18.2.1 菱形的性质 同步练习 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

**基本信息** 以菱形性质为核心，分层设计基础认知、技能应用、综合拓展三阶练习，通过概念巩固-性质应用-综合推理路径提升几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|菱形定义、四边相等、对角线性质|填空题直接考查概念，选择题强化基础性质辨析| |技能应用层|菱形角度计算、面积公式（等积法）|典例结合变式训练，如角度关系推导、面积转换| |综合拓展层|性质与全等、平移、垂直平分线综合|解答题融合推理能力，如证明全等、动态点问题|

18.2.1菱形的性质 1．有一组 相等的平行四边形是菱形． 2．菱形的四条边 ． 3．菱形的对角线 ．并且每一条对角线平分 ． 考点1　菱形的性质 【典例1】如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E、F分别是CB、CD上两点，连结AE、AF、EF，且∠EAF＝60°，如果∠BAE＝α，则下列说法错误的是( D ) A.∠CEF＝α B．∠FAD＝60°－α C．∠EFC＝60°－α D．∠AFD＝90°－α 菱形的对角相等，对角线平分一组对角． 【变式训练】 1．如图，在菱形ABCD中，E是对角线BD上的点，且DE＝DC，O为BD的中点，连结CE、CO.若∠ABC＝80°.则∠OCE的度数为( ) A．16° B．20° C．24° D．28° 考点2　菱形性质与数学思想的综合应用 【典例2】如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝8，BD＝6，点P为线段AC上的一个动点，过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM＋PN的值为( C ) A． B． C． D． 菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底边与高的乘积；在菱形中，若出现线段之和，需要通过等积法进行转换． 【变式训练】 2．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6.E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连结FG，则FG的最小值为( ) A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 知识点　菱形的性质 1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( ) A.邻边相等 B．对边相等 C．对角相等 D．是中心对称图形 2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( ) A．18 B．20 C．24 D．40 3．如图，一块三角板放在一张菱形纸片上，斜边与菱形的一边平行，则∠1的度数是( ) A．45° B．50° C．60° D．75° 4．已知在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝12，则菱形ABCD的面积为( ) A．72 B．24 C．48 D．96 5．如图，在菱形ABCD中，∠B＝40°，点E在CD上，AE＝AC，则∠BAE＝ . 6．如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，它们相交于点E，∠DBC＝60°，BD＝6，点F为BC中点，则EF的长为 ． 7．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为边CD、AD的中点，连结AE、CF，求证：△ADE≌△CDF. 易错易混点　多结论问题中信息整合能力不足导致错误 8．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，＝，BE＝1，F是BC的中点．现有下列四个结论：①DE＝3；②四边形DEBC的面积等于9；③(AC＋BD)·(AC－BD)＝80；④DF＝DE.其中正确结论的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝4，将△CDO沿点D到点B的方向平移，得到△C′D′O′，当点D′与点B重合时，点D与点C′之间的距离为( ) A．6 B．10 C．8 D．12 10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠ADF等于( ) A．25° B．30° C．35° D．40° 11． 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为 ． 12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E. (1)求证：四边形ACDE是平行四边形； (2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长． 13．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC. (1)求证：AE＝EC； (2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由． 14.(推理能力)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝150°，AB＝4. (1)求菱形ABCD的面积； (2)若P为对角线BD上一点，PM⊥BC，PN⊥CD交DC的延长线于点N，垂足分别为点M、N，求PM＋PN. 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.2.1菱形的性质 1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2．菱形的四条边都相等． 3．菱形的对角线互相垂直．并且每一条对角线平分一组对角． 考点1　菱形的性质 【典例1】如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E、F分别是CB、CD上两点，连结AE、AF、EF，且∠EAF＝60°，如果∠BAE＝α，则下列说法错误的是( D ) A.∠CEF＝α B．∠FAD＝60°－α C．∠EFC＝60°－α D．∠AFD＝90°－α 解析：连结AC，如图． ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，AB＝BC，AB∥CD， ∴∠B＋∠BCD＝180°. ∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠D＝60°，∠BCD＝∠BAD＝120°， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC， ∴∠ACF＝∠B＝∠CAD＝60°. ∵∠EAF＝60°， ∴∠BAC－∠CAE＝∠EAF－∠CAE， ∴∠BAE＝∠CAF＝α， ∴△ABE≌△ACF(ASA)，∠FAD＝60°－α， ∴AE＝AF. ∵∠EAF＝60°， ∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°， ∵∠AFC＝∠FAD＋∠D， ∴∠EFC＝∠FAD＝60°－α， ∴∠CEF＝α，不能证出∠AFD＝90°－α. 菱形的对角相等，对角线平分一组对角． 【变式训练】 1．如图，在菱形ABCD中，E是对角线BD上的点，且DE＝DC，O为BD的中点，连结CE、CO.若∠ABC＝80°.则∠OCE的度数为(B) A．16° B．20° C．24° D．28° 考点2　菱形性质与数学思想的综合应用 【典例2】如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝8，BD＝6，点P为线段AC上的一个动点，过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM＋PN的值为( C ) A． B． C． D． 解析：如图，连结PD. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC与BD互相垂直平分， ∴AO＝CO＝AC＝4，BO＝DO＝BD＝3，∠AOD＝∠COD＝90°， ∴AD＝CD＝＝5. ∵S△ACD＝S△APD＋S△CPD，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴AC·OD＝AD·PM＋CD·PN， ∴8×3＝5(PM＋PN)，∴PM＋PN＝. 菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底边与高的乘积；在菱形中，若出现线段之和，需要通过等积法进行转换． 【变式训练】 2．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6.E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连结FG，则FG的最小值为(A) A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 如图，连结OE.∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OD＝BD＝3，OC＝AC＝4， ∵由勾股定理，得CD＝＝＝5， 又∵EF⊥OC，EG⊥OD， ∴四边形OFEG为矩形， ∴GF＝OE， ∵当OE⊥CD时，OE值最小， ∴此时GF值最小． S△OCD＝OC·OD＝CD·OE， ∴OE＝＝＝2.4，∴FG的最小值为2.4. 知识点　菱形的性质 1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(A) A.邻边相等 B．对边相等 C．对角相等 D．是中心对称图形 2． 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是(B) A．18 B．20 C．24 D．40 3．如图，一块三角板放在一张菱形纸片上，斜边与菱形的一边平行，则∠1的度数是(C) A．45° B．50° C．60° D．75° 4．已知在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝12，则菱形ABCD的面积为(C) A．72 B．24 C．48 D．96 5．如图，在菱形ABCD中，∠B＝40°，点E在CD上，AE＝AC，则∠BAE＝110°. 6．如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，它们相交于点E，∠DBC＝60°，BD＝6，点F为BC中点，则EF的长为3． ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC，AC⊥BD， ∴∠BEC＝90°. ∵∠DBC＝60°，∴△BDC是等边三角形， ∴BC＝BD＝6. ∵点F为BC中点，∴EF＝BC＝3. 7．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为边CD、AD的中点，连结AE、CF，求证：△ADE≌△CDF. ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD， ∵点E，F分别为边CD，AD的中点， ∴AD＝2DF，CD＝2DE，∴DE＝DF， 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF. 易错易混点　多结论问题中信息整合能力不足导致错误 8．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，＝，BE＝1，F是BC的中点．现有下列四个结论：①DE＝3；②四边形DEBC的面积等于9；③(AC＋BD)·(AC－BD)＝80；④DF＝DE.其中正确结论的个数为(C) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ∵＝，设DE＝3k，则AE＝4k. ∵DE⊥AE，∴AD＝5k，∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝CD＝5k，∴BE＝k＝1， ∴AB＝CD＝5，DE＝3.故①正确； ∴S梯形DEBC＝×(1＋5)×3＝9，故②正确； 如图，连结BD，AC， 则∠ABD＝∠CBD. ∵DE＝3，EB＝1，DE⊥AB， ∴DB＝. 又∵S▱ABCD＝AB×DE＝5×3＝15， S▱ABCD＝×BD×AC， ∴15＝××AC， ∴AC＝3， ∴(AC＋BD)(AC－BD)＝AC2－BD2＝(3)2－()2＝90－10＝80.故③正确； 如图，作DH⊥BC于点H. ∵DE⊥AB，DH⊥BC，∠ABD＝∠CBD， ∴DE＝DH.又DH＜DF，∴DE＜DF.故④错误．所以①②③正确． 9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝4，将△CDO沿点D到点B的方向平移，得到△C′D′O′，当点D′与点B重合时，点D与点C′之间的距离为(A) A．6 B．10 C．8 D．12 ∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝4， ∴AC⊥BD，AO＝AC＝6，OB＝BD＝2， ∴∠AOB＝90° ∵△CDO沿由点D到点B的方向平移， 得到△C′D′O′，当点D′与点B重合， ∴O′C′＝OC＝OA＝6，O′B＝OB＝2， ∠C′O′B＝∠AOB＝90°， ∴DO′＝BD＋O′B＝6， ∴DC′＝＝＝6. 10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠ADF等于(D) A．25° B．30° C．35° D．40° 如图， 连结BF，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，∴∠BAD＝80°， ∴∠BAC＝∠CAD＝∠BAD＝×80°＝40°，在△ABF和△ADF中， ∴△ABF≌△ADF， ∴BF＝DF.∵EF垂直平分AB，∴BF＝AF， ∴BF＝DF＝AF，∴∠ADF＝∠DAF＝40°. 11． 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为． ∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10， ∴AO＝12，OD＝5，AC⊥BD， ∴AD＝AB＝＝13， ∵DH⊥AB，∴AO·BD＝DH·AB， ∴12×10＝13DH， ∴DH＝， ∴BH＝＝. 12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E. (1)求证：四边形ACDE是平行四边形； (2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长． (1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB＝90°， ∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB， ∴DE∥AC， ∴四边形ACDE是平行四边形． (2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6， ∴AO＝4，DO＝3，由勾股定理可得AD＝CD＝5， ∵四边形ACDE是平行四边形， ∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8， ∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18. 13．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC. (1)求证：AE＝EC； (2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由． (1)如图，连结AC， ∵BD是菱形ABCD的对角线， ∴BD垂直平分AC，∴AE＝EC. (2)点F是线段BC的中点． 理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC， ∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AE＝EC，∠CEF＝60°， ∴∠EAC＝∠BAC＝30°， ∴AF是△ABC的角平分线． ∵AF交BC于点F，∴AF是△ABC的BC边上的中线， ∴点F是线段BC的中点． 14.(推理能力)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝150°，AB＝4. (1)求菱形ABCD的面积； (2)若P为对角线BD上一点，PM⊥BC，PN⊥CD交DC的延长线于点N，垂足分别为点M、N，求PM＋PN. (1)如图，过点A作AE⊥CD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，CD＝AD＝AB＝4， ∴∠ADE＝180°－∠BAD＝180°－150°＝30°. 在Rt△AED中，AE＝AD＝2， ∴S菱形ABCD＝CD×AE＝4×2＝8， 即菱形ABCD的面积为8； (2)如图，延长NP，交AB于点F. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC. ∵PN⊥CD，即∠BFN＝∠FND＝90°， ∴PN⊥AB. ∵P为对角线BD上一点，PM⊥BC， ∴PF＝PM，则PM＋PN＝PF＋PN＝FN. ∵AE⊥CD，PN⊥CD，∴FN∥AE. ∵AB∥DC，∴四边形AENF是平行四边形， ∴PM＋PN＝FN＝AE＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $