6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量数乘运算的坐标表示及向量共线的坐标表示，通过复习向量加减坐标运算、向量坐标求法、共线定理，以问题链搭建学习支架，衔接前后知识，引导学生自然过渡到新知探究。 其亮点在于以教材导学自主建构数乘坐标公式，拓展探究推导定比分点和重心坐标，培养数学眼光；例题从基础共线判断到综合动点求解，如已知向量共线求参数、直线上动点坐标问题，发展数学思维；小结提炼代数化运算及工具作用，用数学语言表达几何关系。学生能深化知识理解，教师可获得系统教学资源，提升教学效率。

第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 复习引入 1.平面向量加、减运算的坐标表示是什么? 2.已知A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), 则向量的坐标是什么? 3.向量共线定理是什么? 4.我们前面学了向量加法、减法, 之后学了向量的数乘, 那向量数乘的坐标表示又是什么样子的呢? 向量共线问题, 又用坐标如何表示呢? 2 1.平面向量加、减运算的坐标表示是什么? 已知=(x₁, y₁),=(x₂, y₂), 则＋ =(x₁+x₂, y₁+y₂), =(x₁-x₂, y₁-y₂) 3 2.已知A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), 则向量的坐标是什么? 已知A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), 则向量=(x₂-x₁, y₂-y₁). y x O 4 3.向量共线定理是什么? 向量(≠0)与共线的充要条件是: 存在唯一一个实数λ, 使=λ . 5 4.我们前面学了向量加法、减法, 之后学了向量的数乘, 那向量数乘的坐标表示又是什么样子的呢? 向量共线问题, 又用坐标如何表示呢? 请同学们阅读教材. 6 教材导学 阅读教材： 1.平面向量数乘运算的坐标表示是什么? 2.向量共线的坐标表示是什么? 1.平面向量数乘运算的坐标表示是什么? 若=(x, y), λ∈R, 则λ=(λx, λy). 2.向量共线的坐标表示是什么? 已知=(x₁, y₁), =(x₂, y₂), 向量, 共线的充要条件是 x₁y₂-x₂y₁=0. 即∥ (≠0)⇔ =λ ⇔x₁y₂-x₂y₁=0. 9 拓展探究 1. 线段P₁P₂的端点P₁,P₂的坐标分别是(x₁, y₁), (x₂, y₂), 点P是直线P₁P₂上的一点. 当=λ 时, 点P的坐标是什么? =λ ⇒ =λ(- ) ⇒ = , 则P(, ). y x O 2. △ABC的重心G的坐标是什么? 若△ABC的三个顶点坐标分别为A(x₁, y₁), B(x₂, y₁), C(x₃, y₃), 则= , 即G(, ) 11 3. 已知A（1，1），B（2，2），C（3，3），D（x，y），且=,则点D的坐标是多少? 解：由题知，=（2-1，2-1）=（1，1）， 则 =（x-3，y-3）=（1，1）， x-3=1，且y-3=1，解得x=4，且y=4. D的坐标是D（4，4）. 12 例1 已知向量=(x,1), =(4, x), 且与共线, 方向相同, 则x=___ . 【解析】 =(x,1), =(4, x), 且与共线, 则x²-4=0, 即x=±2. 又因与方向相同, 则x=2. 巩固应用 2 -5 例2 已知向量=(x-1,2), =(3, x+4). 若∥ , 且方向相反, 则x=___. 【解析】向量=(x-1,2), =(3, x+4). 若∥ , 则(x-1)(x+4)-6=0, 解得x=-5或x=2. 又因与方向相反, 则x=-5. 14 例3 已知向量=(1,1), =(0,1), 若= +λ与 =-(2-3)共线, 则实数λ=___. - 【解析】 =(1, 1+λ), =(-2,1), 又= +λ与=-(2-3)=-2( - )=共线, 则λ= - . 15 例4 已知向量=(1,1), 点A(3,0), 点B为直线y=2x上的 一个动点, 若AB∥ , 则点B的坐标为 . 解：由点B为直线y=2x上的一个动点, 可设B(x,2x), 则=(x-3,2x), 又因=(1,1), 则x-3=2x, x=-3. 即B(-3,-6). (-3,-6) 16 例5 [多选]已知向量=(1, 0), =(0, 1), 对坐标平面内的任一向量, 下列说法错误的是( ). A. 存在唯一的一对实数x, y, 使得=(x, y) B. 若x₁, x₂, y₁, y₂∈R, =(x₁, y₁)≠(x₂, y₂), 则x₁≠x₂, 且y₁≠y₂ C. 若x, y∈R, =(x, y), 且≠ ,, 则的起点是原点O D. 若x, y∈R, ≠ , 且的终点坐标是(x, y), 则=(x, y) BCD 【解析】选BCD 由平面向量基本定理, 可知A正确; 例如, =(1, 0)≠(1, 3), 但1=1, 故B错误; 因为向量可以平移, 所以=(x, y)与的起点是不是原点无关, 故C错误; 当的终点坐标是(x, y)时, =(x, y)是以的始点是原点为前提的, 故D错误. 故选B、C、D. 17 例6 在△ABC中, 已知点A(5, -1), B(-1, 7), C(1, 2), 设∠BAC的平分线交BC边于点D, 求点D的坐标. 【解析】由已知得, |AB|==10, |AC|= 5, 由角平分线定理, 得 = 2. 又点D在线段BC上, 则= 2, 即 =2(- ), 则=(+2)=(, ), 点D(, ). B A C D 18 小结 1.用坐标表示平面向量数乘, 使得向量的线性运算代数化. 2. 线段的定比分点的坐标化. 3. 利用向量坐标化, 解决两向量共线问题, 判断三点共线, 直线平行问题, 体现了向量的工具作用. 4.向量的坐标运算是一种代数运算, 其加、减及数乘的实质是同名坐标之间的运算. 作业 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 $