第18章 矩形、菱形与正方形 章末小结 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦特殊四边形性质与判定，通过基础辨析、中档推理、综合应用三层设计，实现从单一知识点到跨考点综合的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|矩形、菱形、正方形的基本性质与判定|以选择填空为主，如第1题矩形性质应用、第4题菱形判定辨析，强化概念理解| |中档层|性质与判定的综合应用|含证明与计算，如第3题矩形判定证明、第7题菱形性质计算，提升推理能力| |综合层|特殊多边形的实际应用与多属性综合证明|结合实际情境（如第13题活动框架）和多问递进证明（如第14题），发展应用意识与创新意识|

章末小结(第18章) 考点1　矩形的性质与判定 1．如图1是某种型号拉杆箱的实物图，如图2是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F、C、D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为85°，若∠D保持不变，则图中∠ECF应(D) 　　 A．减少20° B．减少10° C．增加20° D．增加10° 2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3.在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠AEB＝∠FBC.∵CF⊥BE， ∴∠CFB＝90°，∴∠CFB＝∠A. 在△ABE和△FCB中， ∴△ABE≌△FCB(AAS)，∴FC＝AB＝2. ∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3， ∴在Rt△FCB中，由勾股定理，得BF＝＝＝. 3．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF＝BE，连结AF、BF. (1)求证：四边形BFDE是矩形． (2)若AF平分∠DAB，且DF＝5，AE＝3，求DE的长． (1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DF∥BE. ∵DF＝BE，∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形； (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠BAF＝∠AFD.∵AF平分∠DAB， ∴∠BAF＝∠DAF，∴∠DAF＝∠AFD， ∴AD＝DF＝5.∵∠AED＝90°， ∴DE＝＝＝4. 考点2　菱形的性质与判定 4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是(C) A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2 5．如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，且AE⊥BC，BE＝2，连结AC，则△ACD的周长等于(C) A．8 B．9 C．12 D．16 ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD.∵E是BC的中点，且AE⊥BC，∴AB＝AC，BC＝2BE.∵BE＝2，∴BC＝4，∴AC＝CD＝AD＝4，∴△ACD的周长＝AD＋CD＋AC＝4×3＝12. 6．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为4和8，P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合)，且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是8． 7．如图，在矩形ABCD中，点O是AC的中点，AC＝2AB，延长AB至G，使BG＝AB，连结GO交BC于E，延长GO交AD于F，连结AE、CF. 求证：(1)△ABC≌△AOG； (2)猜测四边形AECF的形状并证明你的猜想. (1)∵点O是AC的中点， ∴AO＝CO＝AC. ∵AC＝2AB，BG＝AB，∴AB＝AO，AC＝AG. 在△ABC和△AOG中， ∴△ABC≌△AOG(SAS)； (2)四边形AECF是菱形；理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE. 在△AOF和△COE中， ∴△AOF≌△COE(ASA)，∴OF＝OE， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵△ABC≌△AOG， ∴∠AOG＝∠ABC＝90°， ∴AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形． 考点3　正方形的性质与判定 8．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠OBC＝∠OCB，要使▱ABCD为正方形还需增加一个条件．在条件①AB＝BC；②AC⊥BD；③AC＝BD；④∠ABC＝90°中，正确的是(A) A．①② B．②③ C．①③ D．②④ ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，OB＝OD.∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AO＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．∵AB＝BC，∴矩形ABCD为正方形，故①符合题意；∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，∴矩形ABCD为正方形，故②符合题意；当AC＝BD或∠ABC＝90°，四边形ABCD仍是矩形，故③④不符合题意． 9．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF，若AE＝1，则EF的值为. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°， ∴∠DCF＝90°，∠ADE＋∠EDC＝90°. ∵DF⊥DE，∴∠EDC＋∠CDF＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF. 又∵AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°， ∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF＝1， ∵E是AB的中点，∴BE＝AE＝1，∴AB＝BC＝2，∴BF＝3. 在Rt△BEF中，EF＝＝. 10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连结DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连结AF、CG. (1)求证：AF＝BF； (2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形． (1)∵AD＝CD，点E是边AC的中点， ∴DE⊥AC，∴DE是线段AC的垂直平分线， ∴AF＝CF，∴∠FAC＝∠ACB. 在Rt△ABC中，由∠BAC＝90°， 得∠B＋∠ACB＝90°，∠FAC＋∠BAF＝90°， ∴∠B＝∠BAF， ∴AF＝BF. (2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE. 又∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE. 在△AEG和△CEF中， ∴△AEG≌△CEF(AAS)，∴AG＝CF. 又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形． ∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形． 在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF， 得BF＝CF. 即得点F是边BC的中点． 又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，∴∠AFC＝90°. ∴四边形AFCG是正方形． 考点4　特殊多边形的性质与判定的综合应用 11．下列说法正确的是(C) A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 12．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是(B) A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC＝BD时，它是正方形 C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC⊥BD时，它是菱形 13．我们知道，四边形具有不稳定性，利用这个性质我们可以把如图1所示的衣帽架变化为不同的形状．如图2，将一个边长为20 cm的正方形活动框架(边框粗细忽略不计)变化成四边形ABCD.解决下列问题． (1)四边形ABCD的形状是菱形，理由是四条边相等的四边形是菱形． (2)若正方形的对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36 cm时才会断裂，当∠BAD＝60°时，橡皮筋AC会不会断裂？请说明理由．(参考数据：≈1.732) 　　 AC不会断裂，理由如下： 设扭动后对角线的交点为O，如图． 由题意，得 ∠BAD＝60°，AD＝AB＝20 cm， ∴△ABD为等边三角形， ∴BD＝AB＝20 cm. ∵四边形ABCD是菱形， ∴BO＝BD＝10 cm，AC⊥BD， ∴AO＝＝10 cm， AC＝2AO＝20≈34.64(cm). ∵34.64＜36，∴AC不会断裂． 14．已知：如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC的中点． (1)求证：四边形AMCN是平行四边形； (2)若AC＝CD，求证：四边形AMCN是矩形； (3)若∠ACD＝90°，求证：四边形AMCN是菱形； (4)若AC＝CD，∠ACD＝90°，求证：四边形AMCN是正方形． (1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC. ∵M，N分别是AD和BC的中点， ∴AM＝AD，CN＝BC，∴AM＝CN. ∵AM∥CN，AM＝CN，∴四边形AMCN是平行四边形； (2)∵AC＝CD，M是AD的中点， ∴∠AMC＝90°. ∵由(1)，知四边形AMCN是平行四边形， ∴四边形AMCN是矩形； (3)∵∠ACD＝90°，M是AD的中点， ∴AM＝CM. ∵由(1)，知四边形AMCN是平行四边形， ∴四边形AMCN是菱形； (4)∵AC＝CD，M是AD的中点， ∴∠AMC＝90°. ∵由(1)，知四边形AMCN是平行四边形， ∴四边形AMCN是矩形． ∵∠ACD＝90°，M是AD的中点， ∴AM＝CM， ∴矩形AMCN是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末小结(第18章) 考点1　矩形的性质与判定 1．如图1是某种型号拉杆箱的实物图，如图2是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F、C、D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为85°，若∠D保持不变，则图中∠ECF应( ) 　　 A．减少20° B．减少10° C．增加20° D．增加10° 2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3.在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 ． 3．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF＝BE，连结AF、BF. (1)求证：四边形BFDE是矩形． (2)若AF平分∠DAB，且DF＝5，AE＝3，求DE的长． 考点2　菱形的性质与判定 4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是( ) A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2 5．如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，且AE⊥BC，BE＝2，连结AC，则△ACD的周长等于( ) A．8 B．9 C．12 D．16 6．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为4和8，P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合)，且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是 ． 7．如图，在矩形ABCD中，点O是AC的中点，AC＝2AB，延长AB至G，使BG＝AB，连结GO交BC于E，延长GO交AD于F，连结AE、CF. 求证：(1)△ABC≌△AOG； (2)猜测四边形AECF的形状并证明你的猜想. 8．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠OBC＝∠OCB，要使▱ABCD为正方形还需增加一个条件．在条件①AB＝BC；②AC⊥BD；③AC＝BD；④∠ABC＝90°中，正确的是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 9．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF，若AE＝1，则EF的值为 . 10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连结DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连结AF、CG. (1)求证：AF＝BF； (2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形． 考点4　特殊多边形的性质与判定的综合应用 11．下列说法正确的是( ) A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 12．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( ) A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC＝BD时，它是正方形 C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC⊥BD时，它是菱形 13．我们知道，四边形具有不稳定性，利用这个性质我们可以把如图1所示的衣帽架变化为不同的形状．如图2，将一个边长为20 cm的正方形活动框架(边框粗细忽略不计)变化成四边形ABCD.解决下列问题． (1)四边形ABCD的形状是 ，理由是 ． (2)若正方形的对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36 cm时才会断裂，当∠BAD＝60°时，橡皮筋AC会不会断裂？请说明理由．(参考数据：≈1.732) 　　 14．已知：如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC的中点． (1)求证：四边形AMCN是平行四边形； (2)若AC＝CD，求证：四边形AMCN是矩形； (3)若∠ACD＝90°，求证：四边形AMCN是菱形； (4)若AC＝CD，∠ACD＝90°，求证：四边形AMCN是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $