18.1.1勾股定理 课件 2025--2026学年沪科版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦勾股定理，通过复习直角三角形已有性质（直角、锐角互余），引出三边关系问题，以方格网格点三角形面积探究为支架，引导学生发现正方形面积关系，进而抽象出定理。 其亮点在于融入《周髀算经》文化背景，用面积法拼图验证定理，结合几何画板动态探究，培养几何直观与推理意识。例题含分类讨论，小结明确定理及注意事项，助力学生构建知识体系，教师可提升教学效率。

第18章 勾股定理及其逆定理 18.1.1勾股定理 1. 经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想. (重点) 2. 会用勾股定理进行简单的计算. (难点) 学习目标 复习导入 A B C 说一说直角三角形有哪些性质？ ① 有一个直角，∠C = 90° ② 两个锐角互余，∠A + ∠B = 90° a b c 对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？ 观察图 (1)，并填写： S1＝__________个单位面积； S2＝__________个单位面积； S3＝__________个单位面积. 9 9 18 如图,在行距、列距都是1个单位长度的方格网中,Rt△ABC的顶点都是格点，∠ACB=，分别以△ABC的各边为正方形的一边，向形外作正方形,并用S1，S2与S3表示这三个正方形的面积. 观察图 (2)，并填写： S1＝__________个单位面积； S2＝__________个单位面积； S3＝__________个单位面积. 9 16 25 03 新知探究 探究 如图,在行距、列距都是1个单位长度的方格网中,Rt△ABC的顶点都是格点，∠ACB=，分别以△ABC的各边为正方形的一边，向形外作正方形,并用S1，S2与S3表示这三个正方形的面积. 1.观察图(1),并填写: S1= 个单位面积; S2= 个单位面积; S3= 个单位面积. 9 9 18 03 新知探究 2.观察图(2),并填写: S1= 个单位面积; S2= 个单位面积; S3= 个单位面积. 9 16 25 3.图(1),(2)中三个正方形面积之间有怎样的关系? 用它们的边长a，b，c表示: . a² + b² = c² 推进新课 勾 股 弦 3 4 5 并指出“两矩共长二十有五”. 在《周髀算经》的开篇，商高构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形， S1 = 9 S2 = 16 S3 = 25 这个直角三角形的三边满足： 两条直角边长的平方和______斜边长的平方 等于 如图，在行距、列距都是 1 个单位长度的方格网中，Rt△ABC 的顶点都是格点，∠ACB = 90°. 分别以△ABC 的各边为正方形的一边，向形外作正方形，并用 S1，S2 与 S3 表示这三个正方形的面积. 探究 S2 S3 S1 b c a （1） （2） S2 S3 S1 b c a 定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 我们称上述定理为勾股定理，国外称为毕达哥拉斯定理. 如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为 a2+b2=c2 已知：如图（1），在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = c，BC = a，AC = b. 求证：a2 + b2 = c2. 03 新知探究 4.如图18-2，在几何绘图软件中任意画一个Rt△ABC，其中∠C=90°、AB=c、BC=a、AC=b，度量△ABC的三边长a,b,c,猜想a,b,c有怎样的关系。 03 新知探究 猜想 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b. 则 a² + b² = c² . 探究 4. 画若干个直角三角形，分别度量它们的三边长，猜想三边长度有怎样的关系. 与同伴进行交流. 几何画板：直角三角形的三边关系 B C b c a A 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = c，BC = a，AC = b，则 a2 + b2 = c2 . B C b c a A 猜 想 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理. （a、b、c为正数） 如果直角三角形的两直角边用a,b表示,斜边用c表示,那么勾股定理可以表示为a2+b2=c2. 公式变形： 勾股定理 a b c 例1 如图,在Rt△ABC中,两直角边AC=5，BC=12.求: (1)AB的长; (2)斜边上的高 CD 的长. 解：(1)在Rt△ABC中， AB2=AC2+BC2=52+122=169. 则AB =13. (2)∵S△ABC=AC·BC=AB·CD， ∴CD = = = . 03 新知探究 证明：取4个与Rt△ABC全等的直角三角形,把它们拼成如图所示的边长为a+b的正方形EFGH. 由题意,得A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c. 因为∠B1A1E+∠A1B1E=90°，∠A1B1E=∠D1A1H, 所以∠B1A1E+∠D1A1H=90°，∠D1A1B1=90°, 同理:∠A1B1C1=∠B1C1D1=∠C1D1A1=90°, 则四边形 A1B1C1D1是边长为c的正方形. 03 新知探究 分别记正方形EFGH和正方形A1B1C1D1的面积 为S正方形EFGH和S正方形A1B1C1D1则S正方形EFGH-4S△ABC =S正方形A1B1C1D1 即 化简,得. 利用拼图来证明猜想： 1. 准备 4 个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c）. 2. 你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边 c 为边长的正方形吗？拼一拼，算算看！ b c a 拼法1 拼法2 b c a b c a c c b a b a b c a b c a c c b a b a 【变式题】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长. 解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当AB为斜边时，如图①， 当BC为斜边时，如图②， 4 3 A C B 4 3 C A B 图① 图② 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解. 03 新知探究 归纳 勾股定理 如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为a² + b² = c² :直角三角形两条直角边的平方和，等于以斜边的平方 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴. 03 新知探究 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 勾 股 国外又叫毕达哥拉斯定理 课堂小结 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2. 几何语言： 定理： B C b c a A 勾股定理 内容 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2. 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 $