第10讲 双曲线定点定值定直线问题讲义-2026届高考数学二轮复习双曲线专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦双曲线定点、定值、定直线三大高考核心考点，按知识要点（含定义、公式、结论、通法）与题型归纳（分三类，配例题变式）的逻辑架构展开，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生系统构建解题框架，突破圆锥曲线难点。 讲义突出结论性知识与通法结合的创新教学，如“四大定点秒杀结论”“八大定值模型”培养学生模型观念，“联立韦达通法”强化推理能力。设置分层练习与易错点警示，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第10讲 双曲线定点，定值，定直线 目 录 知识要点 1 题型归纳 6 题型01：定点问题 6 题型02：定值问题 14 （一） 斜率为定值 14 （二） 斜率积为定值 16 （三） 斜率商为定值 21 （四） 斜率和差定值 25 （五） 长度距离为定值 28 （六） 面积定值 31 （七） 向量定值 34 （八） 其它定值 36 题型03：定直线问题 39 知识点一：定点问题 （一）题型核心定义 核心特征：一条动直线与双曲线相交于两点，在斜率和、斜率积、垂直、向量定值等固定条件下，直线始终经过平面内某固定不变的定点。 区别于椭圆：双曲线存在渐近线限制、单支/双支相交、斜率取值限制三大特有易错点。 （二）双曲线基础必备公式 1. 标准方程 2. 核心配套公式 （1）渐近线方程：y=±(b/a)x（焦点在x轴） （2）恒成立关系：c²=a²+b² （3）左右顶点坐标：(±a,0) （三) 四大经典高频定点秒杀结论（必背） 结论1：顶点垂直定点（最高频） 双曲线 ，A、B为双曲线左右顶点，若双曲线上动点P满足PA⊥PB，则直线AB恒过定点：((a²+b²)/a ，0) 结论2：原点垂直定点 O为坐标原点，双曲线上两点A、B满足OA⊥OB，则直线AB恒过定点：( ±a²b²/(b²−a²) ，0 ) 结论3：斜率和定值模型 动直线交双曲线于A、B两点，若定点P与A、B连线斜率和为定值（kPA+kPB=λ），则直线AB恒过x轴上一定点。 结论4：斜率积定值模型 动直线交双曲线于A、B两点，若定点P与A、B连线斜率积为定值（·=m），则直线AB恒过坐标轴定点（高考大题核心考法）。 (4) 通用解题通法（高考标准答题步骤） 方法一：联立韦达万能通法（大题唯一标准写法） 1. 设直线：统一设横截式 x=my+t（避免讨论斜率不存在） 2. 设点：A(,)、B(,) 3. 联立直线与双曲线方程，消去x得到关于y的一元二次方程 4. 写出韦达定理：+ 、 5. 根据题干垂直、斜率、向量条件代入化简 6. 消去参数m，证明t为常数，得到定点坐标 方法二：特殊值找点法（选填秒杀、大题验算） 1. 取两条特殊直线（垂直x轴、特殊斜率） 2. 分别求出两条直线方程 3. 两直线交点即为定点 (5) 双曲线定点专属易错重难点 1. 直线不能与渐近线平行，否则只有一个交点，无法构成弦。 2. 联立后二次项系数不能为0，大题必须写定义域限制。 3. 区分：单支相交、双支相交，定点、范围完全不同。 4. 焦点在y轴题型：所有结论直接互换a、b即可。 (6) 高频二级推论（压轴拓展） 1. 过双曲线焦点的动弦满足垂直条件，直线恒过同侧定点。 2. 双曲线切点弦必过对称轴上定点。 3. 定点引出两条动弦，斜率成定值比例，则端点连线恒过定点。 (7) 必考题型分类 1. 垂直类定点（PA⊥PB、OA⊥OB） 2. 斜率和、斜率积定值定点（高频大题） 3. 向量数量积定值定点 4. 切点弦恒过定点 5. 定弦长、定角度衍生定点 知识点二：定值问题 所有定值本质：参数全部抵消，结果与直线斜率、截距无关，恒为常数。 核心知识点 （一）定值三大体系（高考全覆盖） 1. 定点类：动直线恒过固定点 2. 定值类：斜率积、斜率和、面积、弦长、倒数和、向量、比值恒为常数 3. 定轨迹类：动点恒在定直线/定圆上 （二）八大必考定值模型（必背秒杀） 模型1：顶点斜率积定值（最基础必考） P在双曲线上，A、B为左右顶点 （绝对定值） 模型2：中心对称斜率积定值 A、B过原点对称，P在双曲线上 （绝对定值） 模型3：焦点弦倒数和超级定值 过焦点F的弦AB + = （高考超高频定值） 模型4：斜率和定值 → 直线过定点 + = 常数 ⇒ AB过x轴定点 模型5：斜率积定值 → 直线过定点 ·= 常数 ⇒ AB过坐标轴定点 模型6：垂直类定点定值 PA⊥PB 或 OA⊥OB→ 直线AB恒过定点、面积同时为定值 模型7：切点弦定点定值 双曲线外一点引两切线切点弦恒过对称轴定点 模型8：定面积定值模型 过原点直线交双曲线两点，动点P在曲线上△PAB面积恒为定值 （三）所有定值通用解题步骤（大题满分模板） 1. 设直线 x=my+t，设点A(x1,y1)、B(x2,y2) 2. 联立方程写出韦达定理 3. 将所求式子（斜率、面积、向量、倒数和）全部转化为韦达结构 4. 化简消去 m、t 所有参数 5. 得出：结果与参数无关，故为定值 （四）双曲线定值全部题型总结（全覆盖） 1. 斜率和定值 2. 斜率积定值（最核心） 3. 焦点弦倒数和定值 4. 三角形面积定值 5. 弦长定值 6. 向量数量积定值 7. 线段比值定值 8. 定点衍生定值综合题 知识点三：定直线问题 双曲线定直线问题是高中数学圆锥曲线高频压轴考点，核心特征：图形、直线、点随参数变化，但始终固定在某一条定直线上。 解题核心思想：消去动态参数，得到不含参的固定直线方程。 （一） 定直线题型定义 在双曲线动态模型中（动直线、动点、动交点），无论参数如何变化，点的轨迹、直线位置始终固定的直线，统称为双曲线定直线。 常见设问方式： 1. 求证：动点P在某定直线上； 2. 求证：两直线交点恒在定直线上； 3. 求证：弦中点轨迹为定直线； 4. 探究是否存在定直线，使几何恒成立。 （二）定直线问题三大核心解题通法 方法一：联立方程+韦达定理（大题通用首选） 适用场景: 动直线与双曲线交于两点，涉及交点连线、斜率关系、交点定值问题。 标准解题步骤 1. 设直线：优先设 x=ty+n，规避斜率不存在的讨论； 2. 联立方程：直线与双曲线方程联立，整理一元二次方程； 3. 判别式验证：保证直线与双曲线有两个交点； 4. 韦达定理：写出+、 或 +、； 5. 代入条件：根据题目斜率、共线、垂直、定点条件列式； 6. 消参得定直线：消去t、n、k等所有参数，得到固定直线方程。 方法二：点差法（中点、斜率类定直线专属） 适用场景 弦中点轨迹、斜率和/积为定值、对称点定直线问题。利用中点坐标与斜率关系消参，快速求出中点轨迹定直线。 方法三：设点消参法（交点轨迹类难题） 适用场景 双动点交点、复杂几何约束、无固定弦的定直线问题。 解题步骤 1. 设目标动点P(x,y)； 2. 用x、y表示关联直线、关联点坐标； 3. 代入双曲线方程与题干几何条件； 4. 消去中间参数，直接得到x、y的定直线方程。 (3) 解题万能答题模板（大题直接套用） 1. 设动直线/动点坐标； 2. 联立双曲线方程，写出韦达定理； 3. 根据题干几何条件列式； 4. 代入化简、消去所有参数； 5. 整理得到无参数的直线方程，即为定直线； 6. 书写结论，验证特殊情况。 题型01：定点问题 【典型例题1】已知双曲线的离心率为分别为其左、右顶点，点在上.为直线上的动点，与双曲线的另一交点为与双曲线的另一交点为. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，，解得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的左顶点，右顶点， 设直线上的动点， 于是直线的斜率，直线的方程为,与双曲线联立， 消得：， 整理得：， 设交点，则由韦达定理可得：， 即，则， 直线的斜率，直线的方程为， 再与双曲线联立，消得：， 整理得：， 设交点，则由韦达定理可得：， 即，则， 由双曲线的对称性知，若直线过定点，则定点必在轴上， 不妨设这个定点为， 则 因为，所以， 整理得：， ， 当时，可得，则直线过点， 当时，直线与轴重合，直线也过点， 所以直线经过定点. 【典型例题2】已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标. 【解析】（1）设到渐近线，即的距离为， 则，结合得， 又在双曲线上，所以，得，所以双曲线的标准方程为. （2）联立，消去并整理得， 则，，即， 设，，则，， 则 ， 所以， 所以， 所以，整理得， 所以，所以， 因为直线不过，即，，所以，即， 所以直线，即过定点.      【典型例题3】在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. (1)求曲线E方程； (2)若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【详解】（1）由得，又， 所以，故点在曲线E上，所以，解得， 故的方程为. （2）判断：直线AB恒过一个定点； 由图形关系可知点A，B在x轴异侧， 故由可得直线AF，BF的斜率互为相反数 设，    联立，可得 所以 而直线AF，BF的斜率之和为 即 =， 而，故， 所以直线AB过定点. 【典型例题4】已知双曲线的焦距为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 【解析】（1）由题意知，解得，，，双曲线的方程为. （2）证明：设直线的方程为， 联立方程组，消去，得， 则，， 所以直线方程为，令，则， 同理直线方程为，令，则， 由，可得，即， 即， 即，即， 即，即， 即，当时，， 此时直线方程为，恒过定点，不符合题意； 当时，直线方程为，恒过定点符合题意， 综上所述，直线过定点.    【变式训练1-1】已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为 . 【变式训练1-2】双曲线的离心率为，分别是的左，右顶点，是上异于的一动点，直线分别与轴交于点，请写出所有满足条件的定点的坐标 . 【变式训练1-3】已知双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，直线与双曲线交于不同的两点． (1)求的方程； (2)若直线斜率为1，双曲线的左焦点为，点，为线段的中点，若．求直线的方程： (3)已知，，若，在双曲线的右支上，直线过点，直线与直线交于点．证明：直线恒过定点． 【变式训练1-4】已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为，实轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线的左支交于两点，点与点关于轴对称． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 【变式训练1-5】已知双曲线经过两点，其左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于两点. (1)求的方程； (2)若的周长为，求直线的方程； (3)记点，直线与的左支分别交于点，证明：直线过定点. 【变式训练1-6】已知点在离心率为的双曲线上． (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过轴上的定点，并求出该定点坐标． 【变式训练1-7】已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 【变式训练1-8】在平面直角坐标系中，已知点及曲线，过点向右上、左上方作斜率分别为的两条射线，与曲线的交点分别为.当变化时，如果直线的斜率为定值或直线经过定点，那么称是曲线的“优点”. 已知曲线. (1)判断是否为曲线的“优点”； (2)在中任选一个判断是否为曲线的“优点”，并说明理由； (3)给出满足的条件，使得是曲线的“优点”，且__________，并求出对应的定值或定点. ①直线的斜率为定值；②直线经过定点. 请在①②中任选一个填在横线上并作答，不必证明. 【变式训练1-9】已知双曲线：（，）的焦距为，右顶点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设，是轴上的两个动点，以线段为直径的圆过双曲线的焦点，直线，与双曲线的另一个交点分别为，． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 【变式训练1-10】已知双曲线的实轴长为4，且经过点. (1)求的方程； (2)记的右顶点为，点在线段（不含端点）上运动，垂直于轴的直线交于点（在第一象限），点满足，设直线与的另一个交点为. （i）用表示直线的斜率； （ii）证明直线过定点. 【变式训练1-11】已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的直线与双曲线交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线BD过定点. 【变式训练1-12】已知双曲线的左焦点为，C的一条渐近线方程为． (1)求C的标准方程； (2)已知动点，满足． （ⅰ）若的外接圆与C在第一象限内的交点为M，直线BM与x轴交于点N，设的面积为，的面积为，求； （ⅱ）记C的左顶点为A，若直线AB，AD与C的左支的另一交点分别为E，H，证明：直线EH恒过定点． 【变式训练1-13】已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，且过点.设，分别是的左、右顶点，，是的右支上异于点的两点. (1)求的方程； (2)若直线经过的右焦点，且斜率为2，求的面积； (3)设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 【变式训练1-14】已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，． (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为． ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值． 【变式训练1-15】已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 【变式训练1-16】已知双曲线左顶点到其渐近线的距离为 .过右焦点F的直线分别交双曲线的左，右两支及直线 于三点，过N作平行于轴的直线交直线于点G，点G满足 . (1)求的方程； (2)证明：直线MH过定点. 【变式训练1-17】已知双曲线：的一条渐近线为l：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【变式训练1-18】已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标． 【变式训练1-19】已知双曲线的左顶点在直线上，的左焦点为，点.为的右支上一动点. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)过点且斜率为的直线与的左支交于D，E两点，求的面积的最小值； (3)设为的左支上与不重合的一动点，若直线平分，证明：直线MN恒过定点. 【变式训练1-20】已知双曲线过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； (3)若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 【变式训练1-21】已知双曲线，过点作两条互相垂直的直线. (1)求两条直线与双曲线的交点个数，并说明理由； (2)若，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，证明：直线过定点. 【变式训练1-22】已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，，，，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点. (1)求双曲线的方程. (2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式训练1-23】已知双曲线的离心率为，上焦点到其中一条渐近线的距离为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线上支于，两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型02：定值问题 （1） 斜率为定值 【典型例题】在平面内，动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)设斜率为1的直线与曲线交于两点，记线段的中点为为坐标原点，判断直线的斜率是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是，. 【详解】（1）由题可得，，两边平方得， 整理得，故的方程为：. （2） 直线的斜率是否为定值，下证： 设，则，则有，作差得， 等式两边同除，得：， 即，因此， 因此，直线的斜率为定值，定值是. 【变式训练2-1-1】已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为 (1)求双曲线C的方程； (2)证明：直线AB的斜率k为定值； (3)O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程． 【变式训练2-1-2】已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上两点，且，其中为双曲线的右焦点，记直线的斜率为.证明：是定值. 【变式训练2-1-3】已知双曲线的右顶点为，双曲线的左､右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知过点的直线与双曲线右支交于两点，点在线段上，若存在实数且，使得，证明：直线的斜率为定值. （2） 斜率积为定值 【典型例题1】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求的标准方程. (2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线，（斜率都存在），与交于另一点，与交于另一点，证明： （i），的斜率之积为定值； （ii）存在定点，使得关于点对称. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则由题意可知，， 结合得，，， 故的标准方程为. （2）（i）设，如下图所示： 设过点的切线方程为，即， 所以圆心到切线的距离为，即， 因此的斜率是上式中方程的两根，即， 又因为，所以. 所以的斜率之积为定值，且定值为2. （ii）不妨设直线的斜率为，直线的斜率为， 联立，得. 因为， 所以， 则，同理可得， 所以， 因为，所以，所以，得， 又因为，，得或（舍去）， 所以存在定点，使得关于点对称. 【典型例题2】已知双曲线C：的离心率为，且点在双曲线上 (1)求C的方程； (2)设点A为C的左顶点，若过点的直线l与C的右支交于P，Q两点．证明：直线AP和直线AQ的斜率乘积为定值. 【答案】(1)； (2)直线AP和直线AQ的斜率乘积为，证明过程见解析 【详解】（1）由题意得，将代入中得 ，又， 解得，故双曲线方程为； （2）由题意得，显然过点的直线l斜率不为0， 故设直线l的方程为，联立得 ，则，解得， 设，则， ， 则. 【变式训练2-2-1】已知双曲线：的渐近线方程为，且焦距为，过双曲线中心的直线与双曲线交于两点，在双曲线上取一点（异于），直线，的斜率分别为，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2-2】P为椭圆上异于左右顶点，的任意一点，则直线与的斜率之积为定值，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点，的任意一点，则（    ） A．直线与的斜率之和为定值 B．直线与的斜率之积为定值 C．直线与的斜率之和为定值 D．直线与的斜率之积为定值 【变式训练2-2-3】已知直线l：与双曲线C：交于P，Q两点，QH⊥x轴于点H，直线PH与双曲线C的另一个交点为T，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式训练2-2-4】已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右顶点为，过焦点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点，记直线的斜率分别为，的面积分别为. （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围. 【变式训练2-2-52】已知双曲线C：的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为，为坐标原点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是的中点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值； (3)直线与C的右支交于点，（A₁在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与C的右支交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点，，，记的坐标为.证明：共线. 【变式训练2-2-6】已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程. (2)直线与双曲线交于点M，N，其中点M在第二象限. ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，设直线，的斜率分别为，，求. 【变式训练2-2-7】已知双曲线的左､右焦点分别是，，双曲线上一点满足，且点到的一条渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若，是上关于原点对称的两点，且点不与，重合，设直线，的斜率存在且分别为，，求的值. 【变式训练2-2-8】已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上两点，且，其中为双曲线的右焦点，记直线的斜率为.证明：是定值. 【变式训练2-2-9】已知双曲线C：的虚轴长为4，直线为双曲线C的一条渐近线. (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左顶点为A，过点的直线交双曲线C于点M，N（点M在第一象限）. ①当直线的斜率为1时，求； ②记直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值. 【变式训练2-2-10】已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点. (1)求曲线的方程； (2)证明：为定值； (3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值. 【变式训练2-2-11】已知双曲线C：的离心率为，且点在双曲线上 (1)求C的方程； (2)设点A为C的左顶点，若过点的直线l与C的右支交于P，Q两点．证明：直线AP和直线AQ的斜率乘积为定值. 【变式训练2-2-12】已知双曲线C：的虚轴长为4，直线为双曲线C的一条渐近线. (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左顶点为A，过点的直线交双曲线C于点M，N（点M在第一象限）. ①当直线的斜率为1时，求； ②记直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值. 【变式训练2-2-13】已知双曲线：过点，离心率为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值. 【变式训练2-2-14】已知D为双曲线E:的左顶点，点在E上，且E的离心率为2. (1)求双曲线E的方程. (2)过点且斜率为的直线l交E的右支于A，B两点，△ABD的外心为M，O为坐标原点，线段OM所在直线斜率为. ①求证:直线AD和直线BD的斜率之积为定值; ②试探求和的关系，并说明理由. 【变式训练2-2-15】已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线，曲线与轴的交点记为，（点在点的左侧）． (1)求曲线的方程； (2)若直线与圆相切，且与曲线交于，两点（点在轴左侧，点在轴右侧）．记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． （3） 斜率商为定值 【典型例题1】已知双曲线C：的焦距为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线C上任意一点，且的最小值是. (1)求双曲线C的方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为，，直线：与C的右支交于M，N两点. （i）求实数m的取值范围； （ii）若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【答案】(1) (2)（i）（ii）证明见解析 【详解】（1）设， 则， 所以， 因为在双曲线上，所以，所以， 所以， 又因为，所以当时，取得最小值为，所以， 因为，所以，又因为焦距为所以，即， 由，可得，所以双曲线的方程为. （2）（i）设， 由，得：， 由直线与双曲线的右支交于两点，可得． 解得，所以的取值范围是； （ii）双曲线的左右顶点，斜率， 故，代入， 得 由（i）可知，可得 代入，可得 即是定值． 【典型例题2】已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）由虚轴长和渐近线方程求得和的值即可. （2）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值即可得证. 【解析】（1）由双曲线：虚轴长为4，得， 双曲线的渐近线方程为，由直线为双曲线C的一条渐近线，得，则， 所以双曲线C的标准方程为. （2）由（1）知，，， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设， 由消去得， ，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 【变式训练2-3-1】已知双曲线：实轴长为4（在的左侧），双曲线上第一象限内的一点到两渐近线的距离之积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设过的直线与双曲线交于，两点，记直线，的斜率为，，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明. ①为定值；②为定值；③为定值 【变式训练2-3-2】已知双曲线的焦距为，分别为其左、右焦点，为双曲线上任意一点，且的最小值是． (1)求双曲线的方程 (2)记双曲线的左、右顶点分别为，直线与的右支交于两点． （i）求实数的取值范围 （ii）若直线的斜率分别为，证明：是定值． 【变式训练2-3-3】已知双曲线经过点，且离心率为2． (1)求的方程； (2)过的右焦点且斜率不为0的直线与交于两点，设分别为的左、右顶点，且直线的斜率分别为，判断：是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由． 【变式训练2-3-4】已知双曲线的右焦点的坐标为，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【变式训练2-3-5】在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. (1)求动点P的轨迹曲线C的方程； (2)过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. （4） 斜率和差定值 【典型例题1】已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l经过点， ①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程； ②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)①②证明见解析 【详解】（1）由，可得，即， 所以双曲线方程为，代入点， 可得， 所以双曲线方程为. （2）如图， ①由题意，直线斜率存在，设直线l的方程为， 联立，消元可得： ， 由直线与双曲线相切，则， 即，解得, 所以直线l的方程为，即. ②由题意知，， 设，直线l的方程为， 联立双曲线方程，化简可得， ， 由①知， 所以， ， 所以 ， 即为定值. 【典型例题2】已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【解析】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 【变式训练2-4-1】已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 【变式训练2-4-2】已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？ (2)设曲线C为曲线，点是C上位于第一象限的一点，点A，B关于原点O中心对称，点A，D关于y轴对称．延长AD至E，使得，且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线OA斜率为，直线AG斜率为，判断与的关系，并求的取值范围． 【变式训练2-4-3】已知双曲线的左焦点为，过的直线与双曲线的左右两支相交，交点分别记为，过点的直线与双曲线相交于两点. (1)当时，过点，点位于第二象限，直线交于点，且分别与轴相交于点.求证： ①直线斜率之差为定值； ②的面积为定值. (2)当直线运动变化时，与始终保持垂直，且恒为定值，求动点所在曲线的方程. （5） 长度距离为定值 【典型例题】已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 【答案】(1) (2) (3)当为的中点时，，证明见解析 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）圆的圆心，半径为， ∵是圆上的动点，直线与圆相切， ∴，. 设，因为点是双曲线上的动点，，， 当时，取得最小值，且    （3）由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且， 设，则， 直线的方程为， 令，可得，即, 同理可得， 因为为的中点，所以， 即， 则， 可得， 整理得， 所以或， 若，即，则直线方程为，即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 【变式训练2-5-1】已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点. (1)求曲线的方程； (2)证明：为定值； (3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值. 【变式训练2-5-2】已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 【变式训练2-5-3】已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的右顶点为A，过点的直线与双曲线交于两点不在x轴上）.若直线AB和AC分别与直线交于两点，证明：以为直径的圆被x轴截得的弦长为定值. 【变式训练2-5-4】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程. (2)设为双曲线与轴负半轴的交点，直线与双曲线交于异于点的两点.若以为直径的圆经过点且于点，证明：存在定点，使得为定值. （6） 面积定值 【典型例题】已知双曲线的离心率是，虚轴长为2，是坐标原点. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与相切，交一条渐近线于点，求的面积； (3)点为的右支上任意一点，过点的直线与相切，交两条渐近线于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定值为 【详解】（1）由题意知解得 所以的标准方程为. （2）根据题意得，过的直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立消去得， 因为直线与相切，所以且， 解得，所以直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离为. 由（1）得，渐近线方程为，联立解得 所以点的坐标为， 又因为点，所以， 因此的面积为. 同理可得，当渐近线方程为时，的面积为. 综上所述，的面积为. （3）设过点与双曲线相切的直线为， ①当直线的斜率不存在时，直线， 直线与双曲线的两条渐近线的交点坐标为，， 所以的面积为； ②当直线的斜率存在时，不妨设直线，联立 消去得， 因为直线与双曲线相切，所以 解得，， 分别联立直线与双曲线的两条渐近线，即或 解得，， 所以， 原点到直线的距离为， 所以的面积为 综上，的面积为定值，该定值为. 【变式训练2-6-1】已知双曲线经过点，其一条渐近线斜率为．圆，点为第一象限上一点，点是的右顶点，点为上一点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且． (1)求的曲线方程； (2)求证：直线经过定点，并求出点的坐标； (3)设的右焦点为，直线交于点，作点关于轴的对称点，连接，直线与交于点．在的渐近线上是否存在点，使得的面积为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练2-6-2】已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项. (1)求双曲线的标准方程. (2)已知直线与双曲线相切. ①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值； ②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值. 【变式训练2-6-3】已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【变式训练2-6-4】已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 【变式训练2-6-5】已知双曲线的离心率为，直线与双曲线相交于，两点． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若以为直径的圆过双曲线的左顶点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (3)设点是满足（2）的双曲线上的一个动点，过分别作的渐近线的两条垂线，垂足分别为，，判断的面积是否为定值；若是，求出该定值并证明；若不是，请说明理由． 【变式训练2-6-6】已知双曲线过点，其右焦点到渐近线的距离为1，过作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)为双曲线C上一动点，过点分别作两条渐近线的平行线交渐近线于，四边形OEPG的面积是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由； (3)在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在求出定点的坐标，若不存在请说明理由． （七）向量定值 【典型例题】已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线交于两点. ①若直线，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)①；②存在， 【分析】（1）根据题意列出方程组，求解即可； （2）①写出直线的方程，与双曲线方程联立，求出弦长和点到的距离即可；②设，，当直线斜率不为0时，设，与双曲线方程联立，表示并化简得，根据为常数得出时；再验证当直线斜率时也满足即可. 【解析】（1）因为点在双曲线上，得 又因为渐近线方程为，所以， 解得，所以双曲线的方程为. （2）①直线斜率为，故直线的方程为， 代入双曲线得， ， 所以， 又点到的距离为， 故的面积为. ②设，， 当直线斜率不为0时，设，代入双曲线得， ，， 所以 ， 若为常数，则为常数，设为常数，则对任意的实数恒成立，，所以， 所以，此时. 当直线斜率时为，对于 所以，解得或（舍），所以在轴上存在定点，使得为定值. 【变式训练2-7-1】已知点P为双曲线上任意一点，为其左、右焦点，O为坐标原点．过点P向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M、N，则下列所述正确的是（    ） A．为定值 B．O、P、M、N四点一定共圆 C．的最小值为 D．存在点P满足P、M、三点共线时，P、N、三点也共线 【变式训练2-7-2】已知双曲线（，）的焦距为，右顶点为A，直线l与双曲线E相交于P，Q两点，且与E的一条渐近线相交于点． (1)求双曲线E的方程； (2)是否存在直线l，使得与的面积相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由； (3)若直线AP，AQ分别与y轴相交于M，N两点，证明：为定值． （八）其它定值 【典型例题1】已知双曲线，为坐标原点，，为双曲线上两动点，且，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【解析】由题意设直线方程为，直线方程为，设 则，同理， 所以，，即.故选：D 【典型例题2】已知，是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为（ ） A．16 B．12 C．8 D．随变化而变化 【解析】由双曲线方程知，，双曲线的渐近线方程为 直线的倾斜角为，所以，又直线过焦点，如图 所以直线与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，…………(1)， …………(2) 由(1)+(2)得，.故选：A 【典型例题3】已知圆圆与圆均外切. (1)求圆心的轨迹方程. (2)过点的直线与的轨迹交于两点，过原点作直线，点为直线与点的轨迹的交点. ①当的斜率为时，求的值； ②当的斜率不为时，求证：为定值. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【详解】（1）由题意可知，圆的圆心,半径，圆的圆心,半径, 由条件可得，即， 即根据双曲线的定义可知点是以为焦点，以为实轴长的双曲线的上支， 则,可得， 故圆心的轨迹方程为. （2）显然直线的斜率存在. ①当斜率为时，可知直线方程为，代入双曲线方程可解得； 所以,则. ②证明：当的斜率不为0时，设直线的方程为，点如下图： 联立与双曲线的方程得，易知， 则 因为直线与双曲线交于上支两点，所以， 则. 设直线的方程为，联立与双曲线的方程得 ∴可得. 故为定值. 【变式训练2-8-1】数学美的表现形式多种多样，其中美丽的黄金分割线分出的又岂止身材的绝妙配置，我们称（其中）的双曲线为黄金双曲线，若P为黄金双曲线上除实轴端点外任意一点，以原点O为圆心，实轴长为直径作，过P作的两条切线，切点分别为A，B，直线与x，y轴分别交于M，N两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-8-2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，下列结论正确的是（    ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C．存在点，满足 D．点到两渐近线的距离的乘积为 【变式训练2-8-3】已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点设的面积为S，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【变式训练2-8-4】已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（    ） A．的最小值为8 B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6 C．为定值 D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为    【变式训练2-8-5】设P是双曲线右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E、F，则的值为 ． 【变式训练2-8-6】已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练2-8-7】已知双曲线的左焦点为，过的直线与双曲线的左右两支相交，交点分别记为，过点的直线与双曲线相交于两点. (1)当时，过点，点位于第二象限，直线交于点，且分别与轴相交于点.求证： ①直线斜率之差为定值； ②的面积为定值. (2)当直线运动变化时，与始终保持垂直，且恒为定值，求动点所在曲线的方程. 【变式训练2-8-8】已知双曲线的虚轴长为2，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是上的三个不同点. ①若，点在双曲线的同一支上，且是等边三角形，求； ②若（异于原点）是外接圆的圆心，直线的斜率均存在，并分别记为，求的值. 题型03：定直线问题 【典型例题1】已知双曲线的离心率为3，斜率为的直线分别交F的左右两支于A，B两点，直线分别交F的左、右两支于C，D两点，，交于点E，点E恒在直线l上，若直线l的斜率存在，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题得， 设的中点的中点， 则，得， 所以，所以①，同理得②， 因为，则E，M，N三点共线，所以，将①②代入得，即，因为直线l的斜率存在，所以， 所以，即点E在直线上.故选：A. 【典型例题2】在平面直角坐标系中，已知点，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且焦距为，实轴长为， 所以，则， 因此双曲线C的方程为； （2）设，则， 因为点A在x轴上方，且，所以易知直线的斜率存在，且斜率大于零， 因此可设直线的方程为：， 由，得，即， 所以①，②，， 又，所以③ 由①③得，代入②可得，即，解得（负值舍去）， 因此直线的方程为：，即； （3）同（2）设，直线的方程为：， 则； 因为直线m过点A与x轴平行，所以直线的方程为； 又，则直线的方程为， 由，得， 则，所以， 即， 所以， 因此直线的方程为：， 因为点Q是直线l与直线的交点， 由，得，解得， 所以点Q的横坐标是，因此点Q恒在定直线上. 【典型例题3】已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，直线与相交于．求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），，，整理可得：， 又，曲线的方程为：. （2）    由题意知：直线斜率不为，则可设， 设， 则直线，直线， 由得：， 由得：，则，即， ，，， ，解得：， 即点在定直线上. 【变式训练3-1】已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【变式训练3-2】已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且已知双曲线过点，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上（不含端点）． ①若为的中点，的面积为，求直线的斜率； ②直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点恒在定直线上． 【变式训练3-3】已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 【变式训练3-4】已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点､､的坐标分别为，，. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点，是坐标原点. （i）记和的面积分别为，，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，求点的轨迹方程. 【变式训练3-5】已知双曲线：（，）过点，且焦距为10. (1)求的方程： (2)已知点，，为直线AB上一点， （ⅰ）若直线DE与恰有一个公共点，求直线DE的方程； （ⅱ）若在线段AB上，直线DE交于，两点.证明：. 【变式训练3-6】已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【变式训练3-7】已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 【变式训练3-8】已知点分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线于两点，当直线的斜率不存在时，. (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线的右焦点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，若的面积为，求该双曲线的方程； (3)在（2）的条件下，若点分别为双曲线的左､右顶点，直线与直线相交于点，证明：点在一条定直线上. 【变式训练3-9】已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线方程为为双曲线的左、右顶点． (1)求双曲线的方程． (2)过点作动圆（以为圆心）的两条切线分别交双曲线于异于点的，两点，试判断直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由． (3)已知动点满足直线的斜率的乘积的绝对值为2，记动点的轨迹为曲线．过点作直线交曲线分别于和（其中的横坐标的绝对值均大于1），求证：直线与的交点在定直线上． 【变式训练3-10】在平面直角坐标系xOy中，把一个图形绕定点G旋转一个定角的图形变换叫作旋转变换．定点G叫作旋转中心，定角叫作旋转角（规定逆时针方向为正）．如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点．现将曲线绕G顺时针旋转后，得到新曲线E，其变换关系为，点在曲线E上． (1)求曲线E的方程并确定点G的位置； (2)点的坐标为，按照如下方式依次构造点（，3，…）：过点作斜率为2的直线交E于另一点，设是点关于x轴的对称点．记的坐标为． （i）求证：数列为等比数列； （ii）记M为直线与直线的交点，N为直线与直线的交点，R为直线MN与直线的交点，证明：R在定直线上． 【变式训练3-11】从双曲线上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，点分别是双曲线的左、右顶点，点，且，. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线分别交双曲线左右两支于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 双曲线定点，定值，定直线 目 录 知识要点 1 题型归纳 6 题型01：定点问题 6 题型02：定值问题 46 （一） 斜率为定值 46 （二） 斜率积为定值 51 （三） 斜率商为定值 74 （四） 斜率和差定值 82 （五） 长度距离为定值 91 （六） 面积定值 100 （七） 向量定值 110 （八） 其它定值 115 题型03：定直线问题 126 知识点一：定点问题 （一）题型核心定义 核心特征：一条动直线与双曲线相交于两点，在斜率和、斜率积、垂直、向量定值等固定条件下，直线始终经过平面内某固定不变的定点。 区别于椭圆：双曲线存在渐近线限制、单支/双支相交、斜率取值限制三大特有易错点。 （二）双曲线基础必备公式 1. 标准方程 2. 核心配套公式 （1）渐近线方程：y=±(b/a)x（焦点在x轴） （2）恒成立关系：c²=a²+b² （3）左右顶点坐标：(±a,0) （三) 四大经典高频定点秒杀结论（必背） 结论1：顶点垂直定点（最高频） 双曲线 ，A、B为双曲线左右顶点，若双曲线上动点P满足PA⊥PB，则直线AB恒过定点：((a²+b²)/a ，0) 结论2：原点垂直定点 O为坐标原点，双曲线上两点A、B满足OA⊥OB，则直线AB恒过定点：( ±a²b²/(b²−a²) ，0 ) 结论3：斜率和定值模型 动直线交双曲线于A、B两点，若定点P与A、B连线斜率和为定值（kPA+kPB=λ），则直线AB恒过x轴上一定点。 结论4：斜率积定值模型 动直线交双曲线于A、B两点，若定点P与A、B连线斜率积为定值（·=m），则直线AB恒过坐标轴定点（高考大题核心考法）。 (4) 通用解题通法（高考标准答题步骤） 方法一：联立韦达万能通法（大题唯一标准写法） 1. 设直线：统一设横截式 x=my+t（避免讨论斜率不存在） 2. 设点：A(,)、B(,) 3. 联立直线与双曲线方程，消去x得到关于y的一元二次方程 4. 写出韦达定理：+ 、 5. 根据题干垂直、斜率、向量条件代入化简 6. 消去参数m，证明t为常数，得到定点坐标 方法二：特殊值找点法（选填秒杀、大题验算） 1. 取两条特殊直线（垂直x轴、特殊斜率） 2. 分别求出两条直线方程 3. 两直线交点即为定点 (5) 双曲线定点专属易错重难点 1. 直线不能与渐近线平行，否则只有一个交点，无法构成弦。 2. 联立后二次项系数不能为0，大题必须写定义域限制。 3. 区分：单支相交、双支相交，定点、范围完全不同。 4. 焦点在y轴题型：所有结论直接互换a、b即可。 (6) 高频二级推论（压轴拓展） 1. 过双曲线焦点的动弦满足垂直条件，直线恒过同侧定点。 2. 双曲线切点弦必过对称轴上定点。 3. 定点引出两条动弦，斜率成定值比例，则端点连线恒过定点。 (7) 必考题型分类 1. 垂直类定点（PA⊥PB、OA⊥OB） 2. 斜率和、斜率积定值定点（高频大题） 3. 向量数量积定值定点 4. 切点弦恒过定点 5. 定弦长、定角度衍生定点 知识点二：定值问题 所有定值本质：参数全部抵消，结果与直线斜率、截距无关，恒为常数。 核心知识点 （一）定值三大体系（高考全覆盖） 1. 定点类：动直线恒过固定点 2. 定值类：斜率积、斜率和、面积、弦长、倒数和、向量、比值恒为常数 3. 定轨迹类：动点恒在定直线/定圆上 （二）八大必考定值模型（必背秒杀） 模型1：顶点斜率积定值（最基础必考） P在双曲线上，A、B为左右顶点 （绝对定值） 模型2：中心对称斜率积定值 A、B过原点对称，P在双曲线上 （绝对定值） 模型3：焦点弦倒数和超级定值 过焦点F的弦AB + = （高考超高频定值） 模型4：斜率和定值 → 直线过定点 + = 常数 ⇒ AB过x轴定点 模型5：斜率积定值 → 直线过定点 ·= 常数 ⇒ AB过坐标轴定点 模型6：垂直类定点定值 PA⊥PB 或 OA⊥OB→ 直线AB恒过定点、面积同时为定值 模型7：切点弦定点定值 双曲线外一点引两切线切点弦恒过对称轴定点 模型8：定面积定值模型 过原点直线交双曲线两点，动点P在曲线上△PAB面积恒为定值 （三）所有定值通用解题步骤（大题满分模板） 1. 设直线 x=my+t，设点A(x1,y1)、B(x2,y2) 2. 联立方程写出韦达定理 3. 将所求式子（斜率、面积、向量、倒数和）全部转化为韦达结构 4. 化简消去 m、t 所有参数 5. 得出：结果与参数无关，故为定值 （四）双曲线定值全部题型总结（全覆盖） 1. 斜率和定值 2. 斜率积定值（最核心） 3. 焦点弦倒数和定值 4. 三角形面积定值 5. 弦长定值 6. 向量数量积定值 7. 线段比值定值 8. 定点衍生定值综合题 知识点三：定直线问题 双曲线定直线问题是高中数学圆锥曲线高频压轴考点，核心特征：图形、直线、点随参数变化，但始终固定在某一条定直线上。 解题核心思想：消去动态参数，得到不含参的固定直线方程。 （一） 定直线题型定义 在双曲线动态模型中（动直线、动点、动交点），无论参数如何变化，点的轨迹、直线位置始终固定的直线，统称为双曲线定直线。 常见设问方式： 1. 求证：动点P在某定直线上； 2. 求证：两直线交点恒在定直线上； 3. 求证：弦中点轨迹为定直线； 4. 探究是否存在定直线，使几何恒成立。 （二）定直线问题三大核心解题通法 方法一：联立方程+韦达定理（大题通用首选） 适用场景: 动直线与双曲线交于两点，涉及交点连线、斜率关系、交点定值问题。 标准解题步骤 1. 设直线：优先设 x=ty+n，规避斜率不存在的讨论； 2. 联立方程：直线与双曲线方程联立，整理一元二次方程； 3. 判别式验证：保证直线与双曲线有两个交点； 4. 韦达定理：写出+、 或 +、； 5. 代入条件：根据题目斜率、共线、垂直、定点条件列式； 6. 消参得定直线：消去t、n、k等所有参数，得到固定直线方程。 方法二：点差法（中点、斜率类定直线专属） 适用场景 弦中点轨迹、斜率和/积为定值、对称点定直线问题。利用中点坐标与斜率关系消参，快速求出中点轨迹定直线。 方法三：设点消参法（交点轨迹类难题） 适用场景 双动点交点、复杂几何约束、无固定弦的定直线问题。 解题步骤 1. 设目标动点P(x,y)； 2. 用x、y表示关联直线、关联点坐标； 3. 代入双曲线方程与题干几何条件； 4. 消去中间参数，直接得到x、y的定直线方程。 (3) 解题万能答题模板（大题直接套用） 1. 设动直线/动点坐标； 2. 联立双曲线方程，写出韦达定理； 3. 根据题干几何条件列式； 4. 代入化简、消去所有参数； 5. 整理得到无参数的直线方程，即为定直线； 6. 书写结论，验证特殊情况。 题型01：定点问题 【典型例题1】已知双曲线的离心率为分别为其左、右顶点，点在上.为直线上的动点，与双曲线的另一交点为与双曲线的另一交点为. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，，解得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的左顶点，右顶点， 设直线上的动点， 于是直线的斜率，直线的方程为,与双曲线联立， 消得：， 整理得：， 设交点，则由韦达定理可得：， 即，则， 直线的斜率，直线的方程为， 再与双曲线联立，消得：， 整理得：， 设交点，则由韦达定理可得：， 即，则， 由双曲线的对称性知，若直线过定点，则定点必在轴上， 不妨设这个定点为， 则 因为，所以， 整理得：， ， 当时，可得，则直线过点， 当时，直线与轴重合，直线也过点， 所以直线经过定点. 【典型例题2】已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标. 【解析】（1）设到渐近线，即的距离为， 则，结合得， 又在双曲线上，所以，得，所以双曲线的标准方程为. （2）联立，消去并整理得， 则，，即， 设，，则，， 则 ， 所以， 所以， 所以，整理得， 所以，所以， 因为直线不过，即，，所以，即， 所以直线，即过定点.      【典型例题3】在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. (1)求曲线E方程； (2)若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【详解】（1）由得，又， 所以，故点在曲线E上，所以，解得， 故的方程为. （2）判断：直线AB恒过一个定点； 由图形关系可知点A，B在x轴异侧， 故由可得直线AF，BF的斜率互为相反数 设，    联立，可得 所以 而直线AF，BF的斜率之和为 即 =， 而，故， 所以直线AB过定点. 【典型例题4】已知双曲线的焦距为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 【解析】（1）由题意知，解得，，，双曲线的方程为. （2）证明：设直线的方程为， 联立方程组，消去，得， 则，， 所以直线方程为，令，则， 同理直线方程为，令，则， 由，可得，即， 即， 即，即， 即，即， 即，当时，， 此时直线方程为，恒过定点，不符合题意； 当时，直线方程为，恒过定点符合题意， 综上所述，直线过定点.    【变式训练1-1】已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为 . 【解析】因为双曲线方程为一条渐近线的倾斜角的正切值为.所以，解得，所以双曲线方程为. 设，，联立得， . 由韦达定理得，. 因为，所以. 所以，由题意知，此时. 所以直线方程为，恒经过的定点为. 【变式训练1-2】双曲线的离心率为，分别是的左，右顶点，是上异于的一动点，直线分别与轴交于点，请写出所有满足条件的定点的坐标 . 【解析】双曲线的离心率，，即双曲线， ，，设，则，， 直线，，，， 设，则，， ， 又，， ，解得：，定点或. 【变式训练1-3】已知双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，直线与双曲线交于不同的两点． (1)求的方程； (2)若直线斜率为1，双曲线的左焦点为，点，为线段的中点，若．求直线的方程： (3)已知，，若，在双曲线的右支上，直线过点，直线与直线交于点．证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为， 所以， 由到渐近线的距离为，得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）得． 设直线的方程为. 联立，得. 所以. 所以， 故. 因为，所以， 又， 所以，即， 解得. 所以直线的方程为，即. （3）因为两点在双曲线的右支上，所以直线与轴不重合， 设直线的方程为． 当时，联立方程， 得， 则， ，则， 直线的方程为， 令，得点的坐标为， 所以直线的方程为， 易知直线经过的定点在轴上. 令，得直线与轴交点的横坐标 由上知直线与轴交点的横坐标. 故直线恒过定点. 【变式训练1-4】已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为，实轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线的左支交于两点，点与点关于轴对称． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析， 【详解】（1）由题意可知，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）当时，易知不符合题意； 当时，联立，得， 因为直线与双曲线的左支交于两点，所以， 解得或，故实数的取值范围为. （ii）证明：设，则, 由（i）可知，， 直线的方程为，即， 令可得 把，代入可得， 即直线恒过，所以直线过轴上一定点，该定点的坐标为. 【变式训练1-5】已知双曲线经过两点，其左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于两点. (1)求的方程； (2)若的周长为，求直线的方程； (3)记点，直线与的左支分别交于点，证明：直线过定点. 【答案】(1)； (2)或； (3). 【详解】（1）由双曲线经过点两点， 得，解得， 故的方程为． （2）因为,均在的右支上，且的周长为， 所以． 由双曲线的定义，知，所以． 由（1）知，显然直线的斜率不为0， 则设直线，代入整理得． 由题知， 设，则． 因为,均在的右支上，所以，所以， 所以 ，解得， 所以直线的方程为或． （3）由题意得直线的方程为． 代入，得． 设，则，所以， 则，所以． 同理得． 当时，， 所以， 所以直线的方程为，即． 所以直线过定点． 当时，的方程为，易求． 所以过定点． 综上，直线过定点．      【变式训练1-6】已知点在离心率为的双曲线上． (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过轴上的定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)；(2)证明见解析，定点坐标为. 【分析】（1）根据给定条件，利用离心率及双曲线所过点求出即可. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理，求出直线与轴交点横坐标即可推理得证. 【解析】（1）由双曲线的离心率为，得，解得， 又点在双曲线上，则，解得， 所以的方程为. （2）显然直线的斜率存在，设其方程为，，则， 由消去并整理得， ，解得且，， 当直线与轴不重合时，，直线：， 令，得 ，此时直线过定点， 当直线与轴重合时，直线为轴，也过点， 所以直线过轴上的定点，该定点坐标为. 【变式训练1-7】已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据点到直线距离计算得出，再应用得出，计算得出进而得出标准方程； （2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，联立方程组结合向量的数量积计算得出或，结合题意即可证明定点. 【解析】（1）设焦距为2c，则， 故点到双曲线E的渐近线的距离为． 由，知，得． 又因为，所以，解得． 所以双曲线E的标准方程为． （2）①当直线的斜率不存在时， 由，设直线的方程为， 当时，则在双曲线，可得,所以， 当时，则在双曲线，可得,所以不合题意舍， 可得直线的方程为， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立得， 当时，，， 因为四边形为矩形，所以， 所以， 所以， 所以 所以， 所以，所以或， 当时，直线的方程为，恒过定点，不合题意，舍去． 当时，直线的方程为，恒过定点． 综上①②，直线恒过定点． 【变式训练1-8】在平面直角坐标系中，已知点及曲线，过点向右上、左上方作斜率分别为的两条射线，与曲线的交点分别为.当变化时，如果直线的斜率为定值或直线经过定点，那么称是曲线的“优点”. 已知曲线. (1)判断是否为曲线的“优点”； (2)在中任选一个判断是否为曲线的“优点”，并说明理由； (3)给出满足的条件，使得是曲线的“优点”，且__________，并求出对应的定值或定点. ①直线的斜率为定值；②直线经过定点. 请在①②中任选一个填在横线上并作答，不必证明. 【答案】(1)是；理由见解析 (2)都是曲线的“优点”，理由见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由点在轴上，由对称性可得； （2）设直线的方程，联立直线与双曲线方程.由点在双曲线上，利用韦达定理知求点坐标，同理可得点坐标，进而表示出斜率化简得定值；由点在轴上，作点关于轴的对称点，直线与双曲线交点，利用韦达定理得到关系，表示出直线方程，令化简得定点. （3）结合（1）（2）分析，得出条件，同理可证. 【解析】（1）由，直线斜率分别为，可知两直线关于轴对称， 结合双曲线对称性可知，关于轴对称， 故直线的斜率，即斜率为定值， 所以是曲线的“优点”； （2）①是曲线的“优点”，原因如下： 设直线的方程为，令， 则直线的方程为，令，且. 则. 由，可知在双曲线的下支上， 设， 联立，得， 由题意或. 由和是方程的两不等根，则由韦达定理知， 解得； 同理，将换成，换成，可得. 又， 则直线的斜率 . 故是曲线的“优点”. ②是曲线的“优点”，原因如下： 设直线的方程为，直线的方程为， 其中，， 作点关于轴的对称点，则. 由对称性可知，点在直线上，且在双曲线下支上. 直线与双曲线相交，即分别在上、下支的两个交点. 联立，得， 由题意或，即且. 由上分析可知是方程的两根， 则由韦达定理知，， 即，，且，， 由直线的方程为， 令，得 ， 故直线过定点， 所以是曲线的“优点”. （3）若满足条件或， 则是曲线的“优点”，且①直线的斜率为定值. 当，即点在轴上时，直线的斜率为定值； 当，即点在双曲线上时，直线的斜率为定值； 若满足条件，即点在轴上（且不为原点）时， 则是曲线的“优点”，且②直线经过定点，定点为. 理由如下： 若，即点在轴上，由对称性可知，直线的斜率为定值； 若，即点在双曲线上时， 设直线， 联立得，， 题意或. ，则，， 以代得，，， ； 若满足条件，即点在轴上时，， 设直线的方程为，直线的方程为， 其中，， 作点关于轴的对称点，则. 由对称性可知，点在直线上，且在双曲线下支上. 直线与双曲线相交，即分别在上、下支的两个交点. 联立，得， 题意或，即且. 由上分析可知是方程的两根， 则由韦达定理知，， 即，，且，， 由直线的方程为， 令，得 . 故直线过定点. 【变式训练1-9】已知双曲线：（，）的焦距为，右顶点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设，是轴上的两个动点，以线段为直径的圆过双曲线的焦点，直线，与双曲线的另一个交点分别为，． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）与圆相离，理由见解析. 【详解】（1）由题意，，则，所以双曲线的标准方程为． （2）（ⅰ）设点，的坐标分别为，， 由题意得：， 又设直线，的斜率为，，所以．    当直线的斜率不存在时，设：（），联立双曲线方程得点，的坐标为， 则，得或2（舍）． 当直线的斜率存在时，设：，联立，消得： ，所以． 设，，由韦达定理得：，， 所以， 代入韦达定理得：，所以或（舍）， 则：，综上直线过定点． （ⅱ）因为，，所以， 设，则，所以，即． 故到直线：的距离． 又圆的半径． 显然，所以直线与圆相离． 【变式训练1-10】已知双曲线的实轴长为4，且经过点. (1)求的方程； (2)记的右顶点为，点在线段（不含端点）上运动，垂直于轴的直线交于点（在第一象限），点满足，设直线与的另一个交点为. （i）用表示直线的斜率； （ii）证明直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题意可知， 解得， 故的方程为. （2）（i）因为，所以直线方程为， 由于，故， 因为，所以， 所以. （ii）由（i）可知， 即. 由题意可知，直线的斜率显然存在， 设直线，联立，消得 ， ， ， 所以， 所以直线， 所以直线过定点. 【变式训练1-11】已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的直线与双曲线交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线BD过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以. 又因为双曲线经过点，所以，解得. 所以双曲线的方程为：. （2）由题意得，故， 过的直线分别交双曲线于A，B两点，故过的直线斜率不为0， 设过的直线方程为， 联立，得， 则， 所以， 因为，    故直线BD的斜率为，直线BD方程为， 由对称性分析可知直线BD过的定点在轴上， 故中，令得 ， 又， 将其代入上式中得，， 故直线BD过定点. 【变式训练1-12】已知双曲线的左焦点为，C的一条渐近线方程为． (1)求C的标准方程； (2)已知动点，满足． （ⅰ）若的外接圆与C在第一象限内的交点为M，直线BM与x轴交于点N，设的面积为，的面积为，求； （ⅱ）记C的左顶点为A，若直线AB，AD与C的左支的另一交点分别为E，H，证明：直线EH恒过定点． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）由焦点坐标知且，又，可得， 所以双曲线的标准方程为； （2）由，且，则，故，即， （i）由题意，的外接圆以为直径，则方程为， 所以，则， 设，则，所以， 整理得，即， 而，则，故，即， 所以直线，即， 令，则，且， 所以，， 所以； （ii）由（1），则，且， 联立，可得，可得， 所以，可得（舍）， 所以，即，同理得， 所以 ， 所以，则， 所以，显然直线恒过定点. 【变式训练1-13】已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，且过点.设，分别是的左、右顶点，，是的右支上异于点的两点. (1)求的方程； (2)若直线经过的右焦点，且斜率为2，求的面积； (3)设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析，恒过定点. 【详解】（1）由题意得，又，解得， 所以的方程为. （2）由题意，直线的方程为， 设，，由，得， 所以，. 则， 点到直线的距离为， 所以的面积为. （3） 方法一:由题意得，的斜率不为0， 设为，，. 由，得， 所以，且，. 因为，，， 所以. 又，即，所以， 即， 整理得， 所以， 化简得，解得或3. 当时，的方程为，此时过点，不合题意， 当时，的方程为，此时过点，符合题意， 所以恒过定点. 方法二:由题意得，的斜率不为0， 设为，，. 由，得， 所以，且，. 又，即， 整理得， 即， 所以， 整理得，解得或， 当，， 此时，不符合， 所以，此时的方程为，所以恒过定点. 【变式训练1-14】已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，． (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为． ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）由轴时，，可令， 代入双曲线得，又因为， 解得， 则所求方程为； （2）①设，则，由（1）知， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点； ②， 由①得，解得， 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 【变式训练1-15】已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）如图， 设，， 联立，得， 则，，， 所以， ， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， 所以，即， 所以， 化简得，即， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点. 【变式训练1-16】已知双曲线左顶点到其渐近线的距离为 .过右焦点F的直线分别交双曲线的左，右两支及直线 于三点，过N作平行于轴的直线交直线于点G，点G满足 . (1)求的方程； (2)证明：直线MH过定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为C的一条渐近线方程为， 所以点A到渐近线的距离为， 所以，所以双曲线C的方程是 . （2）由题意双曲线C的右焦点，直线的斜率不为0， 故可设直线的方程为， 因为直线与双曲线左，右两支分别交于两点， 所以， 设，将直线的方程代入中， 得到， 则，，所以， 直线的方程，又直线 ，联立可得， 所以直线的方程为 ， 又直线的方程是，联立可得 ， 又，所以H的坐标是， 所以直线的方程是： 令，由，， 得， 所以直线过定点. 【变式训练1-17】已知双曲线：的一条渐近线为l：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离可求，再根据的关系及可求的值，得双曲线标准方程. （2）先讨论直线无斜率时，求出直线过点，当直线有斜率时，设直线：，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得，，，再根据，可求的关系，进而可得直线经过的定点，排除不合题意的即可得问题答案. 【解析】（1）双曲线的右焦点，到直线的距离为2， 所以，又. 所以双曲线：. （2）如图： 易知. 当直线的斜率不存在时，设直线：. 不防取，， 由，所以. 所以或（舍去）. 所以直线过点. 当直线的斜率存在时，设直线：. 由，消去得：（）. 由. 设，， 则，， 所以, 由，所以， 即， 所以， 所以或. 由得，所以直线过定点，舍去； 由得，所以直线过定点. 综上可得：直线过定点. 【变式训练1-18】已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【难度】0.65 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据点以及渐近线方程列出关于的方程组即可； （2）先讨论直线斜率不存在时，根据得出矛盾，再设直线AB：，与双曲线方程联立，根据得出，即可求出定点. 【详解】（1）由题知，，且，，得，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称， 设，，则由，得， 即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在， 设直线AB：，代入双曲线方程， 化简得， 设，则，，，， 则， 整理得， 所以， 整理得，即，所以或． 当时，直线AB的方程为，经过y轴上的定点； 当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意． 综上，直线AB与y轴的交点为定点，且定点坐标为． 【变式训练1-19】已知双曲线的左顶点在直线上，的左焦点为，点.为的右支上一动点. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)过点且斜率为的直线与的左支交于D，E两点，求的面积的最小值； (3)设为的左支上与不重合的一动点，若直线平分，证明：直线MN恒过定点. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的直线过定点问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据给定条件，结合斜率坐标公式求出，即可求出双曲线的渐近线方程. （2）求出直线的方程，平移直线与双曲线右支相切，求出面积最小值. （3）设出直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理及对称关系建立方程求解. 【详解】（1）依题意，点，设，由，得， 解得，而，因此，双曲线的方程为， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）由（1）知，，直线的方程为， 由消去得，解得， 则， 的面积最小，当且仅当点到直线的距离最小， 平移直线与双曲线的右支相切的切点到直线的距离最小， 设切线方程为，由消去得， ，解得， 当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意，因此， 因此点到直线的距离为点到直线的距离， 所以求的面积的最小值为. （3）依题意，直线斜率存在，设其方程为，， 由为双曲线的左支上与不重合的点，得， 设点关于直线对称点为，则， 解得，由直线平分，得在直线上， 而，则， 即，整理得， 由消去得，， ，因此， 整理得，而，解得，直线：过定点， 所以直线MN恒过定点. 【变式训练1-20】已知双曲线过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； (3)若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、双曲线中向量点乘问题、根据离心率求双曲线的标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据离心率得，再根据双曲线所过的点求出基本量后可得双曲线方程； （2）设直线的方程为，由已知距离得，联立直线方程和双曲线方程结合韦达定理可求，故可求； （3）法1：设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程后消元，再结合韦达定理化简斜率之和得直线参数关系，从而可求定点；法2：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点，设平移后的直线的方程为：，齐次化后结合斜率为1可得参数关系，从而可求出原直线所过的定点. 【详解】（1）由，得， 则双曲线的方程为，将点代入的方程中，得． 解得，故，所以双曲线的方程为． （2）设直线的方程为，因为点到直线的距离为1， 作出简图如下所示， 所以，即． 设，，由于直线与交于点，所以， 联立整理得． 则，， 且， 故， 所以， 则．故． （3）法一：当直线的斜率为0时，可设其方程为，则，， 则即， 又在双曲线上，所以，联立可得，所以或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 故此时直线的方程为． 当直线的斜率不为0时， 设的方程为，设，， 联立得，其 则，且 而 ， 化简得． 代入（※）式，得， 即，所以或． （ⅰ）当时， 的方程为，此时直线过定点． （ⅱ）当时，的方程为， 此时直线过定点，与是双曲线上异于的两点矛盾，故舍去． 综上，直线过定点． 法二：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点， 可得双曲线方程：，化简得． 设平移后的直线的方程为：，，， 所以， 整理得， 即， 所以， 即，对比可得平移后的直线过定点． 所以直线过定点． 【变式训练1-21】已知双曲线，过点作两条互相垂直的直线. (1)求两条直线与双曲线的交点个数，并说明理由； (2)若，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，证明：直线过定点. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析【知识点】双曲线中的直线过定点问题、讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】（1）分直线当直线或的斜率不存在与直线和的斜率都存在两种情况讨论，当直线和的斜率都存在设直线的斜率为，则直线的斜率为，联立直线方程与双曲线方程，消元，分二次项系数为和不为两种情况讨论，即可求出交点个数； （2）首先判断直线过定点，则定点应在轴上，再计算时直线过定点坐标，最后推导当时，三点共线即可. 【详解】（1）当直线或的斜率不存在时（即一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在）， 因为两直线均过点，所以两直线的方程分别为， 则直线与双曲线共有四个交点， 分别为，.（由，解得或）， 当直线和的斜率都存在时，设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程分别为. 联立直线与双曲线的方程，得， 消去整理得. 当，即时，方程仅有一解，此时直线与双曲线仅有一个交点； 当，即时，，此时直线与双曲线有两个交点. 同理联立直线与双曲线的方程，可知当时，直线与双曲线仅有一个交点； 当时，直线与双曲线有两个交点； 综上，当直线或的斜率不存在时（即一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在），交点个数为4； 当且时，交点个数为2； 当且时，交点个数为4； 当且或时，交点个数为3； 当且且时，交点个数为4. （2）由（1）可知，当直线或的斜率不存在时，两直线与双曲线有四个交点，分别为，， 则点坐标分别为，直线与轴重合，所以若直线过定点，则定点应在轴上. 当直线和的斜率同时存在时，设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程分别为. 因为在双曲线中，所以由（1）可知，当两直线与双曲线有四个交点时，且 记点， 联立直线与双曲线的方程，得， 消去整理得， 则，则，即点. 同理可得点. 当时，，， 则， 此时直线的方程为； 同理当时，，则， 此时直线的方程为. 所以若直线过定点，则定点在直线上. 又因为定点在轴上，所以可猜想定点为， 所以只需证明当时，三点共线即可. 此时，，直线的斜率都存在，即证明. 因为， ， 所以，即三点共线，即直线过定点. 综上，直线过定点. 【变式训练1-22】已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，，，，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点. (1)求双曲线的方程. (2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设，所以，，， 因为点在线段上，且满足，所以点， 因为直线的斜率为1，所以，所以， 因为，所以，解得，，. 所以双曲线的方程为. （2）假设在轴上存在与不同的定点，使得恒成立，    当直线l的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有； 当直线l的斜率存在且不为0时，设，直线l的方程为， 直线与双曲线的右支相交于，两点，则且， 设，，由，得， ，， 所以，， 因为，即，所以平分，， 有，即，得， 所以，由，解得. 综上所述，存在与不同的定点，使得恒成立，且. 【变式训练1-23】已知双曲线的离心率为，上焦点到其中一条渐近线的距离为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线上支于，两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点 【分析】（1）根据离心率、双曲线的渐近线以及点到直线的距离公式，建立方程，可得答案； （2）根据题意，设出直线方程与交点坐标，联立方程写出韦达定理，进而建立方程，可得答案. 【解析】（1）因为离心率为且双曲线，则①， 上焦点到其中一条渐近线的距离为2，渐近线方程， ②，联立①②，解得， 则双曲线的标准方程为； （2） 易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，，， 联立，消去并整理得， 显然，且， 由韦达定理得，， 假设在轴上存在定点，使得恒成立， 不妨设，此时， 即 ， 解得，则点的坐标为． 综上，轴上存在点，使恒成立． 题型02：定值问题 （1） 斜率为定值 【典型例题】在平面内，动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)设斜率为1的直线与曲线交于两点，记线段的中点为为坐标原点，判断直线的斜率是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是，. 【详解】（1）由题可得，，两边平方得， 整理得，故的方程为：. （2） 直线的斜率是否为定值，下证： 设，则，则有，作差得， 等式两边同除，得：， 即，因此， 因此，直线的斜率为定值，定值是. 【变式训练2-1-1】已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为 (1)求双曲线C的方程； (2)证明：直线AB的斜率k为定值； (3)O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）双曲线（）右焦点的坐标为， 不妨取C的一条渐近线的方程为 即，所以 又，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）设，，则, 两式相减并整理得，, 因为线段AB的中点为，则， 所以，因为，所以， 所以直线的斜率k为定值2． （3）设直线，联立，消去得， 因为，所以， 则， 故， 点O到直线AB的距离为 所以， 整理得，解得（舍去），则，    又因为，所以直线AB的方程为 【变式训练2-1-2】已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上两点，且，其中为双曲线的右焦点，记直线的斜率为.证明：是定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）由双曲线的标准方程为，故， 设、，则、， 由，则有，化简得， 由点是双曲线上两点，则、， 将代入，有， 整理得，又可得， 则，解得，则， 则，则， 当时，， 此时直线的斜率为； 当时，， 此时直线的斜率为， 故为定值或. 【变式训练2-1-3】已知双曲线的右顶点为，双曲线的左､右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知过点的直线与双曲线右支交于两点，点在线段上，若存在实数且，使得，证明：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，由，得，即， 所以， 又双曲线的一条渐近线方程为，所以， 解得， 故双曲线的方程为. （2）设直线与双曲线交于，点， 因为存在实数且，使得， 所以， ， 整理得：①，②， 得③， 同理④，⑤， 得⑥， 由于双曲线上的点的坐标满足， ③-⑥得， 即，又，所以， 表示点在直线上，又也在直线上， 所以直线的斜率为（定值）.    （2） 斜率积为定值 【典型例题1】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求的标准方程. (2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线，（斜率都存在），与交于另一点，与交于另一点，证明： （i），的斜率之积为定值； （ii）存在定点，使得关于点对称. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则由题意可知，， 结合得，，， 故的标准方程为. （2）（i）设，如下图所示： 设过点的切线方程为，即， 所以圆心到切线的距离为，即， 因此的斜率是上式中方程的两根，即， 又因为，所以. 所以的斜率之积为定值，且定值为2. （ii）不妨设直线的斜率为，直线的斜率为， 联立，得. 因为， 所以， 则，同理可得， 所以， 因为，所以，所以，得， 又因为，，得或（舍去）， 所以存在定点，使得关于点对称. 【典型例题2】已知双曲线C：的离心率为，且点在双曲线上 (1)求C的方程； (2)设点A为C的左顶点，若过点的直线l与C的右支交于P，Q两点．证明：直线AP和直线AQ的斜率乘积为定值. 【答案】(1)； (2)直线AP和直线AQ的斜率乘积为，证明过程见解析 【详解】（1）由题意得，将代入中得 ，又， 解得，故双曲线方程为； （2）由题意得，显然过点的直线l斜率不为0， 故设直线l的方程为，联立得 ，则，解得， 设，则， ， 则. 【变式训练2-2-1】已知双曲线：的渐近线方程为，且焦距为，过双曲线中心的直线与双曲线交于两点，在双曲线上取一点（异于），直线，的斜率分别为，，则等于（    ） A． B． C． D． 【解析】双曲线的两条渐近线方程为，所以，因为焦距为，所以， 又，所以，，故双曲线的方程为． 设点，则根据对称性可知，点，，， 所以，且，，两式相减可得.故选：B 【变式训练2-2-2】P为椭圆上异于左右顶点，的任意一点，则直线与的斜率之积为定值，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点，的任意一点，则（    ） A．直线与的斜率之和为定值 B．直线与的斜率之积为定值 C．直线与的斜率之和为定值 D．直线与的斜率之积为定值 【解析】设，则，即： ， ，， ， 为定值.故选：D. 【变式训练2-2-3】已知直线l：与双曲线C：交于P，Q两点，QH⊥x轴于点H，直线PH与双曲线C的另一个交点为T，则（    ） A． B． C．1 D．2 【解析】 设，，，，则.由得，， 则，. ，∴，∴.故选：B. 3．已知A，B是双曲线Γ：＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（ ） A．k1＋k2 B．|k1－k2| C．k1k2 D． 【解析】由题意可得A(－a，0)，B(a，0)，设P(m，n)(m＞0，n＞0)， 可得即，又k1＝， 所以k1k2＝，所以k1k2为定值 ，不为定值； ，不为定值； ，不为定值 故选：C 【变式训练2-2-4】已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右顶点为，过焦点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点，记直线的斜率分别为，的面积分别为. （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）解：因为双曲线的一条渐近线方程为，右焦点， 所以 解得， 故双曲线的标准方程为； （2）（i）易知，， 由题可设直线的方程为， 由，得， ， 直线与的右支交于两点， ， ， . ， 故为定值. （ii）由题意可得， 直线的方程为，则， 同理可得， ， ， ， ，当且仅当时等号成立， 故的取值范围为. 【变式训练2-2-52】已知双曲线C：的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为，为坐标原点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是的中点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值； (3)直线与C的右支交于点，（A₁在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与C的右支交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点，，，记的坐标为.证明：共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】双曲线中的定值问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）根据题意，由双曲线的性质，列出关于的方程，计算即可求得方程； （2）设，，，利用点差法可证得结论； （3）设斜率为2且与双曲线右支相交于，两点的直线方程为，，与双曲线方程联立方程组，结合韦达定理代入计算，即可表示出直线的方程，以及直线的方程，然后联立两直线方程，即可表示出的坐标，即可证明. 【详解】（1）由已知得 解得， 故双曲线C的标准方程为：； （2）设，，， 因为M，N为双曲线C上的两点，所以， 两式相减得：， 整理得，， 则，得证. （3）设斜率为2且与双曲线右支相交于，两点的直线方程为 ，， 联立：，整理得：， 因为该方程有两个正根，则，解得：或（舍）， 设，，由韦达定理得：，， 直线的方程为：， 因为，所以，① 直线的方程为， 因为，所以，② 联立①②得，， 所以， 因为， 所以， ， 所以， 则都在直线上， 故共线. 【变式训练2-2-6】已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程. (2)直线与双曲线交于点M，N，其中点M在第二象限. ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，设直线，的斜率分别为，，求. 【答案】(1) (2)①；② 【解题思路】（1）根据离心率和双曲线所过点的坐标可求方程； （2）①利用弦长公式可求答案；②结合韦达定理求出，再利用斜率公式可求答案. 【解答过程】（1）因为点在双曲线上，所以. 离心率为，，解得，. 故双曲线的标准方程为. （2）①设，. 联立得， 则，. 故. ②. 由题意得点M，N都在双曲线C的左支上，且点M在第二象限，所以， 则. 故. 【变式训练2-2-7】已知双曲线的左､右焦点分别是，，双曲线上一点满足，且点到的一条渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若，是上关于原点对称的两点，且点不与，重合，设直线，的斜率存在且分别为，，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设双曲线的半焦距为， 由双曲线的定义可知，即， 又点到渐近线的距离为，故， 双曲线的方程为； （2） 设，，， 易知，， . 又，， ，， ， 由（1）可知， . 【变式训练2-2-8】已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上两点，且，其中为双曲线的右焦点，记直线的斜率为.证明：是定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）由双曲线的标准方程为，故， 设、，则、， 由，则有，化简得， 由点是双曲线上两点，则、， 将代入，有， 整理得，又可得， 则，解得，则， 则，则， 当时，， 此时直线的斜率为； 当时，， 此时直线的斜率为， 故为定值或. 【变式训练2-2-9】已知双曲线C：的虚轴长为4，直线为双曲线C的一条渐近线. (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左顶点为A，过点的直线交双曲线C于点M，N（点M在第一象限）. ①当直线的斜率为1时，求； ②记直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）虚轴长为，，， 直线为双曲线的一条渐近线，， ，， 双曲线的标准方程为； （2）①过点的直线的斜率为，直线的方程为， 联立直线和双曲线，即，消去，得到， 整理得，设， 则有， 故； ②， 当直线垂直轴时，过点的直线的方程为， 将代入双曲线中得，解得 则， ，，， 当直线不垂直轴时，过点的直线的方程为， 联立直线和双曲线，即，消去， 得到关于的一元二次方程， 整理得到，设， ，， ，， . 综上可知，为定值. 【变式训练2-2-10】已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点. (1)求曲线的方程； (2)证明：为定值； (3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据椭圆离心率，可得a，c的关系，分析可得当M位于短轴端点时，的面积最大，代入面积公式，结合的关系，即可得答案. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，可得表达式，结合斜率坐标公式，化简计算，即可得答案. （3）当直线的斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，计算可得直线过定点，再探讨直线的斜率不存在时的情况，综合分析，可得直线恒过定点，且设为R， 由，得在为直径的圆上，分析求解，即可得答案. 【解答过程】（1）设曲线的半焦距为c，由离心率，得， 分析可得当M位于短轴端点时，的面积最大， 则， 又，解得， 所以曲线的方程为. （2）证明：由（1）得，依题意，直线不垂直于轴， 设， 由消去得， 则， 则 ， 所以为定值； （3）证明：设，由（2）知，则， ①当直线斜率存在时，设其方程为， 由直线不过点，得， 由消去得， 则，且， 所以， 则， 整理得， 于是， 化简得，即，而，则，符合题意， 此时直线：，过定点； ②当直线斜率不存在时，由对称性，不妨令点在第二象限，直线的斜率为， 方程为，与方程联立可得，同理得， 此时直线也过点， 因此直线过定点，设该点为， 由，得在为直径的圆上，圆的方程为，半径为， 所以存在点，使得为定值. 【变式训练2-2-11】已知双曲线C：的离心率为，且点在双曲线上 (1)求C的方程； (2)设点A为C的左顶点，若过点的直线l与C的右支交于P，Q两点．证明：直线AP和直线AQ的斜率乘积为定值. 【答案】(1)； (2)直线AP和直线AQ的斜率乘积为，证明过程见解析 【详解】（1）由题意得，将代入中得 ，又， 解得，故双曲线方程为； （2）由题意得，显然过点的直线l斜率不为0， 故设直线l的方程为，联立得 ，则，解得， 设，则， ， 则. 【变式训练2-2-12】已知双曲线C：的虚轴长为4，直线为双曲线C的一条渐近线. (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左顶点为A，过点的直线交双曲线C于点M，N（点M在第一象限）. ①当直线的斜率为1时，求； ②记直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）虚轴长为，，， 直线为双曲线的一条渐近线，， ，， 双曲线的标准方程为； （2）①过点的直线的斜率为，直线的方程为， 联立直线和双曲线，即，消去，得到， 整理得，设， 则有， 故； ②， 当直线垂直轴时，过点的直线的方程为， 将代入双曲线中得，解得 则， ，，， 当直线不垂直轴时，过点的直线的方程为， 联立直线和双曲线，即，消去， 得到关于的一元二次方程， 整理得到，设， ，， ，， . 综上可知，为定值. 【变式训练2-2-13】已知双曲线：过点，离心率为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合代入法进行求解即可； （2）设直线的方程为，直线的方程为，，将代入直线可得，联立直线与椭圆方程得关于的一元二次方程，由韦达定理得；联立方程和渐近线方程求出，得到，由题易得，即，联立求出的关系式，再由定义表示出，将所有未知量全部代换成即可求证. 【解析】（1）因为双曲线：过点，离心率为， 所以有； （2）设直线的方程为， 直线的方程为，， 将代入直线得，即， 联立，得， 得，即，， 因为在第一象限，双曲线渐近线方程为， 联立，得，即， 联立，得.即， 所以， 因为，所以，所以①， 又②， ①②得，， 所以， 所以， 因为 所以，为定值. 【变式训练2-2-14】已知D为双曲线E:的左顶点，点在E上，且E的离心率为2. (1)求双曲线E的方程. (2)过点且斜率为的直线l交E的右支于A，B两点，△ABD的外心为M，O为坐标原点，线段OM所在直线斜率为. ①求证:直线AD和直线BD的斜率之积为定值; ②试探求和的关系，并说明理由. 【答案】(1)；(2)①证明见解析；②，理由见解析 【分析】（1）由已知可得的关系式，求解即可得双曲线E的方程； （2）①设，直线AB的方程为且，与双曲线联立方程组，可得，，设直线AD的方程为，直线BD的方程为，计算可得为定值，进而可得结论；②方法一：联立，可求得，进而求得，求得线段AD的中垂线方程，线段BD的中垂线方程，求得的坐标，计算可得结论. 方法二：设，直线AB的方程为且，设出外接圆的方程，分别与直线方程联立方程组，利用消去后的方程的根均是，计算可求解. 【解析】（1）由点在E上，且E的离心率为2，得， 解得，故双曲线E的方程为. （2）①易得直线AD和直线BD斜率存在且不为零，且不为.    设直线AD的方程为，直线BD的方程为，则均不为零且不为. 设，直线AB的方程为且， 联立，消去x得， ， ，， 从而. 故直线AD和直线BD的斜率之积为定值； ②方法一：联立，消去x得， 解得.同理可得. 线段AD的中点，线段BD的中点， 线段AD的中垂线方程为，线段BD的中垂线方程为. 联立两直线方程得=， 即， 化简得.联立和， 得，从而点， ， =， . 由①知，所以， 故和的关系为. 方法二：设，直线AB的方程为且， 设的外接圆的方程为， 因为点在该圆上，所以1，即， 联立，消去x得①， ， 联立， 消去x得②， 因为方程①和②的两个不同的根均是， 所以==， 代入得==， 即，即，. 又点，所以. 又，所以. 【变式训练2-2-15】已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线，曲线与轴的交点记为，（点在点的左侧）． (1)求曲线的方程； (2)若直线与圆相切，且与曲线交于，两点（点在轴左侧，点在轴右侧）．记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设圆，的交点为，则，， 因为，所以， 故点的轨迹（曲线）是以，为焦点的双曲线， 从而，，即，， 故曲线的方程为； （2）设，，其中， 由条件，直线的斜率存在，设的方程为． 因为直线与圆相切，所以，即， 联立，消去并整理得， 所以， 由条件，，即， 所以， 由题意知，，． 所以 即为定值． （3） 斜率商为定值 【典型例题1】已知双曲线C：的焦距为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线C上任意一点，且的最小值是. (1)求双曲线C的方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为，，直线：与C的右支交于M，N两点. （i）求实数m的取值范围； （ii）若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【答案】(1) (2)（i）（ii）证明见解析 【详解】（1）设， 则， 所以， 因为在双曲线上，所以，所以， 所以， 又因为，所以当时，取得最小值为，所以， 因为，所以，又因为焦距为所以，即， 由，可得，所以双曲线的方程为. （2）（i）设， 由，得：， 由直线与双曲线的右支交于两点，可得． 解得，所以的取值范围是； （ii）双曲线的左右顶点，斜率， 故，代入， 得 由（i）可知，可得 代入，可得 即是定值． 【典型例题2】已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）由虚轴长和渐近线方程求得和的值即可. （2）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值即可得证. 【解析】（1）由双曲线：虚轴长为4，得， 双曲线的渐近线方程为，由直线为双曲线C的一条渐近线，得，则， 所以双曲线C的标准方程为. （2）由（1）知，，， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设， 由消去得， ，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 【变式训练2-3-1】已知双曲线：实轴长为4（在的左侧），双曲线上第一象限内的一点到两渐近线的距离之积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设过的直线与双曲线交于，两点，记直线，的斜率为，，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明. ①为定值；②为定值；③为定值 【解析】（1）设是上的一点，与是的两条渐近线， 到两条渐近线的距离之积， 依题意，，故，双曲线的标准方程为； （2）正确结论：③为定值. 证明如下：由（1）知，，设，， 因为，不与，重合，所以可设直线：， 与联立：，消去整理可得： 故，，， 所以，，， ①，不是定值， ②，不是定值， ③，所以是定值.    【变式训练2-3-2】已知双曲线的焦距为，分别为其左、右焦点，为双曲线上任意一点，且的最小值是． (1)求双曲线的方程 (2)记双曲线的左、右顶点分别为，直线与的右支交于两点． （i）求实数的取值范围 （ii）若直线的斜率分别为，证明：是定值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）(1) 设， 则， 所以， 因为在双曲线上，所以， 所以， 所以， 又因为，所以当时，取得最小值，为， 所以，因为，所以， 又因为焦距为所以，即， 由和,可得， 所以双曲线的方程为 （2）（i）设， 由，得：， 由直线与双曲线的右支交于两点， 可得． 解得所以的取值范围是； （ii）由（i）可得 将乘以得： 将变形为，代入上式： 则： 因为， 则直线的斜率，直线的斜率， 因此： 将，代入上式，得： 所以. 即是定值． 【变式训练2-3-3】已知双曲线经过点，且离心率为2． (1)求的方程； (2)过的右焦点且斜率不为0的直线与交于两点，设分别为的左、右顶点，且直线的斜率分别为，判断：是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值， 【解题思路】（1）根据题设列出关于的方程组，求解即得； （2）设的方程为，与双曲线方程联立，写出韦达定理，分别求出直线的斜率，并化简，利用消元思想与韦达定理即可推出结论. 【解答过程】（1）由题意，可得， 解得. 所以的方程为. （2）由（1）知，的右焦点为，设的方程为， 与方程联立，得. 因为与有两个交点，所以且，解得． 设，则，则有 因，则， 所以，因， 代入可得，，即为定值. 【变式训练2-3-4】已知双曲线的右焦点的坐标为，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，. 【详解】（1）由题可知，，，又因为，可解得， 故双曲线的标准方程为：. （2） 由（1）知，，. 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设，由，消去得， 若直线与双曲线交于两点，则， 由韦达定理，可得， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，即为定值. 直线的斜率，直线的斜率， 所以，即为定值. 【变式训练2-3-5】在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. (1)求动点P的轨迹曲线C的方程； (2)过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 【答案】(1) (2)是，定值为3 【分析】 【详解】（1）设，， 因为动点P与，两点连线的斜率之积是， 所以，整理得， 所以动点P的轨迹曲线C的方程为. （2）易知直线斜率不为0， 设直线：，，， 联立，得， 则且，即且， 而， 则 ，为定值.    （4） 斜率和差定值 【典型例题1】已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l经过点， ①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程； ②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)①②证明见解析 【详解】（1）由，可得，即， 所以双曲线方程为，代入点， 可得， 所以双曲线方程为. （2）如图， ①由题意，直线斜率存在，设直线l的方程为， 联立，消元可得： ， 由直线与双曲线相切，则， 即，解得, 所以直线l的方程为，即. ②由题意知，， 设，直线l的方程为， 联立双曲线方程，化简可得， ， 由①知， 所以， ， 所以 ， 即为定值. 【典型例题2】已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【解析】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 【变式训练2-4-1】已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，. 【解题思路】（1）利用给定的离心率及焦点到渐近线的距离，列式求出即可得双曲线方程. （2）（i）由题意易得直线l的斜率存在,设，直线l的方程为，联立直线与双曲线方程，化简的式子，结合韦达定理即可求出结果.（ii）求出直线的方程，利用根与系数的关系以及定值探究直线过哪个定点． 【解答过程】（1）设双曲线右焦点， 由到双曲线的渐近线的距离为，得， 由双曲线的离心率，得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）（i）显然直线的斜率存在，设其方程为， 由消去得， ，由直线与双曲线的左、右支分别交于点， 得，解得，则 ， 所以为定值. （ii）设直线的方程为，直线斜率，由（i）得， 由消去得， ， 由，得，即或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 当时，直线的方程为，过定点. 【变式训练2-4-2】已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？ (2)设曲线C为曲线，点是C上位于第一象限的一点，点A，B关于原点O中心对称，点A，D关于y轴对称．延长AD至E，使得，且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线OA斜率为，直线AG斜率为，判断与的关系，并求的取值范围． 【答案】(1)，且 (2)（ⅰ）；（ⅱ）， 【详解】（1）由，得， 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 则，则， 所以当，且时，曲线为双曲线； （2）方法一：当，时，，即， （ⅰ）由题意得，，设点，由， 即， 即，得，则， 直线BE的斜率为， 所以直线BG的方程为，即， 联立，得， 由直线BG与双曲线有2个交点，则， 又因为满足， 由韦达定得，解得， 因为，且， 得，所以， 又因为，可得， 所以， 因为，所以， 所以，可得，即的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）得 ， 所以， 因为，则，则， ； 方法二：当，时，，即， （ⅰ）由题意得，， 设点，由．即， 即，得，则， 直线BE的斜率为， 所以直线BG的方程为， 设点（，），因为， 所以，所以，， 同理，由， 两式作差得， 将直线BG方程代入并化简得（*） 所以，所以， 可得，即的取值范围为； （ⅱ）由（*）式可得， 所以， 由（ⅰ）得， 所以． 【变式训练2-4-3】已知双曲线的左焦点为，过的直线与双曲线的左右两支相交，交点分别记为，过点的直线与双曲线相交于两点. (1)当时，过点，点位于第二象限，直线交于点，且分别与轴相交于点.求证： ①直线斜率之差为定值； ②的面积为定值. (2)当直线运动变化时，与始终保持垂直，且恒为定值，求动点所在曲线的方程. 【答案】(1)①定值为，证明见解析；②定值为，证明见解析 (2)或 【详解】（1）①当时，过点，此时方程为，联立双曲线，解得，由于点位于第二象限， 可知点坐标为，点坐标为，设， 直线，故直线斜率分别为：，， 而 ， 联立直线与双曲线得： ，因为直线与双曲线的左右两支相交， 故，且，解得， 根据韦达定理可知， 将其代入， 故直线斜率之差为定值，定值为. ②设，由①知， 解得，故位于定直线上，而的面积为， 故的面积为定值，定值为. （2）由题知恒为定值，即为定值， 对于：因为三点共线，所以 ， 由①知， 故，而， 故，所以， 对于： ，则直线的方程为：，设，， 直线与双曲线方程联立可得， 即， 所以， 所以，，， 得， 又因为， 所以， 当时，即时，为定值， 所以或, 故动点所在曲线的方程为或. （5） 长度距离为定值 【典型例题】已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 【答案】(1) (2) (3)当为的中点时，，证明见解析 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）圆的圆心，半径为， ∵是圆上的动点，直线与圆相切， ∴，. 设，因为点是双曲线上的动点，，， 当时，取得最小值，且    （3）由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且， 设，则， 直线的方程为， 令，可得，即, 同理可得， 因为为的中点，所以， 即， 则， 可得， 整理得， 所以或， 若，即，则直线方程为，即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又由为直角三角形，且为斜边， 所以当为的中点时，.      【变式训练2-5-1】已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点. (1)求曲线的方程； (2)证明：为定值； (3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）设曲线的半焦距为c，由离心率，得， 分析可得当M位于短轴端点时，的面积最大， 则， 又，解得， 所以曲线的方程为. （2）证明：由（1）得，依题意，直线不垂直于轴， 设， 由消去得， 则， 则 ， 所以为定值； （3）证明：设，由（2）知，则， ①当直线斜率存在时，设其方程为， 由直线不过点，得， 由消去得， 则，且， 所以， 则， 整理得， 于是， 化简得，即，而，则，符合题意， 此时直线：，过定点； ②当直线斜率不存在时，由对称性，不妨令点在第二象限，直线的斜率为， 方程为，与方程联立可得，同理得， 此时直线也过点， 因此直线过定点，设该点为， 由，得在为直径的圆上，圆的方程为，半径为， 所以存在点，使得为定值. 【变式训练2-5-2】已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 【答案】(1) (2) (3)当为的中点时，，证明见解析 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）圆的圆心，半径为， ∵是圆上的动点，直线与圆相切， ∴，. 设，因为点是双曲线上的动点，，， 当时，取得最小值，且    （3）由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且， 设，则， 直线的方程为， 令，可得，即, 同理可得， 因为为的中点，所以， 即， 则， 可得， 整理得， 所以或， 若，即，则直线方程为，即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又由为直角三角形，且为斜边， 所以当为的中点时，.      【变式训练2-5-3】已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的右顶点为A，过点的直线与双曲线交于两点不在x轴上）.若直线AB和AC分别与直线交于两点，证明：以为直径的圆被x轴截得的弦长为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由已知，设，则双曲线， 又点在双曲线上，解得，则， 所以双曲线的标准方程为； （2）设直线， 由，得， 其中且， 所以， 设直线，令，得， 同理可得，故． 记以PQ为直径的圆与轴交于M，N两点，圆心为， 从而， 所以 ， 所以为定值. 【变式训练2-5-4】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程. (2)设为双曲线与轴负半轴的交点，直线与双曲线交于异于点的两点.若以为直径的圆经过点且于点，证明：存在定点，使得为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知，因为双曲线的渐近线方程为，所以， 因为，所以， 故双曲线的标准方程为. （2）证明：易知，设， （i）当直线的斜率存在时，设的方程为， 由化简得， 则，即，且， 因为， 所以， 化简得， 解得或，且均满足， 当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾； 当时，直线的方程为，过定点. （ii）当直线的斜率不存在时，由对称性可知，不妨设直线的方程为， 由得（舍去）或，此时直线过定点. 因为，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，即为的中点，为该圆半径， 因为中点坐标为，即为，且， 故存在定点，使得为定值. （6） 面积定值 【典型例题】已知双曲线的离心率是，虚轴长为2，是坐标原点. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与相切，交一条渐近线于点，求的面积； (3)点为的右支上任意一点，过点的直线与相切，交两条渐近线于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定值为 【详解】（1）由题意知解得 所以的标准方程为. （2）根据题意得，过的直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立消去得， 因为直线与相切，所以且， 解得，所以直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离为. 由（1）得，渐近线方程为，联立解得 所以点的坐标为， 又因为点，所以， 因此的面积为. 同理可得，当渐近线方程为时，的面积为. 综上所述，的面积为. （3）设过点与双曲线相切的直线为， ①当直线的斜率不存在时，直线， 直线与双曲线的两条渐近线的交点坐标为，， 所以的面积为； ②当直线的斜率存在时，不妨设直线，联立 消去得， 因为直线与双曲线相切，所以 解得，， 分别联立直线与双曲线的两条渐近线，即或 解得，， 所以， 原点到直线的距离为， 所以的面积为 综上，的面积为定值，该定值为. 【变式训练2-6-1】已知双曲线经过点，其一条渐近线斜率为．圆，点为第一象限上一点，点是的右顶点，点为上一点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且． (1)求的曲线方程； (2)求证：直线经过定点，并求出点的坐标； (3)设的右焦点为，直线交于点，作点关于轴的对称点，连接，直线与交于点．在的渐近线上是否存在点，使得的面积为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)存在，或． 【详解】（1）根据一条渐近线的斜率为，可知该双曲线为等轴双曲线． 设，将代入得，解得． 双曲线的方程为． （2）直线过定点． 已知直线的斜率为，直线的斜率为且，设的斜率为． 点在圆上，为直径，，即， ． 点在双曲线上，设，所以， ，即，，三点共线． 直线过定点，得证．    （3）设，，则． 直线，直线． 联立、整理得， 即， 即， 即． 设直线，则， 代入得 ， 联立，消去整理得， 所以， 代入． 点的轨迹是定直线． 要使的面积为定值， 点为过点与轴平行的直线与两条渐近线的交点， 又双曲线的渐近线方程为， 由，解得或，所以或．      【变式训练2-6-2】已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项. (1)求双曲线的标准方程. (2)已知直线与双曲线相切. ①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值； ②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值. 【答案】(1) (2)①是，；②是 【解题思路】（1）根据条件列方程组求解； （2）①设直线的方程为，与双曲线方程联立，根据得出，再根据弦长公式化简即可； ②联立直线与渐近线的方程求出两点的纵坐标，化简即可. 【解答过程】（1）因为的虚轴长为，所以.     因为PF垂直于轴，所以， 因为为实半轴长和半焦距的等差中项，所以， 因为，所以，则，故，     所以双曲线的标准方程为． （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，故设直线的方程为， 因为，所以直线与直线PF的交点， 直线与直线的交点，    由，得，    则，即.    ①因为，且，    所以，所以，为定值.    ②由得，同理可得，    所以.     因为原点到直线的距离，所以.    因为，所以，即的面积为定值.    【变式训练2-6-3】已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设右焦点为，一条渐近线的方程为，即， 所以右焦点到该渐近线的距离为， 因为，，所以，， 所以双曲线的方程为. （2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 而两条渐近线方程为， 不妨设与的交点为，与的交点为， 则或， 则； 当直线的斜率存在时，不妨设直线，且， 由，得， 由，得. 由，得. 不妨设与的交点为，则. 同理可得，所以. 因为原点到直线的距离，所以， 因为，所以，则. 综上所述，故的面积是定值，定值为. 【变式训练2-6-4】已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）根据题意得，则可得， 将上式两边平方，得， 整理得，所以， 所以 （2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 与联立得，与联立得， 故. 【变式训练2-6-5】已知双曲线的离心率为，直线与双曲线相交于，两点． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若以为直径的圆过双曲线的左顶点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (3)设点是满足（2）的双曲线上的一个动点，过分别作的渐近线的两条垂线，垂足分别为，，判断的面积是否为定值；若是，求出该定值并证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点，定点为 (3)为定值，定值为，证明见解析 【难度】0.4 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、双曲线中的定值问题、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】（1）由题意利用离心率求出，即得答案； （2）求出双曲线方程，联立直线方程，可得根系数关系式，结合题意知，化简可得，即可得结论； （3）求出的值，设渐近线的倾斜角为，则，求出，即可求出的面积，可得结论. 【详解】（1）由知，， 所以双曲线的渐近线方程为； （2）由，得，，双曲线的方程为 联立方程组得，， ， 设，，则，， 则，． 因为 即， 展开得 即， 即，，或． 当时，直线过，不符合题意，舍去； 当时，直线过定点． （3）由（1）知，双曲线的两条渐近线方程为和； 设，有，即， 则， 设渐近线的倾斜角为，则，， 所以的面积， 即的面积为定值，定值为． 【变式训练2-6-6】已知双曲线过点，其右焦点到渐近线的距离为1，过作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)为双曲线C上一动点，过点分别作两条渐近线的平行线交渐近线于，四边形OEPG的面积是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由； (3)在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在求出定点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)是定值，定值为； (3)存在定点，该定点坐标为. 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的定值问题、双曲线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，利用焦点到渐近线的距离及过的点求出参数值即可. （2）求出双曲线的渐近线方程，求出过点与其中一条渐近线平行的直线并求出与另一条渐近线的交点，再利用平行四边形面积公式计算求解. （3）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及已知求解. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为，右焦点， 双曲线的渐近线，点到渐近线的距离， 又，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线：的渐近线为， 由在双曲线上，得，即， 过点与直线平行的直线方程为， 由，解得，得交点， 依题意，四边形是平行四边形，， 点到直线的距离， 所以四边形的面积为定值.    （3）假设存在点， 由（1）知，，由直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为， 由消去得，设， ，解得或， 由，得，而， 于是，则平分，因此直线的斜率互为相反数， 即， ，解得， 所以在轴上存在定点，使恒成立. （七）向量定值 【典型例题】已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线交于两点. ①若直线，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)①；②存在， 【分析】（1）根据题意列出方程组，求解即可； （2）①写出直线的方程，与双曲线方程联立，求出弦长和点到的距离即可；②设，，当直线斜率不为0时，设，与双曲线方程联立，表示并化简得，根据为常数得出时；再验证当直线斜率时也满足即可. 【解析】（1）因为点在双曲线上，得 又因为渐近线方程为，所以， 解得，所以双曲线的方程为. （2）①直线斜率为，故直线的方程为， 代入双曲线得， ， 所以， 又点到的距离为， 故的面积为. ②设，， 当直线斜率不为0时，设，代入双曲线得， ，， 所以 ， 若为常数，则为常数，设为常数，则对任意的实数恒成立，，所以， 所以，此时. 当直线斜率时为，对于 所以，解得或（舍），所以在轴上存在定点，使得为定值. 【变式训练2-7-1】已知点P为双曲线上任意一点，为其左、右焦点，O为坐标原点．过点P向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M、N，则下列所述正确的是（    ） A．为定值 B．O、P、M、N四点一定共圆 C．的最小值为 D．存在点P满足P、M、三点共线时，P、N、三点也共线 【解析】设，点到渐近线的距离为， 同理，则，，即， （定值），故A正确； 当M、N均不与O重合时，由，和均为直角三角形， 故M，N两点在以OP为直径的圆上； 当M、N有与O重合时，也满足O、P、M、N四点共圆．故B正确； 由双曲线的对称性可知， 其中，，成立，故C正确； 如图， 利用双曲线的对称性，不妨设直线垂直一条渐近线，垂足为M；直线垂直另一条渐近线且交双曲线于点P，易知直线与直线的交点始终落在y轴上，故D不正确． 故选：ABC． 【变式训练2-7-2】已知双曲线（，）的焦距为，右顶点为A，直线l与双曲线E相交于P，Q两点，且与E的一条渐近线相交于点． (1)求双曲线E的方程； (2)是否存在直线l，使得与的面积相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由； (3)若直线AP，AQ分别与y轴相交于M，N两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由焦距可得，由渐近线方程可得，据此可得双曲线方程； （2）由题可得B为PQ中点，设，，由点差法可得直线PQ斜率为渐近线斜率，据此可完成判断； （3）方法1，设直线，将其与双曲线联立，由韦达定理结合题意可得MN的中点为，据此可完成证明；方法2，设，，由题可得，，将双曲线的方程化为，将其与直线联立，然后由韦达定理可得，据此可完成证明. 【详解】（1）由题，设双曲线E的焦距为2c，则，即， 根据双曲线的性质可知，点在渐近线上， 所以，即①， 又，所以② 又①②解得，， 所以E的标准方程为． （2）不存在，理由如下： 假设存在直线l，使得与的面积相等， 则点B为PQ的中点，设，，代入E的方程得：， 两式作差得， 因为点为PQ的中点，所以，， 故，即直线l的斜率为， 故直线，即， 此时，直线l与E的渐近线重合，与E没有交点，与已知矛盾， 所以不存在直线l，使得与的面积相等 （3）证明：由题可知，直线l的斜率存在，设直线，与E的方程联立，得， 由题，，得，且， 设，，则，， 设，，又，所以， 令得，同理可得， 故， 又 ， ，所以， 所以MN的中点为， 因为，所以， 所以为定值．得证． 另解：设，，又，所以， 令得，同理可得， 双曲线的方程化为：，即， 设直线，即， 联立得， 所以， 等式两边同时除以得：， 设，，易得满足方程， 则为方程两根，由韦达定理可得 ，故， 所以MN的中点为， 因为，所以， 所以为定值．得证 （八）其它定值 【典型例题1】已知双曲线，为坐标原点，，为双曲线上两动点，且，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【解析】由题意设直线方程为，直线方程为，设 则，同理， 所以，，即.故选：D 【典型例题2】已知，是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为（ ） A．16 B．12 C．8 D．随变化而变化 【解析】由双曲线方程知，，双曲线的渐近线方程为 直线的倾斜角为，所以，又直线过焦点，如图 所以直线与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，…………(1)， …………(2) 由(1)+(2)得，.故选：A 【典型例题3】已知圆圆与圆均外切. (1)求圆心的轨迹方程. (2)过点的直线与的轨迹交于两点，过原点作直线，点为直线与点的轨迹的交点. ①当的斜率为时，求的值； ②当的斜率不为时，求证：为定值. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【详解】（1）由题意可知，圆的圆心,半径，圆的圆心,半径, 由条件可得，即， 即根据双曲线的定义可知点是以为焦点，以为实轴长的双曲线的上支， 则,可得， 故圆心的轨迹方程为. （2）显然直线的斜率存在. ①当斜率为时，可知直线方程为，代入双曲线方程可解得； 所以,则. ②证明：当的斜率不为0时，设直线的方程为，点如下图： 联立与双曲线的方程得，易知， 则 因为直线与双曲线交于上支两点，所以， 则. 设直线的方程为，联立与双曲线的方程得 ∴可得. 故为定值. 【变式训练2-8-1】数学美的表现形式多种多样，其中美丽的黄金分割线分出的又岂止身材的绝妙配置，我们称（其中）的双曲线为黄金双曲线，若P为黄金双曲线上除实轴端点外任意一点，以原点O为圆心，实轴长为直径作，过P作的两条切线，切点分别为A，B，直线与x，y轴分别交于M，N两点，则（    ） A． B． C． D． 【解析】设，则，即. 因为，，所以，解得. 由题意四点共圆，圆心为的中点，半径为， 所以方程为；的方程为； 两式相减可得直线的方程，令得，即； 令得，即；， 所以.故选：B. 【变式训练2-8-2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，下列结论正确的是（    ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C．存在点，满足 D．点到两渐近线的距离的乘积为 【解析】对于A选项，因为，，则， 所以，双曲线的方程为，则，A错； 对于B选项，双曲线的渐近线方程为，B对； 对于C选项，若存在点，使得，则点必在双曲线的右支上， 由双曲线的定义可得，可得， 设点，则，则 ，矛盾，故不存在点，使得，C错； 对于D选项，设点，则， 则点到直线的距离为， 点到直线的距离为，所以，，D对. 故选：BD. 【变式训练2-8-3】已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点设的面积为S，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【解析】不妨设，则， ，， 因此，其中． 对于选项A，为定值． 对于选项B，由于， 因此若为定值，则为定值，从而和是确定的值，矛盾，对于选项C，D，有，因此是定值，不是定值． 故选：AC. 【变式训练2-8-4】已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（    ） A．的最小值为8 B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6 C．为定值 D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为 【解析】依题意，，，，，， 设，则，，即，双曲线C的两条渐近线方程为， 对于A，，A正确； 对于B，若Q在双曲线C的右支，则通径最短，通径为， 若Q在双曲线C的左支，则实轴最短，实轴长为，B错误； 对于C， 是定值，C正确； 对于D，不妨设，，直线l的方程为， 由得， 若直线l与双曲线C相切，则，化简整理得， 则点M，N的纵坐标之积，D正确. 故选：ACD.      【变式训练2-8-5】设P是双曲线右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E、F，则的值为 ． 【解析】渐近线方程为，设，则，所以． 由点到直线的距离公式有，， ∴. 16．已知双曲线，过点的动直线与C交于两点P，Q，若曲线C上存在某定点A使得为定值，则的值为 ． 【解析】设，，，，则， 由，可得，则，， 所以 ，要使为定值，则， 可得，，或，，，故． 【变式训练2-8-6】已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，且点. 【解题思路】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的方程； （2）①设点、，设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得直线、的斜率之和； ②设的外接圆方程为，分析可知方程与方程为同解方程，可得出关于、、的方程组，解出、，可得出点的坐标，求出直线的方程，当时，求出直线的方程，取点为直线与轴的交点，结合勾股定理可得出结论. 【解答过程】（1）双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以焦点到一条渐近线的距离为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）①设点、，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立可得， 则，解得或， 由题意可得，所以且， 所以 ， 即直线、的斜率之和为. ②设的外接圆方程为， 则， 由代入， 可得， 可得， 同理可得， 所以、为关于的方程的两根， 又因为、为关于的方程的两根， 所以方程与方程为同解方程， 所以，解得， 易知点，即点，， 所以直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，即， 直线与轴的交点为，不妨取点，此时， 则， 故在轴上存在定点，使得为定值. 【变式训练2-8-7】已知双曲线的左焦点为，过的直线与双曲线的左右两支相交，交点分别记为，过点的直线与双曲线相交于两点. (1)当时，过点，点位于第二象限，直线交于点，且分别与轴相交于点.求证： ①直线斜率之差为定值； ②的面积为定值. (2)当直线运动变化时，与始终保持垂直，且恒为定值，求动点所在曲线的方程. 【答案】(1)①定值为，证明见解析；②定值为，证明见解析 (2)或 【详解】（1）①当时，过点，此时方程为，联立双曲线，解得，由于点位于第二象限， 可知点坐标为，点坐标为，设， 直线，故直线斜率分别为：，， 而 ， 联立直线与双曲线得： ，因为直线与双曲线的左右两支相交， 故，且，解得， 根据韦达定理可知， 将其代入， 故直线斜率之差为定值，定值为. ②设，由①知， 解得，故位于定直线上，而的面积为， 故的面积为定值，定值为. （2）由题知恒为定值，即为定值， 对于：因为三点共线，所以 ， 由①知， 故，而， 故，所以， 对于： ，则直线的方程为：，设，， 直线与双曲线方程联立可得， 即， 所以， 所以，，， 得， 又因为， 所以， 当时，即时，为定值， 所以或, 故动点所在曲线的方程为或. 【变式训练2-8-8】已知双曲线的虚轴长为2，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是上的三个不同点. ①若，点在双曲线的同一支上，且是等边三角形，求； ②若（异于原点）是外接圆的圆心，直线的斜率均存在，并分别记为，求的值. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由题意，且，所以， 故曲线的方程为. （2）如图， ①若，设， 因为，所以. 因为在双曲线上，所以. 以上三个方程联立，解得或. 当时，则，由，得， 再由，可解得. 此时. 当时，因为在同一支上，则不满足条件，舍， 所以. ②根据条件均存在知均不为零， 设点，三角形外心， 则有， 两两相减可得：， 则的中垂线为， 将代入则：，整理得， 又点在直线上，所以有① 同理有的中垂线为， 又点在直线上，所以有② 由①②得，， 整理得：，即， 则有. 题型03：定直线问题 【典型例题1】已知双曲线的离心率为3，斜率为的直线分别交F的左右两支于A，B两点，直线分别交F的左、右两支于C，D两点，，交于点E，点E恒在直线l上，若直线l的斜率存在，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题得， 设的中点的中点， 则，得， 所以，所以①，同理得②， 因为，则E，M，N三点共线，所以，将①②代入得，即，因为直线l的斜率存在，所以， 所以，即点E在直线上.故选：A. 【典型例题2】在平面直角坐标系中，已知点，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且焦距为，实轴长为， 所以，则， 因此双曲线C的方程为； （2）设，则， 因为点A在x轴上方，且，所以易知直线的斜率存在，且斜率大于零， 因此可设直线的方程为：， 由，得，即， 所以①，②，， 又，所以③ 由①③得，代入②可得，即，解得（负值舍去）， 因此直线的方程为：，即； （3）同（2）设，直线的方程为：， 则； 因为直线m过点A与x轴平行，所以直线的方程为； 又，则直线的方程为， 由，得， 则，所以， 即， 所以， 因此直线的方程为：， 因为点Q是直线l与直线的交点， 由，得，解得， 所以点Q的横坐标是，因此点Q恒在定直线上. 【典型例题3】已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，直线与相交于．求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），，，整理可得：， 又，曲线的方程为：. （2）    由题意知：直线斜率不为，则可设， 设， 则直线，直线， 由得：， 由得：，则，即， ，，， ，解得：， 即点在定直线上. 【变式训练3-1】已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)是，直线 【解题思路】（1）根据已知及双曲线的定义写出的方程； （2）根据已知三角形面积及在双曲线上求出的坐标，结合重心的坐标性质确定点的坐标； （3）设的方程为，联立双曲线并应用韦达定理得，，写出直线与的方程，联立求出的轨迹，即可得. 【解答过程】（1）由题可知，，则． 又三点不共线，所以点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点）， 故的方程为； （2）设．因为的面积为24， 所以，得． 由，得． 因为是的重心， 所以或或或； （3）由题可知的斜率存在，可设的方程为． 由，得， 则，得，则，． 直线的方程为，直线的方程为， 则． 由，，得， 则，得， 故点在定直线上. 【变式训练3-2】已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且已知双曲线过点，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上（不含端点）． ①若为的中点，的面积为，求直线的斜率； ②直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点恒在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）根据双曲线过的点以及渐近线方程列出方程组求解双曲线方程； （2）（i）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率； （ii）通过设点坐标，利用直线方程求出与轴交点坐标，再根据中点关系证明点在定直线上. 【解答过程】（1）由题意，得，则①， 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②解得，故的方程为. （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，故直线的斜率存在. 设直线的方程为， 与联立得. 设、，由题意，得，解得. （i）因为为中点，所以. 由，得. 又，解得，所以直线的斜率为. （ii）设直线的方程为，令，得. 同理可得，，， 因为为中点，所以，即. 又因为点、、都在直线上， 所以， 整理，得， 代入韦达定理，得，所以. 因为，所以点恒在定直线上. 【变式训练3-3】已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 【答案】(1) (2)在， 【解题思路】（1）分析可知，可得出，利用三角形的面积公式可求出的值，进而可得出、的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，将直线、的方程联立，求出这两条直线交点的横坐标，即可得出结论. 【解答过程】（1）因为双曲线的离心率为，可得，则， 则，可得，则， 因此，双曲线的方程为. （2）若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得 ，解得. 因此，点在定直线上. 【变式训练3-4】已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点､､的坐标分别为，，. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点，是坐标原点. （i）记和的面积分别为，，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由题意：，解得， 所以双曲线的方程为：. （2） （i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立得， 设， 因为点在双曲线的左支上，所以，解得， 又，则， 即有，则，解得， 满足，所以，于是直线的方程为. （ii）由（i），则，故. ，则，所以直线的方程为， 同理，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：， 显然，由题意得：， 则， 则，故点轨迹方程为. 【变式训练3-5】已知双曲线：（，）过点，且焦距为10. (1)求的方程： (2)已知点，，为直线AB上一点， （ⅰ）若直线DE与恰有一个公共点，求直线DE的方程； （ⅱ）若在线段AB上，直线DE交于，两点.证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）或；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）由题意得，， 故，，所以的方程为. （2）设，则直线DE：. 由得，（*） （ⅰ）①当，即时， 由（*）可知，，， 此时，直线DE方程为，和双曲线仅有一个公共点，符合题意； ②当，即时，要使直线DE与双曲线仅有一个公共点，则，即， 此时，直线DE方程为，和双曲线仅有一个公共点，符合题意； 综上，直线DE方程为或. （ⅱ）当时，即，解得，因为在线段AB上，故， 由直线DE交于，两点， 设，，则（*）有两个不相等的实根，， 所以即，且，. 故 . 所以，所以，即. 【变式训练3-6】已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】(1)；(2)①或；②证明见解析 【分析】（1）由实轴长可得参数的值，根据双曲线的对称性与斜率公式建立方程，可得答案； （2）①由双曲线方程可得渐近线方程，结合题意建立不等式，可得答案； ②联立直线与双曲线方程并写出韦达定理，利用两点式表示直线与直线的方程，联立化简，可得答案. 【解析】（1）由题意可得，则， 设，则，且， 由直线的斜率，直线的斜率， 则，可得， 由，则，解得， 所以. （2） ①由，则渐近线方程为，显然直线，斜率存在，为， 易得，解得或； ②设，， 联立可得，消去可得， 由①可得，， 则，，两式相除可得，即， 由，，则直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 联立可得，则，即， 所以，解得. 综上可得直线与直线的交点在定直线上. 【变式训练3-7】已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）设，可得出，利用直线的斜率公式可证得为定值； （3）分析可知，直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，联立这两直线的方程，求出点的横坐标，即可证得结论成立. 【解析】（1）设双曲线的方程为， 由题意可得，解得，所以，双曲线的方程为． （2）由（1）可得、，设，则，可得， 因为，，所以，为定值. （3）设点、， 若直线与轴重合，此时，直线与双曲线的交点为双曲线的左、右顶点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， 由于直线与双曲线的左支有两个不同的交点， 则，解得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即，据此可得点在定直线上运动． 【变式训练3-8】已知点分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线于两点，当直线的斜率不存在时，. (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线的右焦点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，若的面积为，求该双曲线的方程； (3)在（2）的条件下，若点分别为双曲线的左､右顶点，直线与直线相交于点，证明：点在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）由题可得，据此可得离心率； （2）由（1）可设，然后由题可得，据此可得答案； （3）设，将直线，直线联立，可得，然后将直线方程和双曲线方程联立，由韦达定理可得，结合，可得，解方程可完成证明. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，点，所以， 所以，即，所以，即， 所以，即，解得（舍去. （2）由（1）可得，，所以可设，计算可得，点， 该双曲线的一条渐近线的方程为，即， 利用点到直线的距离公式可得， 又，所以，可得，所以 因此，可得该双曲线的方程为. （3）证明：由（2）可知，，设， 则直线，直线， 联立 两式相除可得，所以， 当直线的斜率为0时，不满足题意，所以设直线， 则， 代入可得， 联立整理得，所以 所以， 则 ，注意到， 所以，解得， 所以点在直线上. 【点睛】关键点睛：对于所涉点较多的圆锥曲线问题，通常可设点，而不是设点所在的直线.对于表达式中出现非对称式，常利用韦达定理去找到两根之和与两根之积之间的联系，从而化简相关表达式. 【变式训练3-9】已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线方程为为双曲线的左、右顶点． (1)求双曲线的方程． (2)过点作动圆（以为圆心）的两条切线分别交双曲线于异于点的，两点，试判断直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由． (3)已知动点满足直线的斜率的乘积的绝对值为2，记动点的轨迹为曲线．过点作直线交曲线分别于和（其中的横坐标的绝对值均大于1），求证：直线与的交点在定直线上． 【答案】(1) (2)是， (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）由双曲线的焦距为，得到，再根据一条渐近线方程为，由求解； （2）易知切线的斜率都存在，设过点的切线的方程为，根据直线与圆相切，由圆心到切线的距离为，得到，设切线的斜率，且，分别设直线PB，PC的方程，与双曲线方程联立求得点B，C的坐标，写出直线BC的方程求解； （3）由（1）得到动点的轨迹，其中，设直线的方程分别为和，其中，与双曲线的方程联立，求得E，F，M，N的坐标求解. 【详解】（1）由双曲线的焦距为可得， 又其中一条渐近线方程为，则， 解得， 所以双曲线的方程为. （2）由题意，切线的斜率都存在，设过点的切线的方程为，动圆的半径为，所以圆心到切线的距离为， 化简得，则的斜率是该方程的两个根，可得． 设直线， 联立方程得． 由韦达定理，，则，将其代入可得, 即得，同理可得,因，则得 又因为， 所以直线的方程为， 法一：直线的方程可化为 故直线过定点. 法二：根据双曲线的对称性，若定点存在，则一定在轴上，不妨设为， 将代入方程，得， 化简整理，得， 因,故由，解得． 故直线过定点. （3）由（1）知，设,依题意，, 化简得：,两边取平方，整理即得动点的轨迹方程为，其中. 由题意可设直线的方程分别为和，其中， 联立方程得，所以， 将代入到直线得到； 联立方程得，所以， 将代入到直线得到， 同理可得. 将点，同时向右平移一个单位长度，分别得到，，直线与轴交点的纵坐标为 ， 因此直线经过点， 同理可得（将互换）直线也经过点， 所以直线与的交点为，在定直线上. 【变式训练3-10】在平面直角坐标系xOy中，把一个图形绕定点G旋转一个定角的图形变换叫作旋转变换．定点G叫作旋转中心，定角叫作旋转角（规定逆时针方向为正）．如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点．现将曲线绕G顺时针旋转后，得到新曲线E，其变换关系为，点在曲线E上． (1)求曲线E的方程并确定点G的位置； (2)点的坐标为，按照如下方式依次构造点（，3，…）：过点作斜率为2的直线交E于另一点，设是点关于x轴的对称点．记的坐标为． （i）求证：数列为等比数列； （ii）记M为直线与直线的交点，N为直线与直线的交点，R为直线MN与直线的交点，证明：R在定直线上． 【答案】(1)，点G为坐标原点O (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、求平面轨迹方程、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）根据题设定义求解即可； （2）（i）由题意易得，，进而得到是首项为1，公比为的等比数列； （ii）先求出直线的方程为，，，可得直线的方程为，进而求证即可. 【详解】（1）依题意，得  即 ∴，故曲线E方程为．∵点在曲线E上，∴，故曲线E方程为．由对称性可知，点G为坐标原点O． （2） （i）依题意，得，得①， 又∵直线的斜率为2且，，∴②． 将②代入①中，得③，将②和③相减，得， 从而，∴是首项为1，公比为的等比数列． （ii）点R在定直线上．证明如下： ∵，， ∴直线的方程为， 令，得． ∵直线的方程为，直线的方程为， 联立解得． ∵直线的方程为，直线的方程为， 联立解得． ∴直线MN的方程为． 令，得， ∴直线与直线MN的交点坐标为， 故点R在定直线上． 【变式训练3-11】从双曲线上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，点分别是双曲线的左、右顶点，点，且，. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线分别交双曲线左右两支于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上. 【解析】（1）令，代入双曲线方程可得，所以设，， 因为，所以，即，所以. 因为，所以，所以，，， 所以双曲线的方程为.      （2）设，，直线， 联立可得，，由可得或， 所以，，直线    ① 直线    ②     ③ 由①÷②可得 把③代入上式化简可得，解得，所以点在定直线上.      1 学科网（北京）股份有限公司 $