18.2.1 菱形的性质（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

13.(1)略(2)6.5 (3)当点O在边AC上运动到中点位置时，四边形AECF 是矩形理由略 第2课时直角三角形斜边上的中线 1.D2.B3.B4.35.略6.略 7.50°8.89.略10.D11.10号12.30 13.(1)略(2)4 14.(1)略(2)2 18.2菱形 1菱形的性质 1.C2.菱形 3.D【解析】解题思路1：利用中位线求解 解题思路2：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半求解. 4.105.(5,4)6.略 7.C8.159.略10.A11.5 12.解：(1)证明：证法1（全等三角形的性质）： ,四边形ABCD是菱形，.AB=BC,∠ABD=∠CBD. (AB=CB, 在△ABE和△CBE中，∠ABE=∠CBE, BE=BE, ∴.△ABE≌△CBE(SAS),∴.AE=CE. 证法2（垂直平分线的性质）：连结AC(图略). ,·四边形ABCD是菱形，.BD垂直平分AC,.AE=CE (2)70° 13.略 变式微专题4含60°角的特殊平行四边形 1.122.等边三角形【变式1】√3【变式2】√33.2√3 2菱形的判定 1.D2.略3.四条边都相等的四边形是菱形4.略 5.D 6.证明：证法1（菱形的判定定理2）：，BD垂直平分AC, ∴.OA=OC,∠DOC=∠DOA=∠AOE=90. ∠AEO=∠CDO, 在△AEO和△CDO中，∠AOE=∠COD, OA=OC, ∴.△AEO≌△CDO(AAS),∴.CD=AE ∠AEO=∠CDO,.CD∥AE, ∴.四边形AECD是平行四边形 .∠AOD=90°，∴.AC⊥DE,∴.四边形AECD是菱形. 证法2（菱形的判定定理1）：，BD垂直平分AC, ..OA=OC,CE=AE,AD=CD. ∠AEO=∠CDO, 在△AEO和△CDO中，∠AOE=∠COD, OA-OC, .△AEO≌△CDO(AAS),.CD=AE, ∴.CD=AE=CE=AD,.四边形AECD是菱形. 证法3（菱形的定义）：BD垂直平分AC, ∴.OA=OC,CE=AE. ·答 (∠AEO=∠CDO, 在△AEO和△CDO中，∠AOE=∠COD, OA=OC, ∴.△AEO≌△CDO(AAS),∴.OD=OE, ∴.四边形AECD是平行四边形. 又，CE=EA,.四边形AECD是菱形 7.A8.A9.C10.①②③④ 1.(1)略(2)24 5 12.(1)略(2)03cm②2cm 18.3正方形 1.B2.B3.22.5°4.√6 5.(1)略(2)20 6.B7.AB⊥BC(答案不唯一)8.略 9.B【解析】解法1：如图，设AC,BD相交于点O,过点G 作GH⊥BC于点H. ,四边形ABCD是正方形， .BC=CD=AB=AD,∠BCD=∠ADC=90°，∠ACB= ∠BDC=45°，AC=BD,OA=OC=OB=OD,AC⊥BD. 由折叠可得，BC=BF,CE=EF,∠BFE=∠BCE=90°= ∠DFE,∠FBE=∠CBE, ∴.∠DEF=∠FDE=45° DE=2√2，DF=EF=2,.CE=EF=2, ∴.BF=CD=BC=2√2+2， ∴.AC=BD=BF+DF=2√2+4， :OB-BD=/+2. ∠FBE=∠CBE,GH⊥BC,AC⊥BD, ∴.OG=HG. .'BG=BG,∴.Rt△OBG≌Rt△HBG(HL), .BH=BO=√2+2，∴CH=BC-BH=√2. .GH⊥BC,∠ACB=45°，∴.CH=GH=√2， ∴.CG=√2+2=2. 解法2：设AC与BD交于，点O(图略). '四边形ABCD是正方形， ∴.∠DBC=∠BDC=45°，∠BCD=90°，AC⊥BD 由折叠可得，∠FBE=∠CBE=22.5°，CE=EF,∠BFE= ∠BCD=∠DFE=90°，.DF=EF. .DE=22,∴.DF=EF=2 ∠BOG=∠BCD=90°， ∴.∠CGE=∠OGB=90°-22.5°=67.5°， ∠CEG=90°-22.5°=67.5°， 案10.18.2 1菱形 A知识分点练 夯基础 知识点1菱形的概念及对称性 1.(教材P125思考变式)下列图形中，既是轴对称图 形又是中心对称图形的是 () A.平行四边形 B等腰三角形 C.菱形 D.直角三角形 2.如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆 心、AB的长为半径画弧，交AD于点F,再分 别以点B,F为圆心、大于2BF的长为半径画 弧，两弧交于点P,连结AP并延长，交BC于 点E,连结EF,则四边形ABEF是 B B 第2题图 第3题图 知识点2菱形的四条边都相等 3.【一题多解】如图，菱形ABCD的对角线AC, BD相交于点O,E是CD的中点，连结OE,若 BC=4,则OE的长为 () A.4 B.3 C.23 D.2 4.如图，在菱形ABCD中，AB=10,∠B=60°，则 AC的长为 V 第4题图 第5题图 5.如图，四边形ABCD是菱形，点A(一3,0)，点 B(0,4),则点C的坐标为 6.(2025·泸州)如图，在菱形ABCD中，E,F分别 是边AB,BC上的点，且AE=CF.求证： AF=CE 92一本·初中数学8年级下册HDSD版 菱形 的性质 知识点3菱形的对角线互相垂直 7.如图，在菱形ABCD中，连结AC,BD.若∠1= 20°，则∠2的度数为 () A.20° B.60° C.70° D.80 D 0 Y2 B B 第7题图 第8题图 8.(2025·云南)如图，四边形ABCD是菱形，对角 线AC,BD相交于点O.若AC=6,BD=5,则 菱形ABCD的面积是 9.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,BE∥AC,CE∥DB.求证：四边形OBEC是 矩形. B能力综合练 练思维 10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,AB=10cm,BD=16cm,过点 A作AH⊥BC于点H,连结OH,则OH 的长为 () R A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 11.(2025·凉山州)如图，四边形ABCD是菱形，对 角线AC,BD相交于点O,E是边CD的中 点，过点E分别作EF⊥BD于点F,EG⊥AC 于点G.若AC=12,BD=16,则FG的长 为 12.如图，E为菱形ABCD的对角线BD上一点， 连结AE,CE (1)【一题多解】求证：AE=CE; (2)若AE=DE,∠BCE=75°，求∠ABC的 度数 变式微专题4含6( ●模型展示 a A<460° 等 CA609 等边0>C 2a 0 R B 1.矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为6cm, 则对角线的长为 cm. 2.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E,F分别在边 AB,AD上，且BE=AF,则△CEF的形状 为 C拓展探究练 提素养 13.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC,AF⊥CD, 垂足分别为E,F (1)如图1，如果∠BAE=∠EAF,求证： AE-BE; (2)如图2，如果对角线BD与AE,AF分别 交于点M,N,且BM=MN,求证：∠EAF= 2∠BAE. 图1 图2 角的特殊平行四边形 ------ 变式1在第2题中，若AB=2,则线段EF的最小值 为 变式2在第2题中，若AB=4,则△AEF面积的最大 值为 3.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠D=60°，P为边CD 上的一点，且不与点C,D重合，连结BP,过点A作 EF∥BP,且EF=BP,连结BE,PF,则四边形BEFP 的面积为 第18章矩形、菱形与正方形93