的定义对各选项进行逐项分析． 【详解】由已知，集合集合S的指示函数， 则对集合的指示函数求和的结果是属于集合的元素的个数； 对于①，因为，所以若，则，此时， 若，但，此时，，此时， 若，且，此时，故始终有，①正确； 对于②，当时，由指示函数的意义知，次数，②错误； 对于③，表示属于中的元素个数， 表示中元素个数加中元素个数再减去中的元素个数，即中的元素个数， 故③正确； 对于④，当且仅当，且时，， 否则， 所以表示中既不在中又不在中的元素个数， 即中的元素个数， 表示中元素个数减去中元素个数再减去中元素个数， 相较左边多减了1次中的元素个数，故左右两式不相等，④错误； 综上，①③正确，②④错误，真命题个数为2． 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式． （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用，可得解析式； （2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a的范围． 【小问1详解】 因为为奇函数，，设，则， 则, 因为为奇函数，则 ， 则． 【小问2详解】 当时，为单调递增函数， 由奇函数可知是定义在[﹣3，3]上的增函数， 又∵，∴， 故有：，则有，解得： 所以实数a取值范围是： 18. 图一，四边形是边长为2的菱形，且，点为的中点，现将沿直线折起，形成如图二的四棱锥，点为的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点为，连接和，证明四边形为平行四边形， 可得，再由线面平行的判定定理即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用向量法求解即可 【小问1详解】 图二中，取线段的中点为，连接和， ∵点为的中点， ∴且； 由题易知：且， ∴且； ∴四边形为平行四边形， ∴； ∵平面，平面， ∴平面 【小问2详解】 由题知：在图一中，、都是正三角形，且点为的中点， 则有，，，， 此时； 设三棱锥的高为，则，则， 即点到平面的距离为1，而，故平面； 则可以建立如图所示的空间直角坐标系， 且，，，， 则，，； 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 则， 设二面角的平面角为， 则 19. 下表是某景点在某APP平台10天预定票销售情况： 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量y（万张） 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 0.50 （1）由于系统故障，该APP平台在第10天时的销售量数据异常，现剔除第10天数据，求y关于t的线性回归方程，并用回归方程修正第十天的销售数据；（回归系数与销售数据都精确到0.0001） （2）为招揽游客，现推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中X张盖有纪念章（可兑换纪念品），X的分布如下：．求X的期望与方差； （3）在（2）的条件下，小明购买了一份团体票，从中随机抽取2张，恰有1张有纪念章，求此情况发生的概率． 附：对于一组数据、、…、，其回归方程为，其中回归系数，． 【答案】（1），第10天数据为； （2），； （3）； 【解析】 【分析】（1）根据题意，由线性回归方程的公式代入计算，即可得到结果； （2）根据分布列求期望和方差即可； （3）根据题意，由全概率公式可得恰有1张为纪念章的概率，即可求解. 【小问1详解】 设回归方程为，则，， 又，， 所以，，即， 当时，万张； 【小问2详解】 由分布列知，； 【小问3详解】 记“从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张有纪念章”为事件， “该份团体票中共有张有纪念章”为事件，则，，， 则，即所求概率为； 20. 在平面直角坐标系中，椭圆，左右焦点分别是，，点A是椭圆上的任意一点，A到原点O的距离最大为． （1）若面积的最大值为1，求椭圆的表达式； （2）若，过点A（异于顶点）作长轴的垂线，垂足为M，连接AO并延长交椭圆于另一点B，连接BM交椭圆于另一点C，证明：； （3）在（2）的条件下，过点A作不经过的直线l，其斜率为k，交椭圆于另一点D，到直线l的距离为d．如果直线、l、的斜率依次成等差数列，求d的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）利用点差法，结合斜率的坐标公式推理得证. （3）设出直线的方程，与椭圆方程联立，结合已知求出斜率的范围，再将表示为的函数，借助对勾函数单调性求出范围. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 设，则， 由，得，直线的斜率分别为， 则，， 因此，即，所以. 【小问3详解】 当直线的方程为，由，得， ，即， 椭圆左、右焦点，设, 由直线的斜率依次成等差数列，得， 又，则， 化简并整理得:，若，则直线：过点，不符合题意， 则，即，此时，整理得， 因此，解得，记点到直线的距离为， 则， 令，在上单调递减，则， 所以d的取值范围是. 21. 已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：． （1）若，求出函数的极值点，并判断的符号； （2）若，，讨论方程解的个数； （3）若，当，，记与中较大者为．证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）令 ，解得 或 ，再求，分别代入求解即可； （2）求出，令 ，利用导数研究函数的单调性与极值，分类讨论即可得到答案. （3）假设 在 上的最大值在某个内点 处取得，可得，结合导出矛盾，则假设不成立，进而可得结论. 【小问1详解】 ，令，解得或， 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以是函数的极大值点；是函数的极小值点. 又，当时，； 当 时，. 【小问2详解】 因为 ，所以 ，， 则 ， 令 ，，， 令 ，即 ，因为 ，所以 ， 当 时，，所以 上严格递增， 当 时，，所以 在上严格递减， 所以函数在 处取得最大值 ； 当 时，；当 时，， 时， 的图象无交点；当 时，的图象有 1 个交点；当 时，的图象有 2 个交点， 所以当 时，方程 无解；当 时，方程 有 1 个解；当 时，方程 有 2 个解； 【小问3详解】 假设 在 上的最大值在某个内点 处取得， 即时 ， 由最大值的定义且 可导，且，， 因为当，，所以 ， 所以 ，由于 ，所以 ，所以 ， 但 ，而 ，这与 矛盾， 因此，函数 在 上的最大值只能在端点 或 处取得， 即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $