精品解析：天津市咸水沽第二中学、双港中学2025-2026学年高二下学期期中学业监测数学试卷

高二年级数学学科学业期中监测试卷 一、单选题：本题共9小题，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，那么的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为 A. B. C. D. 3. 从5名志愿者中选出3人分别从事翻译、导游、导购三项不同工作，则选派方案共有（　　） A. 10种 B. 20种 C. 60种 D. 120种 4. 若函数在上为增函数，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 某中学有甲、乙、丙、丁、戊5名学生打算前往观看篮球，足球，乒乓球三场比赛，每人看一场比赛，每场比赛都有学生前往观看，则观赛方案种数有（ ） A. 100 B. 150 C. 180 D. 540 6. 随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 交易量（万套） 0.8 1.0 1.2 1.5 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A. 根据表中数据可知，变量与正相关 B. 经验回归方程中 C. 可以预测时房屋交易量约为（万套） D. 时，残差为 7. 为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（ ） 0.025 0.010 0.005 0.001 5.02 6.635 7.879 10.828 A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效” B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效” C. 有99.99%以上的把握认为“药物有效” D. 有99.99%以上的把握认为“药物无效” 8. 下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②已知随机变量服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④，. A. ②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①② 9. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，共30分. 10. 展开式中，常数项是________． 11. 由0，1，2三个数字组成的三位数（允许数字重复)的个数为_________. 12. 已知为定义在上的奇函数，且，当时，恒成立，则不等式的取值范围是_________ . 13. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率为，乙厂产品的合格率为，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为___________；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为___________. 14. 某高校进行强基招生面试，评分规则是：共设3道题，每道题答对给20分、答错倒扣10分（每道题都必须回答，但相互不影响）.设某学生每道题答对的概率都为，则该学生在面试时恰好答对2道题的概率是______，该学生在面试时得分的期望值为______分. 15. 甲袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有3个红球，1个白球和1个黑球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）.先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球.分别以，，表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则______，______. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 现有4名男生和3名女生（分别为甲、乙、丙）站成一排照相. （1）两端要站女生，有多少种不同的站法？ （2）若女生甲乙相邻且都不与女生丙相邻，有多少种不同的站法？ （3）女生甲要在女生乙的右方（可以不相邻），有多少种不同的站法？ （4）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？ 17. 端午节赛龙舟是我国的传统习俗，一共有8支龙舟队伍，其中专业组2支，业余组6支，从中随机取出3支队伍． （1）求既有专业组又有业余组的概率； （2）设X表示取到业余组的个数，求随机变量X的分布列与数学期望． 18. 在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有个，其余的球为红球． （Ⅰ）若，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率； （Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用表示取出的2个球所得分数的和，写出的分布列，并求的数学期望． 19. 设函数． （1）若在点处的切线斜率为，求a的值； （2）当时，求的单调区间； （3）若，求证：在时，． 20. 已知函数. （1）时，求函数的单调性； （2）时，讨论函数的单调性； （3）若对任意的，当，时恒有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学学科学业期中监测试卷 一、单选题：本题共9小题，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接求导，代入计算即可. 【详解】，故. 故选：D. 2. 已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设可得，令可得所有项的二项式系数和为，令可得偶数项二项式系数的和与奇数项二项式系数的和相等，即展开式奇数项的二项式系数和为，应选答案D． 3. 从5名志愿者中选出3人分别从事翻译、导游、导购三项不同工作，则选派方案共有（　　） A. 10种 B. 20种 C. 60种 D. 120种 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据排列的定义即可求出． 【详解】解：从5名志愿者中选出3人分别从事翻译、导游、导购三项不同工作，则选派方案共种． 故选：． 【点睛】本题考查了排列的意义及其计算公式，属于基础题． 4. 若函数在上为增函数，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，参变分离求出m的范围即可. 【详解】已知函数在上为增函数，则在恒成立， 即在恒成立，则，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查一次函数的性质，属于基础题． 5. 某中学有甲、乙、丙、丁、戊5名学生打算前往观看篮球，足球，乒乓球三场比赛，每人看一场比赛，每场比赛都有学生前往观看，则观赛方案种数有（ ） A. 100 B. 150 C. 180 D. 540 【答案】B 【解析】 【分析】五名学生自由选择三场比赛，再减去不符合条件的方案即可. 【详解】五名学生自由选择三场比赛：种； 若恰好有一场比赛无人观看，则有种， 若有两场比赛无人观看，则共种. 则不符合条件的方案共有种， 所以符合条件的方案有种. 6. 随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 交易量（万套） 0.8 1.0 1.2 1.5 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A. 根据表中数据可知，变量与正相关 B. 经验回归方程中 C. 可以预测时房屋交易量约为（万套） D. 时，残差为 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出、，根据回归方程必过样本中心点求出参数，从而得到回归方程，再一一判断即可. 【详解】对于B，依题意，， 所以，解得，所以，故B正确； 对于A，因为经验回归方程，， 所以变量与正相关，故A正确； 对于C，当时，， 所以可以预测时房屋交易量约为（万套），故C正确； 对于D，当时，， 所以时，残差为，故D错误. 故选：D 7. 为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（ ） 0.025 0.010 0.005 0.001 5.02 6.635 7.879 10.828 A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效” B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效” C. 有99.99%以上的把握认为“药物有效” D. 有99.99%以上的把握认为“药物无效” 【答案】A 【解析】 【分析】根据与参考值比较，结合独立性检验的定义，即可判断； 【详解】因为，即， 所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”或有99.9%以上的把握认为“药物有效”． 故选：A． 8. 下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②已知随机变量服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④，. A. ②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①② 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布概率公式计算判断①；利用正态分布对称性计算判断②；利用条件概率公式计算判断③；利用期望、方差的性质判断④作答. 【详解】对于①，随机变量服从二项分布，，①正确； 对于②，随机变量服从正态分布且，则， ，②正确； 对于③，依题意，，则，③错误； 对于④，，，④正确， 所以说法正确的有①②④. 故选：C 9. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算，然后等价于在（0，+∞）由2个不同的实数根，然后计算即可. 【详解】的定义域是（0，+∞）， ， 若函数有两个不同的极值点， 则在（0，+∞）由2个不同的实数根， 故，解得：， 故选：D. 【点睛】本题考查根据函数极值点个数求参，考查计算能力以及思维转变能力，属基础题. 二、填空题：本题共6小题，共30分. 10. 展开式中，常数项是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，令的幂次为0求出的值，代入计算即可得到常数项. 【详解】根据二项式定理展开式的通项为： ， 令，得， 故展开式的常数项为. 故答案为60. 11. 由0，1，2三个数字组成的三位数（允许数字重复)的个数为_________. 【答案】18 【解析】 【分析】先从1，2中选一个数排在百位，再由十位和个位各有3种选法求解. 【详解】解：先从1，2中选一个数排在百位，有2种选法， 然后十位和个位各有3种选法， 故组成的三位数（允许数字重复)的个数为， 故答案为：18 12. 已知为定义在上的奇函数，且，当时，恒成立，则不等式的取值范围是_________ . 【答案】 【解析】 【分析】令，然后根据条件可得在上单调递增，然后可解出答案. 【详解】令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以时，，所以， 因为为定义在上的奇函数，所以不等式的取值范围是 故答案为： 13. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率为，乙厂产品的合格率为，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为___________；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为___________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据全概率公式和条件概率公式计算即可. 【详解】在该市场中购买甲厂的两个灯泡， 恰有一个是合格品的概率为， 若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为. 故答案为：；. 14. 某高校进行强基招生面试，评分规则是：共设3道题，每道题答对给20分、答错倒扣10分（每道题都必须回答，但相互不影响）.设某学生每道题答对的概率都为，则该学生在面试时恰好答对2道题的概率是______，该学生在面试时得分的期望值为______分. 【答案】 ①. ②. 30 【解析】 【分析】根据独立重复试验的概率计算公式，求得该学生在面试时恰好答对2道题的概率，再由该学生在面试时答对题数，分别求得答对题数的期望和答一道试题得分的期望，即可求解. 【详解】因为每道题相互不影响，且每道题答对的概率都为， 所以该学生在面试时恰好答对2道题的概率是， 设该学生在面试时答对题数为，则随机变量， 所以该学生在面试时答对题目数的期望为， 又由每道题答对的概率都为，所以答一道试题得分的期望值为分， 所以该学生在面试时得分的期望值为分. 故答案为：；. 15. 甲袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有3个红球，1个白球和1个黑球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）.先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球.分别以，，表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】计算出，，利用条件概率求出；再利用全概率公式求出. 【详解】由题意得：，，故； 又，，，， 故. 故答案为：； 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 现有4名男生和3名女生（分别为甲、乙、丙）站成一排照相. （1）两端要站女生，有多少种不同的站法？ （2）若女生甲乙相邻且都不与女生丙相邻，有多少种不同的站法？ （3）女生甲要在女生乙的右方（可以不相邻），有多少种不同的站法？ （4）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？ 【答案】（1）720 （2）960 （3）2520 （4）3720 【解析】 【分析】（1）先排两端的女生，再排其余学生，利用分步乘法计数原理计算站法总数； （2）先排无特殊要求的男生，再将相邻的女生甲乙捆绑成一个整体，最后把 “甲乙整体” 和女生丙插入男生形成的空隙中，利用分步乘法计数原理计算站法总数； （3）先计算 7 人无限制的全排列总数，再利用定序问题的对称性，甲在乙右方的情况占总排列数的一半，直接除以 2 得到结果即可； （4）用间接法，先计算 7 人无限制的全排列总数，再减去甲在左端、乙在右端的不符合条件的情况，最后加回重复减去的 “甲在左端且乙在右端” 的情况，得到站法总数即可. 【小问1详解】 优先排两端的女生：从3名女生中选2名排在两端，则， 排中间5个位置：剩余5人全排列：， 所以. 【小问2详解】 先排4名男生，形成5个空隙：， 将甲乙捆绑成一个整体，内部排列：， 从男生形成的5个空隙中选2个，分别放入“甲乙整体”和丙（两者不相邻）： ， 所以. 【小问3详解】 7人全排列：， 甲在乙的右方与甲在乙的左方的情况数相等，各占一半： . 【小问4详解】 7人全排列：， 甲在左端：， 乙在右端：， 甲在左端且乙在右端：， 所以. 17. 端午节赛龙舟是我国的传统习俗，一共有8支龙舟队伍，其中专业组2支，业余组6支，从中随机取出3支队伍． （1）求既有专业组又有业余组的概率； （2）设X表示取到业余组的个数，求随机变量X的分布列与数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，数学期望 【解析】 【分析】（1）根据古典概型以及组合数的计算求得正确答案； （2）根据超几何分布的知识求得的分布列并求得数学期望． 【小问1详解】 依题意，既有专业组又有业余组的概率为． 【小问2详解】 的可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布列如下： 1 2 3 ． 18. 在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有个，其余的球为红球． （Ⅰ）若，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率； （Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用表示取出的2个球所得分数的和，写出的分布列，并求的数学期望． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）3个（Ⅲ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求出从袋中任取1个球是红球的概率，再利用独立事件的概率公式可求三次取球中恰有2个红球的概率； （Ⅱ）根据从袋中一次任取2个球，如果这2个球颜色相同的概率是建立等式关系，求出的值，从而求出红球的个数． （Ⅲ）的取值为2，3，4，5，6，然后分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式解之即可； 【详解】（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件，则． 所以，． （Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件，则， 整理得，解得（舍或． 所以红球的个数为个． （Ⅲ）的取值为2，3，4，5，6， 且，， ，，． 所以的分布列为 2 3 4 5 6 所以，． 19. 设函数． （1）若在点处的切线斜率为，求a的值； （2）当时，求的单调区间； （3）若，求证：在时，． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过计算，可求解；（2）由（1）知：，讨论导数的正负即可得到单调性；（3）通过变形，只需证明即可，利用不等式，即可证明. 【小问1详解】 解：函数，则， 因为在点处的切线斜率为， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知：， 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 ， 令，则， 因为，所以， 则在上单调递增，又，所以恒成立，即； 令，，时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，恒成立，即， 所以，得证. 20. 已知函数. （1）时，求函数的单调性； （2）时，讨论函数的单调性； （3）若对任意的，当，时恒有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为. （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的解析式，即可得到定义域，利用导数求出函数的单调区间； （2）求出函数的导函数，即可得到，再分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （3）由（2）可得的单调性，即可得到，依题意可得对任意的恒成立，参变分离，结合函数的性质计算可得. 【小问1详解】 当时，，， ∴ ， 当时， ，函数单调递增；当 时， ，函数单调递减， 即的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 当 时，函数，， ， ①当时，， 令，解得， ∴当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减； ②当时，令，解得或， （i）若，则， ∴当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增； （ii）若时，则恒成立， ∴函数在上单调递增； （iii）若，则， ∴当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增； 综上可得：当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在和上单调递增，在上单调递减； 当时在上单调递增； 当时在和上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 当时，由（2）可知，函数在上单调递增， ∴ ， ∵对任意的，当时恒成立， ∴对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， ∵当时单调递增，所以， ∴， 故实数的取值范围为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $