18.2.1.菱形的性质-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（华东师大版·新教材）

.·BD=ED,CD⊥EB, ∴.CE=CB, ∴.CE=BE=CB, ∴，△CBE为等边三角形， .∠B=60°. ∠ACB=90° .∠A=90°-60°=30°. (2)解：4BD=8, ∴.BD=2, ∴.AB=AD+BD=10. 由(1)可知cE=BE=74B=5, .DE BE-BD =3. 由勾股定理得CD=√CE2-DE2=√52-32=4. 8.C[解析]~D是AB的中点，BD=AD=子AB=DE= BE,∴.△ABE是直角三角形，且∠AEB=90°，△BDE为等 边三角形，.∠ABE=60°，∠A=90°-60°=30°.AB= 4C∠C=7×(180-30)=75,故选C 9.P2[解析]如答图，连结AP2、BP2.O为线段AB的中 点，AB=4cm,A0=B0=分AB=2emP到点0的距 离是2cm,∴OP2=2cm,∴.A0=B0=OP2,∴.△ABP2是直 角三角形.故答案为P2: 0 B 9题答图 18.2菱形 1.菱形的性质 【基础巩固练】 1.B[解析]有一组邻边相等的平行四边形是菱形，要使 □ABCD成为菱形，则需添加的一个条件可以是BA=BC. 故选B. 2.菱形3.2 4.C[解析]四边形ABCD是菱形，边长为5，∴AB=5,AC⊥ BD,∴.∠AOB=90°..OE∥BC,.OE∥AD,∴.∠BOE= ∠BDA..'AB=AD,∴.∠BDA=∠ABD,∴.∠BOE=∠ABD, AOB=BE=之AB=子 5 5.10 6.1[解析]：四边形ABCD是菱形，∴DO=B0=1,CD∥AB, .∠ODF=∠OBE,∠OFD=∠OEB,∴.△DOF≌△BOE, ∴，△DOF的面积=△BOE的面积，∴，△AOE与△DOF的面 积之和=△B0A的面积=号×2x1=1.故续1 参考答案及解析 7.72[解析]如答图，连结AP,由四边形ABCD是菱形， ∠ADC=72,得LADB=之∠ADC=×72=36.EP是 AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性，得∠DAP= ∠ADB=36°，∴.∠APB=∠DAP+∠ADB=72°.由菱形对角 线的对称性，得∠CPB=∠APB=72°. D B 7题答图 8.(0,√/13) 9.（1)证明：连结AC. .·BD、AC是菱形ABCD的对角线， ∴.BD垂直平分AC,.AE=EC. (2)解：F是线段BC的中点.理由如下： .·四边形ABCD是菱形，..AB=CB. 又：∠ABC=60°，∴.△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°. AE=EC,,∠EAC=∠ACE. LCEF=60°，LCEF=LEAC+LACE, ∠BAC=30=号LBMC, ∴.AF是等边三角形ABC的角平分线， ∴.BF=CF,·F是线段BC的中点. 10.B[解析]四边形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,.OA =OC=4,OB=OD=3,AC⊥BD.在Rt△AOB中，AB= V+平=5.：S美5m=24AC,BD=DH.M8,7× 1 8×6=DH·5,.DH= 故选B 24 11.15 【能力提升练】 1.A 2.C[解析]四边形ABCD是菱形，.AB=AD=BC=DC,∠B =∠D.ACE=CF,.BC-CE=DC-CF,即BE=DF.在 AB=AD, △ABE和△ADF中， ∠B=∠D,∴.△ABE≌△ADF(SAS),故 BE=DF, 选项A不符合题意；B.:LBMF=∠DAE,∴LBAF-∠EMF= ∠DAE-∠EAF,即∠BAE=∠DAF.在△ABE和△ADF中， r∠B=∠D, AB=AD, ∴.△ABE≌△ADF(ASA),故选项B不符合 ∠BAE=∠DAF, 题意；C.由AE=AF,不能判定△ABE≌△ADF,故选项C符合 题意；D.∠AEC=∠AFC,∴.∠AEB=LAFD.在△ABE和 r∠AEB=∠AFD, △ADF中， ∠B=∠D, ∴，△ABE≌△ADF(AAS),故选 LAB=AD, 项D不符合题意. ·35· 同步练测·八年级数学·华师版·下册 3.B4.(6,-6) 5.(1)证明：四边形ABCD是菱形，.AB=AD,∠B=∠D. AE⊥BC,AF⊥CD,∠AEB=∠AFD=90. ∠B=∠D, 在△ABE和△ADF中， ∠AEB=∠AFD. LAB=AD, ∴.△ABE≌△ADF(AAS),∴.AE=AF. (2)解：：四边形ABCD是菱形， .BC∥AD,∴.∠B+∠BAD=180. ∠B=60°，，∠BAD=120. ∠AEB=90°，∠B=60°，.∠BAE=30 由(1)得，△ABE≌△ADF,∴.∠BAE=∠DAF=30°， ∴.∠EAF=120°-30°-30°=60°. 又，AE=AF,∴，△AEF是等边三角形，∴.∠AEF=60° 6.(1)解：四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC=CD=AD=5, AC LBD,OB=OD,OA=OC=3, .0B=√AB2-OA2=4, .∴.BD=2OB=8. ,'AD∥CE,DE∥AC: .四边形ACED是平行四边形， ∴.CE=AD=5,DE=AC=6, .C△DE=BD+BC+CE+DE =8+5+5+6=24. (2)证明：.AD∥BC ∴.∠OBP=∠ODQ,∠OPB=∠OQD. 又OB=0D, .△BOP≌△D0Q, .BP =DO. 微专题6含60°角的特殊平行四边形 1.B[解析]矩形对角线相等且互相平分，.每段长度为4÷ 2=2.,·对角线交角为60°，形成的三角形为两边长均为2， 夹角为60°的三角形，符合等边三角形特征，等边三角形的 第三边长度为2，设矩形的邻边分别为a和b.根据矩形性 质，a2+b2=42=16,结合等边三角形边长关系，解得a=2, b=2√5.矩形面积为2×2√3=45.故选B. 2.B3.23 2.菱形的判定 【基础巩固练】 1.B 2.20[解析]四边形ABCD是矩形，AC=10,.OD=0C= 2AC=5.:DE∥AC,CE∥BD,四边形C0DE是平行四 1 边形.又：OC=OD=5,四边形CODE是菱形，.四边形 C0DE的周长为4×5=20. 3.证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,.∠AEB=∠FBE. BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠FBE, ·36· ,∠AEB=∠ABE,∴.AE=AB. ,BF=AB,∴，AE=BF, ,四边形ABFE是平行四边形 ·AB=BF,.平行四边形ABFE是菱形 4.菱[解析]在题图中运用勾股定理，得4B=√22+32= √I3,同样可算出AD=CD=BC=√I3,所以AB=BC=CD =AD,所以四边形ABCD是菱形. AB=AD, 5.证明：(1)在△ABC和△ADC中，BC=DC, LAC=AC, .△ABC≌△ADC(SSS), .∠BAC=∠DAC AB=AD. 在△ABF和△ADF中， ∠BAF=∠DAF, LAF=AF, ∴.△ABF≌△ADF(SAS),∴.∠AFB=∠AFD. .·∠AFB=∠CFE,∴.∠AFD=∠CFE. (2):AB∥CD,.∠BAC=∠ACD. 又.·∠BAC=∠DAC, ∴.LCAD=∠ACD, ∴.AD=CD. AB=AD,CB =CD, .AB=CB=CD=AD, .四边形ABCD是菱形 6.B[解析]A.测量两条对角线是否分别平分两组内角，能 判定菱形，故选项A不符合题意；B.测量四个内角是否相 等，能判定矩形，不能判定菱形，故选项B符合题意；C.测量 两条对角线是否互相垂直且平分，能判定菱形，故选项C不 符合题意；D.测量四条边是否相等，能判定菱形，故选项D 不符合题意 7.B[解析]OA=OC,OB=OD,∴.四边形ABCD为平行四 边形.由∠AOB=60°，不能得出四边形ABCD是菱形，.选 项A不符合题意；AC⊥BD,四边形ABCD是菱形，选 项B符合题意；：AC=BD,.四边形ABCD是矩形，∴.选项 C不符合题意；AB⊥BC,.四边形ABCD是矩形，.选项 D不符合题意.故选B. 8.C 9.证明：AB=5,0A=4,0B=3, AB2=25=16+9=0A2+0B2, .∠A0B=90°， .AC⊥BD, ,∴.□ABCD是菱形 【能力提升练】 1.D 2.D[解析]∠BAD+∠ABC=180°，.AD∥BC.AD= BC,∴.四边形ABCD是平行四边形..AD=AB,.四边形 ABCD是菱形. 3.AB=AC4.AC⊥BD(答案不唯一)5.60同步练测·八年级数学·华师版·下册 18.2菱形 1.菱形的性质 《基础巩固练 [答案35] 知识点①菱形的定义 7如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直 1①如图，要使口ABCD成为菱形，则需添加的一个 平分线交对角线BD于点P,垂足为点E,连结 条件可以是 CP,则∠CPB= 度 1题图 A.AC=AD B.BA =BC 0龙 C.∠ABC=90° 7题图 8题图 D.AC=BD 2如图，以口ABCD的顶点A为圆心、边AD的长为 8如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的 边OA在y轴上.若点C的坐标为(-3,2)，则点 半径画圆弧交边AB于点E,过点E作EF∥AD A的坐标为 交边DC于点F,则四边形AEFD是 D 9如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连 结AF交对角线BD于点E,连结EC. (1)求证：AE=EC; (2)当∠ABC=60°，∠CEF=60时，点F在线段 2题图 3题图 BC上的什么位置？说明理由. 3如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点， PE⊥AD于点E,PE=2,则点P到AB的距离为 知跟点②菱形的性质 4(贵州贵阳期末)如图，边长为5的菱形ABCD 的对角线AC、BD交于点O,E是AB的中点，且 9题图 OE∥BC,则E0的长为 5 A.10 B.5 C. D 4 知识点③菱形的面积 10如图，四边形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DH⊥ 4题图 5题图 AB于点H,则DH= 5如图，在菱形ABCD中，AB=10,∠B=60°，则AC 的长为 A.6 B.24 5 G.48 D.5 5 6(福建中考)如图，菱形ABCD的对角线相交于 点O,EF过点O且与边AB、CD分别相交于点 E、F.若OA=2,OD=1,则△AOE与△D0F的面 积之和为 B 10题图 11题图 1](云南中考)如图，四边形ABCD是菱形，对角线 AC、BD相交于点O.若AC=6,BD=5,则菱形 6题图 ABCD的面积是」 80 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 第18章矩形、菱形与正方形 《能力提升练> [答案P35] 1(泸州中考)矩形具有而菱形不具有的性质是 ⑤如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD 于点F,连结EF A.对角线相等 B.对角线互相平分 (1)求证：AE=AF; C.对角线互相垂直 D.对角相等 (2)若∠B=60°，求∠AEF的度数 2如图，点E、F分别在菱形ABCD的BC、DC边 上，添加以下条件不能证明△ABE≌△ADF的是 ( A.CE=CF 5题图 B.∠BAF=∠DAE C.AE=AF D.∠AEC=∠AFC 2题图 3如图①，在菱形ABCD中，∠A=60°，动点P从点 A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运 6在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, 动到点B停止.设点P的运动路程为x,△ABP 的面积为y,y与x的函数图象如图②所示，则 AB=5,AC=6,过点D作DE∥AC交BC的延长 线于点E. AB的长为 ( (1)求△BDE的周长； (2)P为线段BC上的一点，连结PO并延长，交 AD于点Q.求证：BP=DQ. 3题图① 3题图② A.√5 B.2 C.4 D.6 ④如图，在平面直角坐标系x0y 6题图 中，菱形OABC的边长为2，点 A在第一象限，点C在x轴正 半轴上，∠A0C=60°.若将菱 lc" 形OABC绕点O顺时针旋转 4题图 75°，得到四边形OA'B'C',则点B的对应点B'的 坐标为 微专题6含60°角的特殊平行四边形 【模型展示】 A.逐渐减小 B.恒等于3 C.先减小再增加 D.恒大于3 a a 0 6 D 2 边608 A60° CA60° 20 等边0>C B 一个矩形的一条对角线长为4，两条对角线的 一个交角为60.则这个矩形的面积是( 2题图 3题图 A.16B.43C.45 D.83 3如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠D=60°.P为 2如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3,E、F分 边CD上的一点，且不与点C、D重合，连结 BP,过点A作EF∥BP,且EF=BP,连结BE、 别为AD、DC上的动点，∠EBF=60°，点E从点A PF,则四边形BEFP的面积为 向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ 见此图标目服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 87