天津市津南区小站第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试卷

2026年小站一中高二下期中考试数学试卷 一、选择题 1. (4分)集合A={1,2,3,4,B={2,3,4,5},则AnB=（)() A.{1,2,3,4] B.{2,3,4} C.{2,4 D.{1} 2. (4分)对变量x,y由观测数据得散点图1：对变量u,v由观测数据得散点图2，由这两个散点图可以推断 () VA 30 2 50 ● 20.… 401 。 15 30- 0- 20·。 10。 01294567 01234567u 图1 图2 A.x与y正相关，u与v正相关 B.x与y正相关，u与v负相关 C.x与y负相关，u与v负相关 D.x与y负相关，u与v正相关 3.(4分)“a=b”是“lna=lnb”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4. (4分)下列说法错误的是() A.农作物的产量与施肥之间具有相关关系 B.两个模型中残差平方和越小的模型拟合效果越好 C.线性相关系数r越接近1，成对样本数据的线性相关程度越弱 D.甲、乙两个模型的R2分别为0.88和0.94，则乙模型的拟合效果好 5. (4分)下列求导运算中，正确的是()() A.(cos x)'=sin x B.(3r)'=3 C.(nay=1-Ina D.(xe)'=(x+1)e 6 4分)已知(2x+立)”的展开式共有6项，则展开式中各项二项式系数的和为（) A.25 B.26 C.35 D.36 7.(4分)甲、乙两家工厂加工一批同种规格的零件，甲厂加工的次品率为2%，乙厂加工的次品率为4%，加工出来 的零件混放在一起，已知甲、乙两家工厂加工的零件数分别占总数的55%，45%，现从中任取一个零件，则取 到次品的概率为() A.0.0008 B.0.029 c.0.031 D.0.2483 8. (4分)已知随机变量X的分布列如表： X-101 1 若P(x≤0=是则D(=()() 11 A. C.0 16 -4 (4分)已知函数f(x)满足f(x十1)= 1n(+1),r>-1.，函数g()=f(e)-f(-到恰有5个零点，则 了ax+a,x≤-1， 实数a的取值范围为() ÷0叭 B.(0.) c(3 二、填空题 10. (4分)已知X是离散型随机变量，且E(X)=3,D(X)=0.5,若随机变量Y=2X+1,则E(Y= ，D(Y)= 11. (4分)曲线y=e+1在点(0,2)处的切线方程是 12. (4分)已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.8，两个路口连续遇到红灯的概率为 04,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为一· 13. 4分（√厅+P的展开式中的常数项为二 14.(4分)在天津的新高考改革中，考生除参加语文、数学、英语的统一考试外，还需从思想政治、历史、地理、物 理、化学、生物学6科中任选3科参加高考，则不同的选考方法共有种：若某同学计划从思想政治、历史 中至少选一科参加高考，则该生不同的选考方法共有种（用数字作答）。 y 15.4分)已知函数f()=e(一1，则f(✉)的极小值为一：若函数go)=mx一2，对于任意的 x1∈[-2,2]，总存在x2∈[-1,2]，使得f(x1)>g(x2),则实数m的取值范围是 三、解答题 16.(10分)己知函数f(x)=x2(x-2) (1)求f(x)的单调区间： (2)求f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值. 17.(10分)为调查某商品一天的销售量及其价格是否具有线性相关关系，某市发改委随机选取五个超市的销售情况进 行统计，数据如下表： 价格x(元)89.51010.512 销售量y(件)1110865 通过分析，发现商品的销售量y与价格c具有线性相关关系. (1)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程；（保留两位小数） (2)根据(1)所得的经验回归方程，若使销售量为12件，估计价格是多少？（结果保留两位小数） 附：在经验回归方程=t+a中， ∑21x-nx 5 5 6= x5=386, ∑1号-n2 ,a=可-iz, x=508.5 i=1 18. (10分)《中华人民共和国民法典》被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律 体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法，为了增强学生的法律意识，了解法律知识.某大学为此举行了 《中华人民共和国民法典》知识竞赛，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，若把分数不低于90 分的成绩称为优秀，整理得到如下2×2列联表： 竞赛成绩 性别 合计 优秀不优秀 男 5 60 65 女 1 28 35 合计 12 88 100 参考数据： p(K2≥&) 0.15 0.10 0.050.0250.0100.005 0.001 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 n(ad bc)2 参考公式：K2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) (I)依据α=0.05的独立性检验，能否认为该校此专业大一学生的性别与测试成绩有关联： (Ⅱ)若从获优秀的学生中随机抽取3人进行座谈，记X为抽到男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期 望 19.(10分)已知甲、乙两个企业招聘员工的笔试环节都设有三个题目，若某毕业生参加甲企业的笔试时，答对每个题 1 122 目的概率均为2：参加乙企业的笔试时，答对每个题目的概率依次为石，33， 且该毕业生是否能答对每个 题目是相互独立的. (I)求该毕业生参加甲企业的笔试时恰好答对两个题目的概率； (Ⅱ)用X表示该毕业生参加乙企业的笔试时答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望. 20.( 0分)已知函数f回)=l血z-ar,a∈R (I)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，∫(1)处的切线方程： (Ⅱ)若f(x)的最大值为-1，求a的值： (m若对于任意的1,2∈e1,小，当1<2时，都有不等式f儿)-f2）<1成立，求a的取 C1-C2 C1C2 值范围。 2026年小站一中高二下期中考试数学试卷 一、选择题 1、【答案】B 【知识点】交集及其运算 2、【答案】D 【知识点】变量间的相关关系 3、【答案】C 【知识点】充分条件、必要条件、充要条件 4、【答案】C 【知识点】命题的真假判断与应用 5、【答案】D 【知识点】导数的运算 6、【答案】A 【知识点】二项式定理 7、【答案】B 【知识点】古典概型及其概率计算公式 8、【答案】A 【知识点】离散型随机变量的期望与方差 9、【答案】A 【知识点】函数的零点与方程根的关系 二、填空题 10、【答案】7,2 【知识点】离散型随机变量的期望与方差 11、【答案】x-y+2=0 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程 1以、【答类】日 【知识点】条件概率与独立事件 13、【答案】672 【知识点】二项式定理 14、【答案】20,16 【知识点】排列、组合及简单计数问题 15、【答案】-1，(-0∞，- 3u分+o) 【知识点】利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的最值 三、解答题 16、【解答】解：(1)因为f(x)=x2(x-2)=x3-2x2, 所以f'(x)=3x2-4x: 令f(网>0，解得x<0或> 31 令f(@)<0,解得0<<3 所以f回的递增区间为（一60,0，（导+o),递减区间为0.争） (②)由(1)知x=0是f()的极大值点，亚=3是f(四)的极小值点， 所以和m=于0=0：f=f传= 32 又f(-1)=-3,f(3)=9, 所以f(x)最大值=f(3)=9,f()最小值=f(-1)=-3. 【知识点】利用导数研究函数的最值，二次函数的性质与图象 17、【解答】解：(1)由题意知x=10,y=8, 6=386-5×8×10 ≈-1.65，a=8-（-1.65)×10=24.5, 508.5-5×100 ∴.线性回归方程是y=-1.65x+24.5: (2)若销售量为12件， 令y=-1.65x+24.5=12, 可得x≈7.58， .∴.预测销售量为12件时的售价是7.58元. 【知识点】线性回归方程 18、【解答】解：(1)由列联表中的数据，可得K2=100×6×28-60×7 -≈3.263<3.841， 65×35×12×88 所以依据α=0.05的独立性检验，认为该校此专业大一学生的性别与测试成绩没有关联； (Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,3， 则P(X=0)= Cc27 441 P(X=1)= C 21 C244' 7 P(X=2)= C 二22 P(X=3)= CgC 1 Ci2 22 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 7 P 21 7 1 4444 22 22 55 E(X)=3× 12=4 【知识点】离散型随机变量的期望与方差，独立性检验，离散型随机变量及其分布列 19、 【解答】解：(I)设“该毕业生参加甲企业的笔试时恰好答对两个题目”为事件A, 则P0=c产x1-为- (IⅡ)X的可能取值为0,1,2,3， 所以P(x=0=1-君×1-3)×-3)=高 5 Px=)=1-×号xa-3+a-吉×-京×号+日×1-3x1-3=8 PX=到=言×后x1-号影+a-吉×号×号+言xa-骨×号号 1 2 2、24 1 222 P(X=3)=后×3×3=27 则X的分布列为： 0 2 3 5 4 2 54 18 9 27 5 7 4 23 所以E(X)=0× +1×18+2×g+3×27=2 【知识点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分 布列 20、【解答】解：(I)当a=1时，寸()=血x-2, 1 则f0=7放切点为(1，》， 1 fa)=主-克所以r0= 2 11 故曲线=f(@)在点(1，f()处的切线方程为)+豆=2(c-1),即x-2y-2=0: 1 (Ⅱ)因为f(e)=n0-2ax, 所以回=2是(>0叭 ①当a≤0时，f(x)>0在(0，+∞)上恒成立， 所以f(x)在(0，+o∞)上单调递增， 故f(x)无最大值，不符合题意： 2 ②当a>0时，令f()<0,可得x> a 令f()>0,可得0<< a 所以子回)在(0，名)上单调递增，在（名，+∞）上单调避减。 a 所以fa)的最大值为f后)=1n2-1=-1,解得a=2 综上所述，a的值为2： (Ⅲ)因为x1<x2, 所以不等式儿)=儿）<1对于任意的1,2∈e1,e恒成立， r1-c2 C12 等价于f)-f)>二对于任意的1,2∈e1,恒成立， x2 1 即@)士>2)+对于意的边ee1,e恒成立 2 令n()=f()+元， 1 故原不等式可化为h(x1)>h(x2), 故h()=血r-z+是在e,日上单调道减， 1 因为N()=上1-a xx2-2’ 则1-1a 元2-2≤0在e1,e上恒成立， a≥品+2护+在,g上或 因为x∈[e1,e, 所以当x=2时， 24》+的天省为 故a的取值范围为 2'+0). 【知识点】利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程