第18章 勾股定理及其逆定理 （习题课件）2025-2026学年数学沪科版八年级下册

第18章 18. 2 勾股定理的逆定理 第1课时　勾股定理的逆定理及应用 沪科 八年级下册 1 01 02 03 04 核心必知 1星题 基础练 2星题 中档练 3星题 提升练 2 核心必知 3 1星题 基础练 1．[蚌埠月考]以下列各数为边长，能构成直角三角形的是(　　) 2．在△ABC中，如果三边满足关系式BC2＝AB2＋AC2，那么△ABC的直角是(　　) A．∠C B．∠A C．∠B D．不能确定 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 3.中，，，的对边分别是，， ，下列不 能判定 是直角三角形的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 4. (真实情境)如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边AB和BC的长分别为2.4 m和1 m，又测得点A与点C间的距离为2.6 m，则小红家的木门__________(填“已变形”或“没有变形”). 没有变形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 5．判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形．(12分) (1)，， ； 解： ，不是直角三角形. (2)，， . ，是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 补充设问 由长为,2, 的线段组成的三角形是不是直角三角 形？小明是这样做的： 解：设,, . ， ， , 由长为，2， 的线段组成的三角形不是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 你认为小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答 过程. 解：小明的解答不正确.正确的解答过程如下： , 由长为，2， 的线段组成的三角形是直角三角形. 本题易因在使用勾股定理的逆定理判断直角三角 形时，没有判断最长边而致错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 7. (数学文化)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．若a，3，4是一组勾股数，则a的值为__________. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 8. 已知实数、、是 的三边长，且 满足，，则关于 的形状，最准 确的描述是( ) D A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 2星题 中档练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 , , ， ， 是直角三角形. , , 是等腰直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 9．甲、乙两艘客轮沿不同方向同时离开港口P，航行的速度都是40 m/min，甲客轮用30 min到达点A，乙客轮用40 min到达点B，若A，B两点的直线距离为2 000 m，甲客轮沿北偏西60°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是(　　) A．南偏西30° B．北偏东60° C．南偏东30° D．南偏西60° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，DA＝24，且∠B＝90°，下列结论中：①∠D＝90°；②∠A＋∠C＝180°；③∠C＝120°；④S四边形ABCD＝204.其中正确的结论是(　　) A．② B．①② C．①④ D．①③④ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 11. 如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，AB＝3，AC＝5，AD＝2，求证：AD⊥AB. (1)分析问题：证垂直→证直角． (2)分析条件：AD为边BC上的________，尝试将分散的已知条件转化到同一个三角形中． (3)作出辅助线并证明． 中线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 证明：如图，延长AD至点E，使得AD＝DE，连接CE，∵AD为边BC上的中线，∴BD＝DC. 又∵AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD， ∴AB＝EC＝3，∠BAD＝∠E. ∵AE＝2AD＝4，AC＝5， ∴AC2＝AE2＋CE2， ∴∠E＝90°，∴∠BAD＝∠E＝90°，∴AD⊥AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 17 12.(新课标·开放性问题 泰州期中)如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，再添加一个条件就能够证明△ABC是直角三角形． (1)下面三个条件，依次按照难、中、易排列，请根据自己的认知水平，选择其中一个条件进行解答：①a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m，n是正整数，且m>n)；②a∶b∶c＝5∶12∶13；③∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5.我选择的条件是________________________________________(填序号)； 可以选择的条件有①或②或③(答案不唯一)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 18 (2)根据你选择的条件，求证：△ABC是直角三角形．(8分) 证明：选①：∵a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2， ∴a2＋b2＝(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4＋2m2n2＋n4，c2＝(m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4， ∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 19 或选②：设a＝5k，则b＝12k，c＝13k， ∴a2＋b2＝(5k)2＋(12k)2＝169k2，c2＝(13k)2＝169k2， ∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形； 或选③：设∠A＝2x，则∠B＝3x，∠C＝5x， ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴2x＋3x＋5x＝180°， ∴x＝18°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3星题 提升练 13. (推理能力)如图，点P是等边三角形ABC内的一点，分别连接PA，PB，PC，以BP为边向右作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接PQ，QC. (1)PA与QC之间的大小关系是__________． PA＝CQ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 21 (2)若PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠BQC的度数．(8分) 解：∵∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，∴△PBQ为等边三角形，∴∠BQP＝60°，PQ＝PB＝4. 由(1)知PA＝CQ＝3，又∵PC＝5，∴PQ2＋CQ2＝PC2， ∴∠PQC＝90°， ∴∠BQC＝∠BQP＋∠PQC＝150°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 22 A．1，2， B．2，3，4 C．3，5，8 D．32，42，52 6．[宣城期中]下列各组数为勾股数的是(　　) A．7，12，13 B.，， C．0.3，0.4，0.5 D．9，12，15 $第18章 18.1 勾股定理 第2课时 勾股定理的应用 沪科安徽 八年级下册 沪科 八年级下册 1 01 02 03 1星题 基础练 2星题 中档练 3星题 提升练 2 1星题 基础练 (第1题) 1.如图，将长为的梯子 斜靠在墙 上，使其顶端距离地面 ，则梯子 底端距离墙底端的距离 为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2．[莆田月考]如图，一棵大树在一次强台风中距地面5 m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12 m，这棵大树在折断前的高度为(　　) A．10 m B．15 m C．18 m D．20 m C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 3. (真实情境)如图是一块长方形草坪，AB是一条被踩踏的小路，已知AC＝12 m，BC＝9 m．为了避免行人继续踩踏草坪(走线段AB)，小梅分别在A，B处挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 4. (创新题·新题型)如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表100 m，以点O为原点，过数轴上的每一刻度点作同心圆，并将同心圆平均分成十二份．一艘海洋科考船在点O处用雷达发现A，B两处鱼群，那么A，B两处鱼群的距离是(　　) A．5 m B．400 m C．500 m D．300 m C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 5.如图，在高为，斜坡长为 的 楼梯台阶上铺地毯，则需要地毯的总 长是___ . 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 6.(跨学科·语文)图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 7. 某校在一次消防演练中，消防队员 需要通过攀爬长的云梯，到 高的宿 舍楼顶营救“被困”学生.已知消防车按如图所示 停放，云梯的底端距离地面，与宿舍外墙 的 距离是 .请问云梯够长吗？说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 解：够长，理由如下： 如答图，过点作于点,于点 ， 连接，则 , ,, ， ， . ， 云梯够长． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2星题 中档练 8.(数学文化 无锡模拟)《九章算术》中“折竹”问题(如图)：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高一丈，竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．(1丈＝10尺)问：竹子折断处离地面有几尺？”答：竹子折断处离地面有(　　) A．3尺 B．4尺 C．4.55尺 D．5尺 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 9.(数学文化淮南二模)我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.5 m，将它往前推3 m至C处时(即水平距离CD＝3 m)，踏板离地 的垂直高度CF＝2.5 m，它的绳索 始终拉直，则绳索AC的长是 ________m. 3.25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 10. (真实情境)刷牙是我们每天都要做的事，坚持早、晚刷牙有利于健康．如图，一把长为15 cm的牙刷置于底面直径为6 cm，高为8 cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是________. 5≤h≤7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 (第10题) 11.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯 子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离 为，顶端距离地面 .如果保持梯子底 端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距 离地面.则小巷的宽度为____ . 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12．[安徽模拟]如图，甲、乙两船同时从 码头开出，45分钟后，甲船到达 码头，乙船 到达 码头；已知甲船航行的速度是12海里/时， 乙船航行的速度是16海里/时，甲船航行的方向 15 n mile 是北偏东 ，乙船航行的方向是南偏东 ，则甲、乙两 船之间的距离 是________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3星题 提升练 13. (立德树人·弘扬传统文化)在某市“非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些数学问题，他设计了如下的方案：如图，先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15 m，根据手中余线长度，计算出AC的长度为17 m，牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5 m．已知点A，B，C，D在同一平面内．(8分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 (1)求风筝离地面的垂直高度CD； 解：(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E， 则易得AE＝BD＝15 m，AB＝DE＝1. 5 m， ∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，由勾股定理得CE＝ 即风筝离地面的垂直高度CD为9. 5 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 17 (2)在余线仅剩7.5 m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12 m，请问能否成功？请说明理由． 解：不能成功，理由如下： 假设能上升12 m，如图，延长DC至点F，使CF＝12 m，连接AF，∴EF＝CE＋CF＝8＋12＝20(m)． 在Rt△AEF中，由勾股定理得AF＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 18 ∵AC＝17 m，余线仅剩7. 5 m，而17＋7. 5＝24. 5<25，∴不能上升12 m，即不能成功． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x2＋22＝ ＝＝8， ∴CD＝CE＋ED＝8＋1. 5＝9. 5， ＝＝25. $第18章 18.1 勾股定理 第1课时 勾股定理 沪科安徽 八年级下册 沪科 八年级下册 1 01 02 03 04 核心必知 1星题 基础练 2星题 中档练 3星题 提升练 2 核心必知 3 1星题 基础练 1.［知识初练］如图，在 中， ，，，则 的长为 ( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 【变式题】 勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术 曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”.即 为勾，为股， 为弦)，若“勾”为3，“股”为5，则 “弦”是 _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 3．若一个等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为________. 4．[福州期中]如图，O为数轴的原点，点C表示的数为2，BC⊥OC于点C，BC＝1，以O为圆心、OB长为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数是________. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 5. 在中， . (1)若，，则 ____； (2)若，，则 ___； (3)若 ，，则 _____. 17 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 6.如图，大正方形的面积是_________，另一种 方法计算大正方形的面积是_____________， 两种结果相等，推得的等式是_____________， 这个等式被称为__________. 勾股定理 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 7.下列不能用来证明勾股定理的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 8.如图，①②③是三个正方形，②的面 积为56，③的面积为28，则①的面积为 ( ) C A.28 B.56 C.84 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 【变式题】 如图，以一个直角三角形的三 边为直径作3个半圆，若半圆形、半圆形 的面积分别是4、5，则半圆形 的面积是___. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2星题 中档练 9.［分类讨论思想］[2024·亳州期末] 若直角三角形的两边长 分别为和 ，则第三边长为( ) C A. B. C.或 D.或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 (第10题) 10．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处，则边AB上的中线长为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点， 连接BD，DE.将△CDE沿DE翻折， 点C落在BD上的点F处，求CE的长. 思维过程 (1)条件分析：D是AC的中点，则CD＝________；由翻折的性质可知，EF＝__________，DF＝________＝________． 3 CE CD 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 (2)问题转化：求CE或求EF，尝试勾股定理．以CE或EF为边的直角三角形中，哪个三角形已知两条边或各边可用含有CE的式子表示？ (3)计算求值：CE＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 12．[福州期末]如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°.(8分) (1)在边BC上求作点Q，使得AQ平分∠BAC；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：(1)如图，点Q即为所作． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 17 (2)在(1)的条件下，若AC＝4，AB＝5，求点Q到直线AB的距离． 解：如图，作QH⊥AB于点H. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，由勾股定理得BC＝ ∵AQ平分∠CAB，∠C＝90°，QH⊥AB， ∴CQ＝HQ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 18 ∴Rt△ACQ≌Rt△AHQ， ∴AH＝AC＝4，∴BH＝AB－AH＝1. 设HQ＝CQ＝x，则BQ＝BC－CQ＝3－x. 在Rt△BHQ中，由勾股定理得BQ2＝BH2＋HQ2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3星题 提升练 13.［推理能力］阅读材料：分析探索 题：细心观察图形(如图),认真分析各 式,然后解答问题. , ； , ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 20 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)请用含有( 为正整数)的等式表 示： _____； 2 (2)推算出 ______； 2 (3) 的值为 _____. 220 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 22 即时练透 【模型归纳】条件：已知 的三边长(如图). 方法：作，垂足为 .结论： . 【针对练习】 (第1题) 1.如图，在中， ， ，，则 的面积是 ____. 84 1 2 24 (第2题) 2.如图，在中，, , ，则 的面积为____. 24 1 2 25 2．[淮北期中]在平面直角坐标系中，点A(3，－4)到原点的距离为(　　) A. B．4 C．2 D．5 ＝＝3. 在Rt△ACQ和Rt△AHQ中， 即(3－x)2＝12＋x2，解得x＝. 即点Q到直线AB的距离为. $第18章 18. 2 勾股定理的逆定理 第2课时　勾股定理及勾股定理逆定理 的综合运用 沪科安徽 八年级下册 沪科 八年级下册 1 1.如图，将 放在正方形网格中 (图中每个小正方形的边长均为1)，点 ， ， 恰好在网格图中的格点上，那么 的度数为( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 2 【变式题1】 如图，在正方形组成的网格中，，， 均为 格点，则 _____. (变式题1) 1 2 3 4 3 【变式题2】 如图，在正方形组成的网格中，，， ， ，均为格点，则 _____. (变式题2) 1 2 3 4 4 【变式题3】 图①②中的网格均是正方形网格，每个小正方 形的边长均为1，且点，，，， 都在格点上. 1 2 3 4 5 (1)如图①， 的度数为______； (2)如图②， 的度数为_____. 1 2 3 4 6 2. (创新题·新设问北京期中)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图(不需要写画法)． 1 2 3 4 7 (1)在图中画一个，使其三边长分别为 ， ， ； 解：如图所示， 即为所求. 1 2 3 4 8 (2)在(1)的条件下，计算：___； 边上 的高为_ ____. 2 1 2 3 4 9 3.如图，在平面直角坐标系 中， 是坐标原点，已知 ，，则 _____. 1 2 3 4 10 4. 阅读与思考 下面是薇薇同学看到的知识点内容，请仔细阅读并完成相应 的任务. 1 2 3 4 11 对于平面直角坐标系中的任意两点 ， ，其两点间的距离 . 当，两点的横坐标相同时，， 两点间 的距离可表示为.当， 两 点的纵坐标相同时，， 两点间的距离可表示为 . 1 2 3 4 12 任务： (1)若，，则， 两点间的距离为______； 2 1 2 3 4 13 (2)若，，，请判断 的形 状，并说明理由. 解： 为等腰直角三角形.理由如下： ，， ， ， ， ， 1 2 3 4 14 ，， ， ， 为直角三角形， ， 为等腰直角三角形． 1 2 3 4 15 $