第章 因式分解 测试卷 2025～2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 本单元卷聚焦因式分解核心知识，通过基础辨析、情境应用及探究拓展，全面考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配初中数学因式分解单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|因式分解概念（第1题）、方法辨析（第3题）|结合密码编译情境（第6题），考查应用意识| |填空题|6/24|开放型多项式（第11题）、几何拼图（第14题）|引入“和谐数”新定义（第15题），发展创新意识| |解答题|5/56|简便计算（第18题）、配方法探究（第22题）|跨模块结合几何与代数（第21题剪拼），培养推理能力|

第四章因式分解测试卷 满分:120分 时间：90分钟 题序 一 二 三 评卷人 总分 得分 一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是符合题意的) 1. 对于①x²-5xy=x(x-5y);②(x+4)(x-2)=x²+2x-8,从左到右的变形表述正确的是 ( ) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解 2.下列多项式能因式分解的是 ( ) A. B. C. D.2m-n 3.下列因式分解正确的是 ( ) A. B. C. D. 4.将下列多项式分解因式，结果中不含因式x+1的是 ( ) A. B. C. x(x-2)+(x-2) D. 5.若要使代数式 能进行因式分解，则单项式A 可以为( ) A.2xy B.-2xy C. D.4xy 6.小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x-1，a-b,2,x²+1,a,x+1分别对应六个汉字数，爱，我，化，物，学.现将2a· 因式分解，结果呈现的密码信息可能是 ( ) A.我爱化 B.爱物化 C.我爱数学 D.物化数学 7.对于任意整数n， 都能 ( ) A.被3整除 B.被4整除 C.被5整除 D.被6整除 8.如图，邻边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则 的值为 ( ) A.70 B.140 C.256 D.490 9. 已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足 则△ABC是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 学科网（北京）股份有限公司 10.有 4张长为a，宽为b的长方形纸片，按如图所示的方式拼成一个边长为(a+b)的大正方形，涂上阴影设计成中心对称图形，设图中大正方形的面积为 空白部分的面积为 S₂.若 则a,b满足( ) A. a=2b B. a=3b C.2a=3b D.2a=5b 二、填空题(共6小题，每小题4分，共24分) 11. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x-2)，请你写出一个符合条件的多项式： . 12.分解因式： 13. 若a+b=1,则 14. 如图，六块纸板拼成一张大长方形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的长方形(a>b).观察图形，发现多项式 可因式分解为 . 15. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”.例如：因为 所以 8是“和谐数”.在不超过 200的正整数中，“和谐数”的个数为 . 16. 甲、乙两人在对 进行因式分解时，甲看错了a，得到的结果为 乙看错了b，得到的结果为(x+1)(x+9),则 因式分解的正确结果为 . 三、解答题(共56分) 17.(8分)把下列各式因式分解： 学科网（北京）股份有限公司 18.(10分)利用简便方法计算： (1)23×2.718+59×2.718+18×2.718. 学科网（北京）股份有限公司 19. (8分) 发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 验证 如 为偶数.请把 10的一半表示为两个正整数的平方和. 探究 设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确. 20.(10分)阅读理解: 若x满足(30-x)(x-10)=-160,求 的值. 解：设30-x=a,x-10=b,则(30-x)(x-10)=ab=-160, 解决问题： (1)若x满足(50-x)(x-40)=2,则 (2)若x满足( 求 的值. (3)如图,在长方形ABCD 中,AB=10,BC=6,点E,F分别是BC,CD上的点，且BE=DF=x,分别以FC，CE 为边在长方形ABCD 外部作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为40，则图中阴影部分的面积和为 . 21.(10分)小明从一张边长为 a cm的正方形纸板上剪掉一个边长为 b cm的正方形(如图1)，然后将剩余部分沿虚线剪开并重新拼成一个长方形(如图2). (1)剪拼过程揭示的因式分解的等式是 (2)若 求 4y-3x的值. (3)利用因式分解计算： 学科网（北京）股份有限公司 22.(10分)阅读材料 形如 的式子叫作完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法.配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用. (一)用配方法因式分解 解：原式 =(a+3-1)(a+3+1)=(a+2)(a+4). (二)用配方法求代数式 的最小值. 解：原式 的最小值为-1. 解决问题 (1)若代数式 是完全平方式，则常数k的值为 . (2)因式分解： (3)用配方法求代数式 的最小值. 拓展应用 (4)若实数a,b满足 则a+b的最小值为 . 第四章测试卷答案 1. C 2. A 3. A 4 . B 5.D 6. C ∵2a(x²-1)-2b(x²-1)=(2a-2b)(x²-1)=2(a-b)·(x-1)(x+1),2,a-b,x-1,x+1分别对应四个汉字我,爱，数，学， ∴结果呈现的密码信息可能是我爱数学.故选 C. 7. B∵(2n-1)²-25=(2n-1)²-5²=(2n-1-5)(2n-1+5)=(2n-6)(2n+4)=4(n-3)(n+2), ∴对于任意整数n，( 都能被4整除.故选 B. 8. D 根据题意得 490.故选 D. ∴a-b=0或 ∴a=b或 故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形.故选 D. 10. A 由题图可知 故选 A. 11.答案 (答案不唯一) 12.答案 13.答案 -1 解析 · a-b+2b-2=a+b-2=1-2=-1. 14.答案 (a+b)(a+2b) 解析 由题图知，大长方形纸板的长为a+2b，宽为a+b，∴大长方形纸板的面积为(a+b)(a+2b)，由题图知大长方形纸板的面积也可以表示为 15.答案 25 解析 ∵200=100×2=(51+49)×(51-49)=51²-49²,∴在不超过200的正整数中，所有的“和谐数”为 共有25个. 16.答案 (x+2)(x+8) 解析 17.解析 (1)原式 (2)原式 (3)原式 (4)原式=(x+5x-4)(x-5x+4) =(6x-4)(-4x+4)=-8(3x-2)(x-1). 18.解析 (1)原式=(23+59+18)×2.718=100×2.718=271.8. (2)原式 19.解析 验证 探究 ∵m，n为正整数 是整数， 一定是偶数， 该偶数的一半为 故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 20. 解析 (1)设50-x=a,x-40=b,则 =100-4=96. (2)设x-2 021=a,x-2 018=b, ( (3)由题意得CE=6-x,CF=10-x,(6-x)(10-x)= 40,∴图中阴影部分的面积 21.解析 (1)由题意得 (3)原式 22.解析(1)∵代数式 是完全平方式， ∴k=25.故答案为25. (a-6-2)=(a-4)(a-8). 故答案为(a-4)(a-8). 的最小值为4. 的最小值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $