精品解析：2026年山东聊城市聊城东昌中学等校九年级第五次中考学情自测数学试题

2025-2026学年第二学期第五次周练习 一、选择题（共10小题）每题3分，共30分 1. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. “杨辉三角”、“洛书”、“赵爽弦图”和“中国七巧板”均是中国古代数学的重要成就，至今仍在数学教育、智力训练和文化传承中发挥影响．观察以下代表四者的标志性图形，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 代数式在实数范围内有意义，则x的值可能为（ ） A. 2 B. 0 C. －2 D. －1 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校组织八年级108名学生去综合实践基地参加“两天一晚”的社会实践活动．工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住名学生，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（ ） A. B. C. D. 8. 五一假期期间，小明一家自驾出游，在一段长下坡高速公路上，汽车突然刹车失灵，情况十分危急，幸好路边设有紧急避险车道（如图），这是一条由粗糙碎石铺成的上坡路段，专门为失控车辆设计的安全避险坡道．已知汽车在进入避险车道上的速度与路程的关系式为，并且避险车道坡比（斜坡竖直高度：水平宽度）为，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为，则刚进入避险车道时的速度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在圆柱中以圆柱的上下两个底面为底的两个圆锥顶点在O处相接，分别为上下两个圆锥的母线，，若圆柱的高，，上下两个底面的直径与顶点都在同一个平面之中，则上下两个圆锥的侧面积之比是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，以为直径画半圆，点C为半圆的中点，连接，，点E在弦上，，过点B作的垂线交的延长线于点D，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图，A，B是边长为1的小正方形组成的网格上的2个格点，其余的格点中任意放置点C（不包含点A，点B所在的格点），恰好能使构成等腰三角形的概率是______． 12. 对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算例如：．则方程的解是________． 13. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④；其中正确的结论有________个． 14. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作，交x轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交x轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去…，则点的横坐标为_____． 15. 如图，在平行四边形中，，，．为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________． 三、解答题（共8小题） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解一元二次方程：； （3）先化简，再求值：，并从0，1，，2中选一个你喜欢的值代入求值． 17. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．海口市某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机抽样调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 8 a B．人工智能机器人 b 0.25 C．语音类人工智能 28 c D．视觉类人工智能 24 0.3 （1）填空：本次抽样调查的样本容量是________，________；扇形统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为________； （2）若该中学共有600名九年级学生，那么估计该中学选择“D（视觉类人工智能）”项目意向的学生有________人； （3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”，从这4人中选2人到华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 18. 重庆铜梁龙足球队自从冲超以来，球迷热情持续高涨．新赛季，球队推出了和普通两种不同的票．据了解，每张票比每张普通票贵60元，用1440元买票和用960元买普通票的数量相同． （1）求普通票与票的单价分别是多少元； （2）据统计，球票开售第一天，票销售了360张，普通票销售了400张，第二天，由于受天气影响，导致购票人数有所减少，主办方临时改变了销售策略，票单价保持不变，销量减少了张，普通票单价降低了元，销量仍减少了张，最终第二天的销售额比第一天少了元，求的值． 19. 如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角、俯角都调整为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）小张站在离摄像头水平距离点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线处），请问小张的身高约为多少厘米？ （2）身高的小军，头部高度为，当他直立站在离摄像头最远处时，请通过计算说明这时的小军能被摄像头识别吗？（参考数据：，，） 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当反比例函数大于一次函数时，直接写出自变量x的取值范围； （3）若点C为线段上一点，且，连接，求． 21. 如图，是的外接圆，是的直径，点E在的延长线上，连接，． （1）求证：是的切线． （2）过点C作，垂足为D，若的面积是的面积的3倍，，求的长． 22. 二次函数的图象与轴的交点为． （1）若点的坐标为，求该二次函数的表达式； （2）在（1）的条件下，若、在函数图象上，总有，求的取值范围； （3）判断二次函数的图象与轴正半轴是否一定有交点？ 23. 如果一个三角形的一边是另一边的2倍，那么称这个三角形为“和谐三角形”． （1）初步探索：如图1，和谐三角形中，，是的角平分线，是的中线．猜想与的位置关系，并说明理由． （2）尝试应用：在（1）的条件下，，，求的长度． （3）拓展延伸：如图2，和谐三角形中，，点在上，且，的平分线与的平分线交于点．点与点，，的距离分别为，，，写出，，之间的等量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第五次周练习 一、选择题（共10小题）每题3分，共30分 1. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，6710亿， 故选：B 2. “杨辉三角”、“洛书”、“赵爽弦图”和“中国七巧板”均是中国古代数学的重要成就，至今仍在数学教育、智力训练和文化传承中发挥影响．观察以下代表四者的标志性图形，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的判断，根据定义逐项判定，即将一个图形绕某点旋转后能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、因为图形绕某点旋转后不能与本身重合，所以A不符合题意； B、因为图形绕某点旋转后不能与本身重合，所以B不符合题意； C、因为图形绕某点旋转后能与本身重合，所以C符合题意； D、因为图形绕某点旋转后不能与本身重合，所以D不符合题意． 故选：C． 3. 如图所示几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从几何体的左面看，是一个带着圆心的圆，右边的圆柱底面从左边看不到，是一个用虚线表示的圆．只有符合题意． 故选：C． 4. 代数式在实数范围内有意义，则x的值可能为（ ） A. 2 B. 0 C. －2 D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】要使得代数式有意义得到，即可得到x的值 【详解】∵代数式在实数范围内有意义， ∴，即， 解得：， 故选：A 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，掌握“分式与二次根式的综合形式的代数式有意义的条件”是解本题的关键 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、，故选项A错误； B、二次根式要求被开方数为非负数，，而、无意义，故选项B错误； C、与不是同类项，不能合并，故选项C错误； D、根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式分别乘方，， 故选项D正确． 6. 某校组织八年级108名学生去综合实践基地参加“两天一晚”的社会实践活动．工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住名学生，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，根据“工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍”列方程即可． 【详解】解：由原计划每间宿舍住名学生，原来所用房间数为，实际所用房间数为． ∴所列方程为． 故选：C． 7. 某摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为： ． 8. 五一假期期间，小明一家自驾出游，在一段长下坡高速公路上，汽车突然刹车失灵，情况十分危急，幸好路边设有紧急避险车道（如图），这是一条由粗糙碎石铺成的上坡路段，专门为失控车辆设计的安全避险坡道．已知汽车在进入避险车道上的速度与路程的关系式为，并且避险车道坡比（斜坡竖直高度：水平宽度）为，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为，则刚进入避险车道时的速度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵避险车道坡比（斜坡竖直高度：水平宽度）为，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为， ∴竖直高度为， ∴路程为， ∵汽车在避险车道上的速度与路程的关系式为， ∴刚进入避险车道时的速度是． 9. 如图，在圆柱中以圆柱的上下两个底面为底的两个圆锥顶点在O处相接，分别为上下两个圆锥的母线，，若圆柱的高，，上下两个底面的直径与顶点都在同一个平面之中，则上下两个圆锥的侧面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积公式可知，底面半径相等时，侧面积之比等于母线长之比.，由题意可知为直角三角形，利用勾股定理求出的长，进而求出比值． 【详解】解：设圆柱的底面半径为，则上下两个圆锥的底面半径均为， 圆锥的侧面积公式为（为母线长）， ∴上下两个圆锥的侧面积之比为， ， ∴，即为直角三角形， 在中，，， ∴由勾股定理得：， 上下两个圆锥的侧面积之比为． 10. 如图，以为直径画半圆，点C为半圆的中点，连接，，点E在弦上，，过点B作的垂线交的延长线于点D，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设半圆的圆心为，连接，过点作于点，先求出，在中，令则；在中，，;令，则，由得出，代入到中即可求解． 【详解】解：设半圆的圆心为，连接，过点作于点， 点C为半圆的中点， ， ， ， ， 为半圆的直径， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 设则, , 令，则， ， , , ． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图，A，B是边长为1的小正方形组成的网格上的2个格点，其余的格点中任意放置点C（不包含点A，点B所在的格点），恰好能使构成等腰三角形的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】在图中找出顶点C使其能构成等腰三角形，由概率的定义可求出答案． 【详解】解：如图所示，一共有23个符合条件的点，其中能与点A，点B构成等腰三角形的顶点C有9个， 所以恰好能使构成等腰三角形的概率为． 12. 对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算例如：．则方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可． 【详解】解：， ∴方程为：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解本题的关键在理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法． 13. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④；其中正确的结论有________个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为直线， ∴抛物线与轴交于点和，且， ∴， 由图象知：，，， ∴，故结论①正确； ∵抛物线与轴交于点和， ∴， 又因为 ∴，故结论②正确； 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故结论③错误； ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论④正确； 综上：正确的结论有①②④， 所以正确的结论有3个． 14. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作，交x轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交x轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去…，则点的横坐标为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据的关系式为，以及，可得到是等腰直角三角形，进而得到、、都是等腰直角三角形，设，则点，点在反比例函数的图象上，可求出，进而得到点的横坐标为，同理，则点，求出点的横坐标为，同理得出点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；根据规律可得答案． 【详解】解：如图，过点、、、分别作轴，轴，轴，轴，垂足分别为、、、， 直线的关系式为，， 是等腰直角三角形， ， 同理可得、、都是等腰直角三角形， 设，则点，点在反比例函数的图象上， 解得（负值舍去）， 点的横坐标为， 设，则点，点在反比例函数的图象上， 解得， 点的横坐标为； 设，则点，点在反比例函数的图象上， 解得， 点的横坐标为； 同理可得点的横坐标为； 点的横坐标为； 点的横坐标为； … 点的横坐标为． 15. 如图，在平行四边形中，，，．为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和最短路径，解题关键是确定点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点到的距离最短时三角形的面积最小，利用勾股定理求出最小值即可． 【详解】由题意可知，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，而的长不变， 所以面积的最小，就是点到的距离最短． 因为，所以过点作，垂足为． ∵， ∴ ∴， ∴． ∵． ∴， ∴点E到的距离为， ∵，为边的中点， ∴， ∴点到的最短距离为 所以面积． 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解一元二次方程：； （3）先化简，再求值：，并从0，1，，2中选一个你喜欢的值代入求值． 【答案】（1） （2）， （3），当时，2 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式，零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，三角函数，然后计算加减法； （2）用配方法解一元二次方程； （3）先化简，考虑分式有意义，选择合适的值，即可作答． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 则， ∴，． 【小问3详解】 解：原式． ，，， ，1，， 当时，原式． 17. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．海口市某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机抽样调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 8 a B．人工智能机器人 b 0.25 C．语音类人工智能 28 c D．视觉类人工智能 24 0.3 （1）填空：本次抽样调查的样本容量是________，________；扇形统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为________； （2）若该中学共有600名九年级学生，那么估计该中学选择“D（视觉类人工智能）”项目意向的学生有________人； （3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”，从这4人中选2人到华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 【答案】（1）80；0.1；126 （2）180 （3） 【解析】 【分析】本题考查了样本容量、频率、扇形统计图、由样本所占百分比估计总体的数量、树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握以上知识点的概念及计算公式是解题的关键． （1）根据C（语音类人工智能）的人数和所占百分比列式即可的样本容量；进而根据样本容量即可求得a类型的频率；直接利用360度乘以C（语音类人工智能）的占比即可的圆心角度数； （2）根据九年级的人数乘以D（视觉类人工智能）的频率列式计算即可； （3）根据题意列出表格，得到所有等可能的结果数和两位同学选的项目一样的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，样本容量为（人）， ， 扇形统计图中C（语音类人工智能）所对应的圆心角的度数为； 故答案为：80；0.1；126． 【小问2详解】 解：（人）， 估计该中学选择“D（视觉类人工智能）”专业意向的学生约有180人． 故答案为：180． 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果， 由于甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”， 因此两位同学选的项目一样的结果有：甲，乙；乙，甲，共2种， 这两位同学选的项目一样的概率为． 18. 重庆铜梁龙足球队自从冲超以来，球迷热情持续高涨．新赛季，球队推出了和普通两种不同的票．据了解，每张票比每张普通票贵60元，用1440元买票和用960元买普通票的数量相同． （1）求普通票与票的单价分别是多少元； （2）据统计，球票开售第一天，票销售了360张，普通票销售了400张，第二天，由于受天气影响，导致购票人数有所减少，主办方临时改变了销售策略，票单价保持不变，销量减少了张，普通票单价降低了元，销量仍减少了张，最终第二天的销售额比第一天少了元，求的值． 【答案】（1）普通票每张为元，票的每张为元 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）设普通票的每张为元，则票的每张为元，根据用1440元买票和用960元买普通票的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）由题意先表示出第二天普通票和票的单价和销量，再根据第二天总销售额比第一天少了元，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设普通票的每张为元，则票的每张为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则元， 答：普通票每张为元，票的每张为元； 【小问2详解】 解：， 整理得，， 解得，，（舍去）， 答：的值为． 19. 如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角、俯角都调整为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）小张站在离摄像头水平距离点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线处），请问小张的身高约为多少厘米？ （2）身高的小军，头部高度为，当他直立站在离摄像头最远处时，请通过计算说明这时的小军能被摄像头识别吗？（参考数据：，，） 【答案】（1）184.3厘米 （2）小军能被摄像头识别 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解题意，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，在中，根据三角函数求出即可求出，进而可求出小张的身高； （2）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，同上， 在中，根据三角函数求出，，即可求出，进而可确定小军头部以下的高度． 【小问1详解】 解：过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点， 由题意知， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴小张的身高约是184.3厘米； 【小问2详解】 过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点， 同上，可知四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴，同理， ∴，， 小军头部以下的高度为，且小军身高， ∴小军能被摄像头识别． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当反比例函数大于一次函数时，直接写出自变量x的取值范围； （3）若点C为线段上一点，且，连接，求． 【答案】（1）直线的表达式为：，反比例函数的表达式为 （2）自变量x的取值范围为或 （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）根据函数图象即可求解； （3）先求出点，再由求解，再根据共高三角形面积比等于底之比求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 则反比例函数的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 即点， ∴将点，代入 则， 解得 ∴直线的表达式为：； 【小问2详解】 解：一次函数与反比例函数的图象相交于、， 反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：连接， 对于，当时，则， 解得 ∴点， ∴， ， ∴ 则． 21. 如图，是的外接圆，是的直径，点E在的延长线上，连接，． （1）求证：是的切线． （2）过点C作，垂足为D，若的面积是的面积的3倍，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对等角得到，则，由直径所对的圆周角是直角得到，则可导角证明，据此可证明结论； （2）证明，得到，则，设，则，，证明，得到，则，据此可求出． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ， ， 又， ， ， 的面积是的面积的3倍， ， ， 设， ，， ， ，， ， ， ， ∴． 22. 二次函数的图象与轴的交点为． （1）若点的坐标为，求该二次函数的表达式； （2）在（1）的条件下，若、在函数图象上，总有，求的取值范围； （3）判断二次函数的图象与轴正半轴是否一定有交点？ 【答案】（1） （2） （3）二次函数的图象与轴正半轴一定有交点 【解析】 【分析】（1）根据题意，由待定系数法求解即可； （2）由（1）中得到表达式，根据抛物线图象与性质得到当抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合题意得到不等式求解即可； （3）根据抛物线与轴交点情况就是时对应的一元二次方程解的情况，先判断二次函数对应方程解的情况，再由求根公式求出一元二次方程的解，判断始终有一个根恒大于零即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴的交点为， ， 则，解得， 该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知， ，对称轴为， 抛物线开口向下，则当抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 当、在函数图象上，总有时，， 解得； 【小问3详解】 解：令，则， 即， ， 二次函数图象与轴有两个不相同的交点， ，且， 或， 当时，； 当时，； 综上所述，二次函数的图象与轴正半轴一定有交点． 23. 如果一个三角形的一边是另一边的2倍，那么称这个三角形为“和谐三角形”． （1）初步探索：如图1，和谐三角形中，，是的角平分线，是的中线．猜想与的位置关系，并说明理由． （2）尝试应用：在（1）的条件下，，，求的长度． （3）拓展延伸：如图2，和谐三角形中，，点在上，且，的平分线与的平分线交于点．点与点，，的距离分别为，，，写出，，之间的等量关系，并证明． 【答案】（1），理由见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证明为等腰三角形，再根据三线合一的性质，即可求解； （2）勾股定理求得，过点作，交于点，证明，，根据相似三角形的性质可得，进而求得，即可求解； （3）证明得出，，即可证明是“和谐三角形”； 延长交于点，得到 ， ， ，延长至点，使，连接，证明得出，，根据勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 解：，理由如下： 为“和谐三角形”，是的中线， ，， ， 为等腰三角形 是的角平分线，即平分， ，即 【小问2详解】 为和谐三角形，是的中线， ， 为等腰三角形 平分， 在中， 如图，过点作，交于点 ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 ； 证明：， ∴ ， ∴是“和谐三角形” 如图，延长交于点， 的平分线与的平分线交于点， 又，，， ， ， 延长至点，使，连接 在中 ， 在中，根据勾股定理可得 ∴，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $