精品解析：广东省深圳市南山区深圳湾学校2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试卷

深圳湾学校2024-2025学年春季学期 八年级期中考试—数学学科试卷 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线 C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线 2. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 5. 如图，在中，，，的平分线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知坐标平面上有一等边，其坐标分别为，，将绕点依顺时针方向旋转，如图所示则旋转后点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 三角形的三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等 C. “直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是真命题 D. 斜边相等的两个直角三角形全等 8. 已知关于x的不等式组只有唯一的整数解，则a的值可以是（　　） A. ﹣1 B. C. 1 D. 2 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 点关于原点对称的点的坐标是_________． 10. 如图，A，B的坐标为(1，0)，(0，2)，若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为____． 11. 如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为______． 12. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E．当点E恰好在上时，则的度数为______． 13. 如图，中，，，，在外侧作等边，过点D作于E，则的长为_______． 三、解答题（共8小题） 14. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 解不等式组 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点为原点建立直角坐标系，回答下列问题： （1）将先向上平移5个单位，再向右平移1个单位得到，画出，并直接写出的坐标______； （2）将绕点顺时针旋转90°得到，画出； （3）观察图形发现，是由绕点______（写出点的坐标）顺时针旋转______度得到的． 18. 如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，G为中点，求的长． 19. 背景 【长城上可以点无人机送的外卖了】打开手机外卖软件下单，在长城上也可以点外卖了，最快5分钟收货！目前，美团无人机在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供了应急救援等商品货物配送服务，这也是北京市内首次开通常态化无人机配送服务.近年来，中国低空经济发展迅速，成为了经济增长的新动能． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5件商品，8件商品，共需要2400元；若买8件商品，5件商品，共需2280元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动：①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售；②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 问题解决 任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元? 任务2 某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中商品购买件；①若使用无人机配送商品，共需要_____元； ②若不使用无人机配送商品，共需要______元．（结果均用含的代数式表示）； 任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买商品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？ 20. 20．综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且 【初步探究】（1）小鸣将绕点A在平面内自由旋转，连接后，发现他们之间存在着一定的关系，如图（1），请证明：且； 【深入探究】（2）若，O点为的中点，旋转过程中，当点D、点E和点O三点共线时，如图2，求证：． 【拓展探究】（3）如图3，当，，，则______．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳湾学校2024-2025学年春季学期 八年级期中考试—数学学科试卷 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线 C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转180°后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形．直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求不等式的解集，在数轴上表示不等式解集，熟练掌握用数轴表示不等式解集是解题的关键．先求出不等式的解集，再把解集用数轴表示出来即可． 【详解】解：， 移项得：， 在数轴上表示为： 故选：C． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的方法逐一判断即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：A、，该选项分解错误，不合题意； B、，该选项分解正确，符合题意； C、，该选项分解错误，不合题意； D、，该选项分解错误，不合题意； 故选：B． 4. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的结构特征，将多项式与公式对比，确定中间项的系数，从而求出的值，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：由， ∵多项式能用完全平方公式因式分解， ∴， 故选：． 5. 如图，在中，，，的平分线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，由三角形内角和定理可得，又平分，则，通过直角三角形性质可得，最后通过等角对等边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6. 已知坐标平面上有一等边，其坐标分别为，，将绕点依顺时针方向旋转，如图所示则旋转后点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，设旋转后点对应的点为，过作轴于，首先利用旋转的性质和等边三角形的性质可以得到，，然后利用含30度直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设旋转后点对应的点为，过作轴于， 为等边三角形，，， 又将绕点依顺时针方向旋转， ，， ， ，， ， 旋转后点的坐标为 故选：D． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化旋转，同时也利用了等边三角形的性质及含30度直角三角形的性质和勾股定理，有一定的综合性． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 三角形的三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等 C. “直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是真命题 D. 斜边相等的两个直角三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判断，根据等边三角形的判定定理，三角形角平分线的性质，三角形中线的性质，垂直平分线的性质逐项分析判断即可． 【详解】A. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故该选项不正确，不符合题意； B. 三角形的三条角平分线的交点到三角形三边距离相等，故该选项不正确，不符合题意； C. “直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故该选项正确，符合题意； D. 斜边相等的两个直角三角形不一定全等，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 8. 已知关于x的不等式组只有唯一的整数解，则a的值可以是（　　） A. ﹣1 B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有一个整数解可得到a的取值范围，据此可得答案． 【详解】解不等式x-a＞0，得：x＞a， 解不等式5-2x＞1，得：x＜2， 则不等式组的解集为a＜x＜2， ∵不等式组有唯一整数解， ∴0≤a＜1， 故选B． 【点睛】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 点关于原点对称的点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点， 点关于原点过对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，解题的关键是掌握坐标的变化规律． 10. 如图，A，B的坐标为(1，0)，(0，2)，若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为____． 【答案】0 【解析】 【详解】试题解析：由B点平移前后的纵坐标分别为2、4，可得B点向上平移了2个单位， 由A点平移前后的横坐标分别是为1、3，可得A点向右平移了2个单位， 由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位， 所以点A、B均按此规律平移， 由此可得a=2，b=2， 故a-b=0． 【点睛】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 11. 如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．先利用直线的解析式确定A点坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象得，当时，直线在直线的下方， ∴关于的不等式的解集为， 故答案为：． 12. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E．当点E恰好在上时，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质以及角的和差即可求解．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度得到， ，，， 为等腰三角形， ， ， 故答案为：． 13. 如图，中，，，，在外侧作等边，过点D作于E，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形性质，在上截取，连接，，证明是等边三角形，则，，由是等边三角形，故有，，证明，根据性质可得，，通过角度和差可得，所以，最后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 14. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3） （4）． 【解析】 【分析】（）直接提取公因数即可； （）先提取公因数，再根据完全平方公式进行二次分解即可； （）先提取公因数，再根据平方差公式进行二次分解即可； （）直接利用完全平方公式进行分解即可； 本题考查了因式分解的综合运用，平方差公式、完全平方公式，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：． 15. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．根据分式的运算法则化简得到，代数求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 17. 如图，的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点为原点建立直角坐标系，回答下列问题： （1）将先向上平移5个单位，再向右平移1个单位得到，画出，并直接写出的坐标______； （2）将绕点顺时针旋转90°得到，画出； （3）观察图形发现，是由绕点______（写出点的坐标）顺时针旋转______度得到的． 【答案】（1）（1）见解析； （2）见解析 （3）；90 【解析】 【分析】本题主要考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图以及旋转的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标； （2）根据网格结构找出点、、绕点顺时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （3）作对应点A与、B与的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心，再根据图形确定出旋转角度数即可． 【小问1详解】 解：如图所示，； 【小问2详解】 如图所示， 【小问3详解】 由题意知是由绕点顺时针旋转90度得到的， 故答案为：，． 18. 如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，G为中点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用等角对等边即可解答； （2）如图：过点E作，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：图：过点E作，垂足为F， ∴， ∵， ∴， ∵G为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为8． 19. 背景 【长城上可以点无人机送的外卖了】打开手机外卖软件下单，在长城上也可以点外卖了，最快5分钟收货！目前，美团无人机在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供了应急救援等商品货物配送服务，这也是北京市内首次开通常态化无人机配送服务.近年来，中国低空经济发展迅速，成为了经济增长的新动能． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5件商品，8件商品，共需要2400元；若买8件商品，5件商品，共需2280元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动：①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售；②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 问题解决 任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元? 任务2 某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中商品购买件；①若使用无人机配送商品，共需要_____元； ②若不使用无人机配送商品，共需要______元．（结果均用含的代数式表示）； 任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买商品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？ 【答案】任务1：该商店在无促销活动时，商品的销售单价是160元，商品的销售单价是200元 任务2：①，② 任务3：当时，使用无人机配送商品更合算 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、代数式的应用及一元一次不等式的解法，涉及知识点包括方程组的建立与求解、代数式的化简与应用、不等式的性质及其应用；解题的关键在于准确建立数学模型，通过方程组求解商品单价，利用代数式表达不同促销方案下的总费用，并通过不等式确定最优选择，整个过程需注重逻辑推理与数学运算的准确性． 任务1：通过设未知数，利用无促销活动时两种购买组合的总价建立二元一次方程组，求解得到A、B商品的销售单价； 任务2：先确定购买B商品的数量为件，再根据两种促销方案的折扣规则，结合任务1求得的单价，分别计算使用无人机配送和不使用无人机配送时的总费用，用含a的代数式表示； 任务3：根据“使用无人机配送更合算”这一条件，建立一元一次不等式，求解不等式并结合的范围，确定购买A商品数量的范围． 【详解】解：任务１ 设A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是y元，依题意得 ，解得, 答：A，B商品的销售单价分别是160元，200元； 任务2 A商品打折后单价为元，B商品打折后单价为元， 总费用为服务卡费用加上A、B商品的打折后总价， ， A商品打折后单价为元，B商品打折后单价为元， 总费用为A、B商品的打折后总价，即： ． 故答案为：①，②； 任务3 依题意，， 解得， ， ， 当时，使用无人机配送商品更合算． 20. 20．综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且 【初步探究】（1）小鸣将绕点A在平面内自由旋转，连接后，发现他们之间存在着一定的关系，如图（1），请证明：且； 【深入探究】（2）若，O点为的中点，旋转过程中，当点D、点E和点O三点共线时，如图2，求证：． 【拓展探究】（3）如图3，当，，，则______．（直接写出结果） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6 【解析】 【分析】（1）证明即可得到，延长交于点，根据互余关系求证即可； （2）过C作；证明，则；由已知易得，；由勾股定理得，进而得； （3）设，则，由(1)可得，则，导角证明，过点E作交延长线于点H，则，在中，，则，由勾股定理得，在中，，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得 ，再由即可求解． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过C作， 则； ∵O为的中点， ∴； 在和中， ， ∴， ∴； 由（1）知，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴； 由勾股定理得， ∴； （3）解：设，则， 由(1)可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点E作交延长线于点H， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识；有一定的综合性，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $