精品解析：青海海南州高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2025-2026学年第二学期高一期中考试 数学 一、单选题（本小题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 （ ） A. B. C. D. 5. 如图，为测量河对岸、两点间的距离，沿河岸选取相距米的、两点，测得，，，，则、两点的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本小题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的） 9. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 函数图象关于直线对称 B. 函数的最小正周期为 C. 函数图象可看作是把函数的图象向左平移个单位而得到 D. 函数在区间的最大值为2 10. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下判断正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，，，则符合条件的△ABC有两个 D. 若△ABC为锐角三角形，则 11. 已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（ ） A. 若为的垂心，则 B. 若为的重心，则 C. 若为的外心，则 D. 若为的内心，则. 三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的最小值为___________. 13. 在中，三个内角，，的对边分别是，，，若，，，则______. 14. 若，则的值为__________. 四、解答题（本小题共5小题，共77分，要有必要的运算和推理过程） 15. 已知向量，，，且，. （1）求与； （2）若，，求向量，的夹角的大小. 16. （1）作图题：如图所示，已知同起点的三个向量，，，求作向量. （2）设两个非零向量，不共线，，，. ①若和共线，求实数的值； ②求证：、、三点共线. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间内的单调递增区间. 18. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，求的最小值及的面积. 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角C； （2）若，的面积为，求边a，b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一期中考试 数学 一、单选题（本小题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】. 3. 已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的定义求出，再由投影向量的定义计算可得. 【详解】因为向量与的夹角是，且，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 4. 在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可得，再利用平方关系和三角形面积公式求解. 【详解】根据题意，， 则，即， 则，又，所以， 所以. 5. 如图，为测量河对岸、两点间的距离，沿河岸选取相距米的、两点，测得，，，，则、两点的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求出，在中求出，然后在中利用余弦定理可求得. 【详解】在中，，，故， 由正弦定理，得， 在中，，， 故为等腰直角三角形，且，， 在中，，，， 由余弦定理可得（米）. 故选：B. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】对进行“辅助角变换”可得，再结合同角三角函数基本关系式和两角差的余弦展开公式求解即可. 【详解】因为，所以，而， 故，则， 故 . 7. 已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，进而得到，结合单调性可得，再解不等式即可． 【详解】解：， ，， ， 又函数（）在区间上单调递增， ，解得． 8. 已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以． 因为在上恰有3个零点，所以，解得． 二、多选题（本小题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的） 9. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 函数图象关于直线对称 B. 函数的最小正周期为 C. 函数图象可看作是把函数的图象向左平移个单位而得到 D. 函数在区间的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过代入特殊值验证对称轴，计算周期，分析平移变换，结合定义域求最值，逐一判断选项正误. 【详解】 ，故A正确. ，故B正确. 向左平移个单位，得，故C错误. 当时，，，故 ，D正确. 10. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下判断正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，，，则符合条件的△ABC有两个 D. 若△ABC为锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，由诱导公式知，错误； 对于B，由和正弦定理可得，由大边对大角可知，正确； 对于C，若，，，则， 即，所以符合条件的△ABC有两个，正确； 对于D，∵，∴，∴，正确. 11. 已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（ ） A. 若为的垂心，则 B. 若为的重心，则 C. 若为的外心，则 D. 若为的内心，则. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据垂心的性质及向量的线性运算判断A，根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断B，根据外心特征计算判断C，根据内心的性质即可得解判断D. 【详解】因为为的垂心，所以，故， 所以，故A正确； 延长交于中点，如图， 因为点O是的重心，， 所以，故B错误； 如下图所示： 若为的外心，取线段的中点，连接，由垂径定理知， 所以，故C正确； 如图， 若为的内心，则，过作， 由余弦定理得，所以， 内切圆半径为，所以， 所以，而，所以， 所以，故D正确. 三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【详解】， 当时，等号成立，所以函数的最小值为. 13. 在中，三个内角，，的对边分别是，，，若，，，则______. 【答案】或 【解析】 【详解】在中，由正弦定理得， 又，，，所以，所以， 又因为，所以或. 14. 若，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求代数式的值. 【详解】 . 四、解答题（本小题共5小题，共77分，要有必要的运算和推理过程） 15. 已知向量，，，且，. （1）求与； （2）若，，求向量，的夹角的大小. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用共线向量的坐标表示、向量垂直的坐标表示列式求解. （2）由（1）的结论求出向量，再利用向量的夹角公式求解即得. 【小问1详解】 向量，，，由，得，则； 由，得，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 因此，， ，而，则， 所以向量，的夹角的大小为. 16. （1）作图题：如图所示，已知同起点的三个向量，，，求作向量. （2）设两个非零向量，不共线，，，. ①若和共线，求实数的值； ②求证：、、三点共线. 【答案】（1）（2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用首尾相接法即可得到； （2）①利用向量的共线定理列出方程即可解出；②A、B、D三点共线即和共线，先运用向量加法求出，再证明其与共线即可. 【详解】（1）如图：保持不变，将平移，使其起点落在的终点上， 然后将向量平移，使其起点落在平移后的的终点上， 最后从最开始的起点连接到最终的终点，这个新的向量就是， （2）①和共线，则有，， 因为非零向量，不共线，所以有且，得 即； ②， 因为，所以和共线，所以A、B、D三点共线. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间内的单调递增区间. 【答案】（1）最小正周期，对称中心为； （2）和. 【解析】 【分析】利用三角恒等变换将函数化为一个正弦型函数，根据周期公式得到最小正周期；令正弦函数内部的相位等于，解出即为对称中心的横坐标； （2）令正弦函数内部的相位落在正弦函数的单调递增区间内，解出的范围，得到单调递增区间的通式，再与给定区间取交集，即得所求的单调递增区间. 【小问1详解】 函数 ， 所以的最小正周期， 令，解得：，此时， 的对称中心为； 【小问2详解】 令， 解得， 的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为； 在区间内单调递增区间和. 18. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，求的最小值及的面积. 【答案】（1） （2）; 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求得； （2）由向量数量积的定义求出，利用余弦定理与基本不等式即可求得的最小值，根据三角形面积公式求其面积. 【小问1详解】 由和正弦定理， 可得，整理得， 由余弦定理，，因，则. 【小问2详解】 由化简得， 由余弦定理，， 当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为. 的面积为. 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角C； （2）若，的面积为，求边a，b的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知及正弦定理，两角和的正弦公式化简可得，结合的范围即可得解； （2）由三角形面积公式可求，利用余弦定理即可得，联立即可求出答案． 【小问1详解】 由， 结合正弦定理得：， 即，故， 因为，所以，可得 ，所以 ． 【小问2详解】 由的面积 ， 又 ，所以①. 由及余弦定理得， 故，从而，所以②， 由①②联立解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $