18.1 第2课时 勾股定理的应用(课件)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，涵盖求线段长、解决实际问题及两点距离公式等核心内容。课堂导入先复习勾股定理及变形公式，通过《九章算术》中的“芦苇问题”“折竹抵地”等古代问题引入，搭建从定理到应用的学习支架，衔接前期定理学习与实际问题解决。 其亮点在于融合古代数学文化与生活情境，以“问题探究—例题解析—变式拓展”为主线，培养数学眼光（抽象实际问题为直角三角形模型）、数学思维（通过方程推理求解）和数学语言（两点距离公式的模型表达）。例如“消防车云梯救援”问题引导学生构建直角三角形，设未知数列方程，提升推理能力。学生能增强应用意识，教师可借助丰富例题提升教学效率。

18.1 勾股定理 第 2 课时 勾股定理的应用 第 18 章 勾股定理 学习目标 1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. (重点) 2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长. (难点) 1.什么是勾股定理 ? 2.勾股定理有哪些公式变形 ? 如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可以表示为 a2 + b2 = c2. ( a、b、c 为正数 ) 公式变形： 探究新知 1、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？ 解：设水池的深度为 x 尺，根据题意，得 x2+52=(x+1)2 解得 x=12 ∴ x+1=13 答：水深 12 尺，芦苇长 13 尺． 探究新知 2、折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺、问折者高几何？大意是：在点 C 处生长的一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子在点 A 处折断，其竹梢点 B 恰好抵地，BC=3尺，求竹子折断后，留在原处的竹子 AC 的长为多少尺？（1丈=10尺）． 解：设 AC 的长为 x 尺，根据题意，得 x2+32=(10-x)2 解得 x=4.55 答：AC 的长为 4.55 尺． 知识拓展： 在直角三角形中，已知一边的长度和另外两边之间的数量关系时，可以通过勾股定理建立方程求另外两边. 勾股定理的简单实际应用 例1 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图. 已知该消防车高 3 m ，将云梯伸长到 10 m ，在成功救出位于 9 m 高处的受困人后，还要救援位于 12 m 高处的受困人，如果云梯的长保持不变，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米?( 精确到0.1m ) 1 解 如图，设 A 是云梯的下端点， AB 是伸长到10 m 后的云梯， B 是第一次救人的地点， D 是第二次救人的地点， 过点 A 的水平线与楼房 ED 的交点为 O . 则 OB = 9 - 3 = 6 (m)，OD = 12 - 3 = 9 (m). 根据勾股定理，得 AO2 = AB2 - OB2 = 102 - 62 = 64. 根据勾股定理，得 AO2 = AB2 – OB2 = 102 – 62 = 64， 则 AO = 8 m. 设 AC = x m，则 OC = (8 – x) m. 根据勾股定理，得 OC2 + OD2 = CD2， 即 (8 – x)2 + 92 = 102. 解方程，得 x1 ≈ 12.4，x2 ≈ 3.7. 根据题目的实际意义，取近似数时应往大了取. ∵AC < AO < AB， ∴ x1 不合题意，∴x ≈ 3.7. 答：这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近约 3.7 m. 1. 湖的两端有 A，B 两点，从与 BA 方向成直角的 BC 方向上的点 C 测得 CA = 130 米，CB = 120 米，则 AB 为 ( ) A B C A. 50 米 B. 120 米 C. 100 米 D. 130 米 130 120 ? A 练一练 解：(1) 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理得 ∴ 这条“近路”的长为 5 米. C A B 2. 如图，学校教学楼前有一块长为 4 米，宽为 3 米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“近路”，却踩伤了花草. (1) 求这条“近路”的长； (2) 他们仅仅少走了几步 (假设 2 步为 1 米)？ 别踩我,我怕疼! (2) 他们仅仅少走了 (3 + 4 - 5)×2 = 4 (步). 3、如图，高速公路上有 A、B 两点相距 25 km，C、D 为两村庄，已知 DA=10km，CB=15km．DA⊥AB 于 A，CB⊥AB 于 B，现要在 AB 上建一个服务站 E，使得 C、D 两村庄到 E 站的距离相等，则AE的长是 km． 15 x 25-x 探究新知 4、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6 cm，BC=8 cm，现将三角形纸片沿直线 AD 折叠，使点 C 落在 AB 上，与点 E 重合，求 DE 的长度. 探究新知 练一练 1. 如图，楼梯的高度为 2 m，楼梯坡面的长度为 4 m，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？(精确到 0.1 m) 【教材P55练习 T1】 练一练 1. 如图，楼梯的高度为 2 m，楼梯坡面的长度为 4 m，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？(精确到 0.1 m) 【教材P55练习 T1】 解：由题可知，楼梯的宽度为 所以地毯的长度至少需要： A B D C O 解：在 Rt△AOB 中，根据勾股定理得 OB2 = AB2 - OA2 = 2.62 - 2.42 = 1， ∴ OB = 1. 在Rt△COD 中，根据勾股定理得 OD2 = CD2 - OC2 = 2.62 - (2.4 - 0.5)2 = 3.15. ∴ 梯子的顶端沿墙下滑 0.5 m 时， 梯子底端并不是外移 0.5 m，而是外移约 0.77 m. 例3 如图，一架 2.6 m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为 2.4 m. 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5 m，那么梯子底端 B 也外移 0.5 m 吗? 变式 1：如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 DC 上，将矩形沿AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点F处．若 AB=3，BC=5，则 DE 的长为 . 变式 2：如图，将长方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 落在点 C′ 处，BC′ 交 AD 于 E，AD=16，AB=8，则重叠部分（即△BDE）的面积为（　　） A.24 B.30 C.40 D.80 探究新知 C 5、如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，CD⊥BA 的延长线于点 D ,则线段 AD的长为 . 变式 1：如图，在三角形 ABC 中，AB=5，BC=4，AC=7，BD⊥AC 于点D，则CD的长为 . 探究新知 1.4 知识拓展： 当两个三角形具有公共边或者相等的边时，需要使用两次勾股定理构建方程. 练一练 2. （1）如图，长 3 m 的梯子斜靠着墙，梯子底端离墙根 0.6 m，梯子顶端离地面多少米？（精确到 0.1m） 【教材P55练习 T2】 解：由题可知，梯子顶端离地面的高度为 3 m 0.6 m 练一练 2. （2）题（1）中，若梯子的顶端自墙面下滑了 0.9 m，那么梯子的底端沿地面向外滑动的距离是否也为 0.9 m？说明理由. 【教材P55练习 T2】 解：不是. 理由如下： 由题可知，梯子滑动后，底端离墙根的距离为 3 m 0.6 m 所以梯子底端向外滑动的距离约为 2.2 – 0.6 = 1.6 (m). 例4 我国古代数学著作《九章算术》中记录了一个问题，其大致意思是：如图，有一个水面是边长为 10 尺的正方形水池，正中央有一根芦苇，它露出水面部分高 1 尺，如果把它拉向最近的岸边，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面，求池水深和芦苇的长. (注:尺为当时的长度单位) 武英殿聚珍版《九章算术》 分析 根据题意，先画出水池截面示意图，如图所 示. 设 AB 为芦苇，BC 为芦苇出水部分，长 1 尺，将芦苇拉向岸边，其顶部 B 点恰好碰到岸边 B'. A B B' 1 尺 5尺 C 解：如图，设水深 x 尺，则 AC = x 尺， 因为池塘的水面是边长为10尺的正方形， 在Rt△ACB' 中，根据勾股定理得， 52 + x2 = (x+1)2， 故芦苇长为 13 尺. 解得 x = 12. 答：水池的水深 12 尺. AB = AB' = (x + 1) 尺. 所以 B'C = 5 尺. 变式 2：如图所示，当两个三角形的边长分别为 3，7，8 和 5，7，8时，求这两个三角形的面积． 探究新知 变式 2：如图所示，当两个三角形的边长分别为 3，7，8 和 5，7，8时，求这两个三角形的面积． 探究新知 两点之间的距离公式 如果数轴上的点 A1，A2 分别表示实数 x1，x2，两点 A1，A2 间的距离记作 |A1A2|，那么 |A1A2| = |x2 – x1|. 对于平面上的两点 A1，A2 间的距离是否有类似的结论呢？ x1 x2 A1 A2 A1 A2 【教材P62-63】 两点之间的距离公式 如图，已知坐标平面上两点 A (3，0)，B (0，4)，如何计算 A，B 两点之间的距离 |AB|？ 问题1 O 1 2 3 x 1 2 3 y 4 B A 在 Rt△OAB 中，由勾股定理，得 ∴ AB = 5. AB2 = AO2 + BO2 = 32 + 42 = 25 即 |AB| = 5. 由图可知：AO = 3，BO = 4. 【教材P62-63】 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 建构 利用 决解 知识要点 例5 如图，在平面直角坐标系中有两点 A(-3，5)，B(1，2)，求 A，B 两点间的距离. A 2 1 -3 -2 -1 -1 2 3 1 4 5 y O x 3 B C 解：如图，过点 A 作 x 轴的垂线，过点 B 作 x，y 轴的垂线，相交于点 C，连接 AB. 则 AC = 5 - 2 = 3，BC = 3 + 1 = 4. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 ∴ A，B 两点间的距离为 5. 利用勾股定理求两点间的距离及验证“HL” 2 方法总结：两点间的距离公式：一般地，设平面上有任意两点 6、如图是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为 49，小正方形面积为 4，若用 x,y 表示直角三角形的两条直角边长（x＞y），下列四个说法： ①x2+y2=49；②x-y=2；③2xy+4=9；④x+y=9， 其中正确的说法是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 探究新知 A 变式 1：如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF 和 △DAE 是四个全等的直角三角形，四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形，如果 AB=10，EF=2，那么 AH 等于（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 探究新知 变式 2：我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由 4 个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为 a、b,斜边长为 c ,若 b-a=4，c=20，则每个直角三角形的面积为 ． C 96 C B A 问题 在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择 A B 路线，而不选择 A C B 路线，难道小狗也懂数学？ AC+CB ＞AB（两点之间，线段最短） 思考 在立体图形中，怎么寻找最短路线呢？ 利用勾股定理求最短距离 3 A B 蚂蚁从 A→B 的路线 问题：在一个圆柱形石凳上，小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好在 A 处的一只蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从 A 处爬向 B 处，问怎么走最近？最短路程怎么求？ B A 将侧面展开后，根据“两点之间线段最短”可得最近路线. 33 两点之间的距离公式 如图，已知坐标平面上两点 A (1，2)，B (5，5)，如何计算 A，B 两点之间的距离 |AB|？ 问题2 B A 在 Rt△ABC1 中，由勾股定理，得 ∴ AB = 5. AB2 = AC12 + BC12 = 32 + 42 = 25， 即 |AB| = 5. ∴AC1 (BC2) = 5 – 2 = 3， BC1 (AC2) = 5 – 1 = 4. O 1 2 3 x 1 2 3 y 4 5 4 5 C1 C2 如图，过点 A 向直线 y = 5 和直线 x = 5 作垂线，垂足为 C1，C2. 【教材P62-63】 两点之间的距离公式 一般地，如图，对于坐标平面上任意两点 A(x1，y1) 和 B(x2，y2)，如何计算 A，B 两点之间的距离 |AB|？ 问题3 B(x2，y2) A(x1，y1) O x y A' B' A'' B'' C |CB| = A'B' = |CA| = A''B'' = |AB|2 = |CB|2 + |CA|2 = ∵ ∴ |AB| = ∴ |x2 – x1| |y2 – y1| (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 【教材P62-63】 课堂小结 勾股定理 应用 寻找直角，直接求边长 利用勾股定理构造方程 两点之间的距离公式 $