6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量数量积的坐标表示，课堂导入通过6个问题链复习数乘运算、共线坐标表示、数量积定义与性质，引导学生推导数量积坐标公式，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和逻辑推导培养数学思维，通过教材导学和拓展探究引导学生用数学眼光抽象坐标表示，如用向量证明两角差余弦公式体现数学语言表达。例题涵盖模、垂直、夹角等应用，小结归纳三种运算方法，帮助学生提升运算与推理能力，为教师提供系统教学资源。

第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 复习引入 1.平面向量数乘运算的坐标表示是什么? 2. 向量共线的坐标表示是什么? 3. 平面向量的数量积(内积)的定义： 4. 数量积的运算性质有哪些？ 5. 设,分别为与x轴，y轴同向的单位向量，向量=(,)，(),则= ，,据数量积的运算性质， 的结果如何？ 6. 向量的数量积可以用坐标表示，从而向量的模和夹角，向量垂直等也可以用坐标表示，具体有哪些结论？ 2 1.平面向量数乘运算的坐标表示是什么? 若=(x, y), λ∈R, 则λ=(λx, λy). 2.向量共线的坐标表示是什么? 已知=(x₁, y₁), =(x₂, y₂), 向量, 共线的充要条件是 x₁y₂-x₂y₁=0. 即∥ (≠0)⇔ =λ ⇔x₁y₂-x₂y₁=0. 4 3. 平面向量的数量积(内积)的定义： 对于非零向量与 ,设它们的夹角为θ, 则把数量叫做向量与的数量积， 即 . 5 4. 向量的数量积有哪些主要的运算性质？ （， ） ≤ 链接新课 0 = (λ) ‧ =λ( )=(λ ) ,λR (+ )‧= ‧ + ‧ . 6 ()‧() + + + + 5. 设,分别为与x轴，y轴同向的单位向量，向量=(,)，(),则= ，,据数量积的运算性质， 的结果如何？ 7 6. 向量的数量积可以用坐标表示，从而向量的模和夹角，向量垂直等也可以用坐标表示，具体有哪些结论？ 请同学们阅读教材. 8 教材导学 阅读教材： 1.平面向量数量积的坐标表示是什么？ 2. 向量模的坐标表示是什么？ 3. 若A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，则向量的模的坐标表示是什么？ 4. 两非零向量= (x₁, y₁)， = (x₂, y₂)，则与垂直的坐标表示是什么？ 5. 两非零向量= (x₁, y₁)， = (x₂, y₂)，则与夹角的余弦值的坐标表示是什么？ 6.用向量方法证明两角差余弦公式的基本要点是什么？ 1.平面向量数量积的坐标表示是什么？ 若 = (x₁, y₁)， = (x₂, y₂)， 则· = x₁x₂ + y₁y₂. 10 2. 向量模的坐标表示是什么？ 已知 = (x, y)， 则| | = = = . 求模长， 先平方，再开方. 11 3. 若A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，则向量的模的坐标表示是什么？ | | = . 两点间的距离公式 12 4. 两非零向量= (x₁, y₁)， = (x₂, y₂)，则与垂直的坐标表示是什么？ ⊥ ⇔ · = 0 ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0. 向量垂直的充要条件 13 5. 两非零向量= (x₁, y₁)， = (x₂, y₂)，则与夹角的余弦值的坐标表示是什么？ cos⟨ , ⟩ = = . 向量的夹角坐标公式 14 6.用向量方法证明两角差余弦公式的基本要点是什么？ 证明：如图, 在平面直角坐标系Oxy内作单位圆O, 以x轴的非负半轴为始边作角α, β, 它们的终边与单位圆O交点分别为A, B, 则 由 要点1 ∠AOB=θ， 要点2 要点3 ==1， 15 拓展探究 1.设向量，则与同向的单位向量的坐标是什么？ 2.设向量， 若⊥ ，且= ，则向量的坐标是什么？ 3.设=(,)，(),则向量在向量上的投影向量用坐标如何表示？ 4.设a,b,c,d∈R,如何用向量方法证明柯西不等式：? 1.设向量，则与同向的单位向量的坐标是什么？ (,) 17 2.设向量， 若⊥ ，且= ，则向量的坐标是什么？ =(-y , x)或=(y , -x). 18 3.设=(,)，(),则向量在向量上的投影向量用坐标如何表示？ ( , ) 19 4.设a,b,c,d∈R,如何用向量方法证明柯西不等式：? 解：设 =(,)，= ()， 由向量数量积的性质可知， = ∵ = ， = ，= 20 例1 已知向量=(cosθ,sin θ), (,0),则∣2 -∣的最大值为________. 巩固应用 2+ 解: ∵2 - = (2cosθ - , 2sinθ)， |2 - | = 当且仅当cosθ = -1时，|2 - |取最大值2 +. 例2 已知A(2,1)，B(3,2),C(-1,4),则△ABC是（ ）三角形. A.锐角 B.直角 C.钝角 D.任意 B 【解析】 ∵ , , cosA= = = 0，则A= ， 故选B. 22 例3 若=(x,2), (-3,5),且与的夹角是钝角，则 实数x的取值范围是_________. (,+∞） 【解析】x应满足(x,2)·(-3,5) < 0且与不共线， 得x > ，且x ≠ - ，∴x > ，故选C. 23 例4 (多选）已知向量= (3,-4), = (5-m,-3-m), 若∠ABC为锐角，则m可能取（ ）. A.- B.0 C. D.2 BD 【解析】由题得， = = (-3,-1)， = = (-1-m,-m). 若∠ABC为锐角，则· > 0且,不共线， 即-3(-1-m)+m > 0，且-3(-m) ≠ -(-1-m)， 解得m > - 且m ≠ .故选：BD. 24 小结 1. 用坐标表示平面向量数量积，向量模长，两非零向量夹角余弦值，向量垂直，使得向量的运算代数化. 2. 利用坐标表示平面向量共线、垂直的条件，体现了向量的工具作用. 3.用坐标进行向量的数量积运算，回避了求模长和夹角，使运算更简单. 4.向量的三种运算方 法：（1）几何（2）字符（3）坐标. 作业 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 $