第四章 因式分解提高训练试卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 初中数学因式分解单元复习卷，含选择、填空、解答题，全面考查因式分解概念、方法及应用，突出抽象能力与运算能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|17题|因式分解概念（第1题）、公式法（第2、8题）、公因式（第13题）|结合“完美数”新定义（第5题），考查数学抽象| |填空题|6题|简便计算（第18题）、开放型分解（第19题）|体现运算能力，设置开放题培养创新意识| |解答题|10题|分组分解（27题）、换元法（30题）、实际应用（28题）|综合考查推理能力，结合长方形面积情境（第4、28题），适配单元复习目标|

第四章 因式分解提高训练试卷 一、选择题： 1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(　　) A．(x＋2)(x－3)＝x2－x－6 B．6x2y3＝2x2·3y3 C．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 D．x2－9＝(x－3)(x＋3) 2．若x2＋mx＋4能用完全平方公式分解因式，则m的值是(　　) A．4 B．－4 C．±2 D．±4 3．李老师布置了5道因式分解的题，小红同学的答案如下，你认为她做对的题的序号是(　　) ①1＋4x2＝(1＋2x)2；②6xyz－8xy2＝2xyz(3－4y)；③4x＋2y－6z＝2(2x＋y－3z)；④a2－2ab＋b2＝(a－b)2；⑤x2y－4y＝y(x2－4)． A．①② B．③④ C．④⑤ D．②③④⑤ 4．如图，边长为2m＋3的正方形纸片剪出一个边长为m＋3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为(　　) A．2m＋6 B．3m＋6 C．2m2＋9m＋6 D．2m2＋9m＋9 5．若一个正整数能表示成另两个正整数的平方差，即x＝a2－b2(其中a、b、x为正整数)，则称这个正整数为完美数．下列各数中不是完美数的是(　　) A．2 022 B．2 021 C．2 020 D．2 019 6．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．9－a2＝(3＋a)(3－a) B．x2－2x＝x(x－1)-x C．x＋2＝x(1＋ ) D．y(y－2)＝y2－2y 7．下列各式中，能用公式法分解因式的是（　　） A． B． C． D． 8．下列多项式中，能因式分解得到（x+y）(x﹣y)的是（　　） A．x2+y2 B．x2﹣y2 C．﹣x2﹣y2 D．-x2+y2 9．对于等式12xy2＝3xy•4y有下列两种说法：①从左向右是因式分解；②从右向左是整式乘法，关于这两种说法正确的是（　　） A．①、②均正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①、②均不正确 10． 有一个因式是 ，则另一个因式为（　　） A． B． C． D． 11．下列因式分解错误的是（　　） A． B． C． D． 12．甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业.为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的长应该是（　　）米. A．a+b B．b+c C．a+c D．a+b+c 13．多项式5mx3+25mx2﹣10mxy各项的公因式是（　　） A．5mx2 B．5mxy C．mx D．5mx 14．下列各式中，能用公式法分解因式的是（　　） A． B． C． D． 15．下面从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 16．多项式m2﹣4与多项式m2﹣4m+4的公因式是（　　） A．m﹣2 B．m+2 C．m+4 D．m﹣4 17．下列多项式中，既能用提取公因式又能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题： 18．计算：2 021×512－2 021×492的结果是________． 19．在完成因式分解的练习时，小明不小心将一道题4x3 弄上了污渍，他只记得将这个多项式因式分解时应先提公因式，再用平方差公式分解，请你帮小明想一想，老师布置的原题可能是________，因式分解的结果是__________．(填一个合适的即可) 20．若，，则代数式的值为　 　． 21．将多项式提公因式3xy后，另一个因式为　 　． 22．若，，则多项式的值是　 　． 23．因式分解：b2﹣4b+4＝　 　． 24．分解因式；x2﹣16x＝　 　. 三、解答题 25．分解因式. （1） ； （2） ； （3） （4） 26．因式分解： （1）a2－9； （2）2x2－12x＋18 27．把下列各式因式分解： (1)x3＋2x2y－9x－18y；　　　　　　　　(2)(a2－2ab＋b2)＋(－2a＋2b)＋1. 28．若一个长方形的周长为20，其长为a，宽为b，且满足a2－2ab＋b2－4a＋4b＋4＝0，求a，b的值． 29.如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． (1)求整式M、P； (2)将整式P因式分解． 30．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新字母代替(即换元)，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法分解因式(x2－4x＋1)(x2－4x＋2)－12. 解：设x2－4x＝y， 原式＝(y＋1)(y＋2)－12 ＝y2＋3y－10 ＝(y＋5)(y－2) ＝(x2－4x＋5)(x2－4x－2)． (1)请你用换元法对多项式(x2－3x＋2)(x2－3x－5)－8进行因式分解； (2)凭你的数感，大胆尝试解方程：(x2－2x＋1)(x2－2x－3)＝0. 31．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____（填序号）． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？　 　．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果　 　． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 32．数257－512能被120整除吗?请说明理由. 33．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m=（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n=﹣7，m=﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 34．已知a、b、c是的三边，且满足，试判断的形状.阅读下面解题过程： 解：由得： ① ② 即③ ∴为. ④ （1）试问：以上解题过程是否正确： （2）若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）　 　 （3）本题的结论应为　 　. 答案 一、1．D　2．D　　3．B 4．B 5．A　点拨：设k为正整数， ∵(k＋1)2－k2＝(k＋1＋k)(k＋1－k)＝2k＋1， ∴除1以外，所有的奇数都是完美数， ∴B，D选项都是完美数，不符合题意； ∵(k＋1)2－(k－1)2＝(k＋1＋k－1)(k＋1－k＋1)＝4k， ∴除4以外，所有能被4整除的偶数都是完美数， ∴C选项是完美数，不符合题意， ∴2 022不是完美数，符合题意．故选A. 6．【答案】A 【解析】A、从左到右的变形是因式分解，故符合题意； B、右边不是整式积的形式，不符合因式分解的概念，故不符合题意； C、右边不是整式积的形式，不符合因式分解的概念，故不符合题意； D、从左到右是整式乘法的形式，故不符合题意． 故答案为：A． 7．【答案】D 【解析】解：A、，只能提公因式分解因式，不符合题意； B、有三项，并且有两项是平方项，但是最后的平方项符号是负的，不符合完全平方公式，不符合题意； C、不能继续分解因式，不符合题意； D、，能用平方差公式进行因式分解，符合题意． 故答案为：D． 8．【答案】B 【解析】解：A、x2+y2，无法分解因式，故此选项不符合题意； B、x2-y2=（x+y）（x-y），符合题意； C、-x2-y2，无法分解因式，故此选项不符合题意； D、-x2+y2=-（x+y）（x-y），故此选项不符合题意； 故答案为：B． 9．【答案】C 【解析】解：①∵左边12xy2不是多项式， ∴从左向右不是因式分解，故①不正确；②∵3xy•4y是单项式乘以单项式， ∴从右向左是整式乘法，故②正确； 故答案为：C． 10．【答案】D 【解析】解： ， ∴另一个因式为D． 11．【答案】D 12．【答案】C 【解析】解：原来四块地的总面积是a2＋bc＋ac＋ab＝a(a＋c)＋b(a＋c)＝(a＋c)(a＋b)， 则交换之后的土地长是(a＋c)米. 故答案为：C. 13．【答案】D 【解析】【解答】解：∵5mx3、25mx2和﹣10mxy 的系数为5、25与-10， ∴公约它们的最大数是5； ∵三项的字母部分都含有字母m和x，其中m的最低次数是1，x的最低次数是1， ∴多项式5mx3+25mx2﹣10mxy各项的公因式是5mx. 故答案为：D. 【分析】利用公因式的确定方法解答，这三项的系数5、25与-10，公约它们的最大数是5；三项的字母部分都含有字母m和x，其中m的最低次数是1，x的最低次数是1，因此公因式为5mx. 14．【答案】D 【解析】【解答】解：A、，只能提公因式分解因式，不符合题意； B、有三项，并且有两项是平方项，但是最后的平方项符号是负的，不符合完全平方公式，不符合题意； C、不能继续分解因式，不符合题意； D、，能用平方差公式进行因式分解，符合题意． 故答案为：D． 【分析】利用完全平方公式和平方差公式逐项判断即可。 15．【答案】D 【解析】【解答】解：A、不是把一个多项式转化几个整式的积的形式，故答案为：错误； B、不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故答案为：错误； C、不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故答案为：错误； D、 ，符合定义且分解正确，故答案为：正确； 故答案为：D. 【分析】根据因式分解是“把一个多项式化为为几个整式积的形式”进行判断即可. 16．【答案】A 【解析】【解答】解： ， ， 与多项式 的公因式是 ， 故答案为：A． 【分析】利用平方差公式和完全平方公式，再结合公因式的定义求解即可。 17．【答案】C 【解析】【解答】解：A.，不能因式分解，故该选项不符合题意； B.，只用了平方差公式因式分解，故该选项不符合题意； C.，故该选项符合题意； D. ，能用提公因式的方法因式分解，故该选项不符合题意． 故答案为：C． 【分析】根据提公因式及公式法逐项分解，再判断即可. 二、18．404 200　19．4x3－9x(答案不唯一)；x(2x＋3)(2x－3) 20．【答案】 【解析】解：. 故答案为： 21．【答案】 【解析】解：∵， ∴提公因式3xy后，另一个因式为：， 故答案为：. 22．【答案】 23．【答案】(b-2)2 【解析】【解答】解： b2﹣4b+4 ＝b2﹣2×2b+22 =(b-2)2， 故答案为：(b-2)2. 【分析】完全平方公式是a2±2ab+b2=(a±b)2，根据公式进行因式分解即可. 24．【答案】x（x﹣16） 【解析】【解答】解：原式＝x（x﹣16）. 故答案为：x（x﹣16）. 【分析】直接提取公因式x，进而分解因式得出答案. 三、 25．【答案】（1）解： . （2）解： = . （3）解： = . （4）解： = = . 26．【答案】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【解析】【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因式2，再利用完全平方公式因式分解即可。 27．解：(1)　x3＋2x2y－9x－18y ＝x2(x＋2y)－9(x＋2y) ＝(x＋2y)(x2－9) ＝(x＋2y)(x＋3)(x－3)； (2)　(a2－2ab＋b2)＋(－2a＋2b)＋1 ＝(a－b)2－2(a－b)＋1 ＝(a－b－1)2. 28．解：∵长方形的周长为20，其长为a，宽为b， ∴a＋b＝20÷2＝10， ∵a2－2ab＋b2－4a＋4b＋4＝0， ∴(a－b)2－4(a－b)＋4＝0， ∴(a－b－2)2＝0， ∴a－b－2＝0， 由此得方程组解得：a＝6，b＝4. 29．解：(1)根据题意得： M＝(3x2－4x－20)－3x(x－3) ＝3x2－4x－20－3x2＋9x ＝5x－20； P＝3x2－4x－20＋(x＋2)2 ＝3x2－4x－20＋x2＋4x＋4 ＝4x2－16； (2)P＝4x2－16 ＝4(x2－4) ＝4(x＋2)(x－2)． 30．解：(1)设x2－3x＝y， 原式＝(y＋2)(y－5)－8 ＝y2－3y－18 ＝(y－6)(y＋3) ＝(x2－3x－6)(x2－3x＋3)； (2)设t＝x2－2x，则(t＋1)(t－3)＝0. 解得t＝－1或t＝3. 当t＝－1时，x2－2x＝－1，即(x－1)2＝0. 解得x1＝x2＝1. 当t＝3时，x2－2x＝3，即(x－3)(x＋1)＝0. 解得x3＝3，x4＝－1. 综上所述，原方程的解为 x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝－1. 31．【答案】（1）C （2）否； （3）解：设， 原式 ． 【解析】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故答案为：C； （2）同学在第四步将用所设中的的代数式代换，得到因式分解的最后结果没有分解到最后， 原式 ； 故答案为：否，． 32．【答案】解：257－512＝514－512＝512（52－1）＝511×5×24＝511×120， 所以257－512是120 的整除倍，即257－512能被120 整除. 【解析】【分析】先提取公因式512，可得512（52－1），整理为511×5×24＝511×120即可. 33．【答案】解：设另一个因式为（x+a），得 2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a） 则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a ∴ 解得：a=4，k=20 故另一个因式为（x+4），k的值为20 【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式． 34．【答案】（1）错误 （2）③ （3）直角三角形或等腰三角形 【解析】【解答】解：错误，理由是： 等式两边同除以a2-b2时，必须a2-b2≠0，但这里不能确定a2-b2≠0， 由得： ① ②， 当a2-b2=0时，等式成立， ∵a>0，b>0， ∴a=b； 当a2-b2≠0时，； ∴或a=b ③， ∴为等腰三角形或直角三角形. ④ 故答案为：错误，③，直角三角形或等腰三角形. 【分析】由于②到③时等式两边都除以了a2-b2，如果a2-b2=0，根据等式的性质可知，此时③不一定成立，因此要分a2-b2=0和a2-b2≠0两种情况讨论. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $