第5讲 一元二次方程、不等式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次方程、不等式”专题，依据新课标要求覆盖实根判断、零点关系、不等式求解等核心考点，通过表格梳理三个“二次”关系，结合判别式分类明确解集规律，归纳不含参、含参不等式及恒成立问题等常考题型，对接高考评价体系。 课件亮点在于“真题溯源+通法提炼+素养提升”，如以含参不等式为例，通过“二次项系数—判别式—根大小”三级分类训练逻辑思维，恒成立问题采用参数分离法培养数学眼光，配套高考真题跟踪练习和易错警示，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，高效备考。

第 5 讲 一元二次方程、不等式 第1章 集合、常用逻辑用语与不等式 · 2027 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数 01 理解函数的零点、方程根、图象与x轴交点横坐标的三个等价关系 02 能借助一元二次函数求解一元二次不等式 03 了解简单的分式、绝对值不等式的解法 04 · 课 标 要 求 · 必 备 知 识 梳 理 新高考第一轮复习 · 高三数学 1. 一元二次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. 2. 三个“二次”间的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两相异实根 x1,x2(x1<x2) 有两相等实根 x1=x2=- 没有实数根 新高考第一轮复习 · 高三数学 · 知 识 梳 理 · 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ____ ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 ________________ ____ ____ R {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 新高考第一轮复习 · 高三数学 · 知 识 梳 理 · 3. 分式不等式与整式不等式 (1) >0(<0)⇔__________________________ (2) ≥0(≤0)⇔____________________________ 4. 简单的绝对值不等式 绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为_____________________; |x|<a(a>0)的解集为_____________________. f(x)·g(x)>0(<0). f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. (-∞,-a)∪(a,+∞) (-a,a) 新高考第一轮复习 · 高三数学 · 知 识 梳 理 · 1. 易忽略：当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论. 2. 易错：当Δ<0时,注意区分不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R还是∅. 3. 不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔ · 重 要 结 论 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 (3)不等式x2≤a的解集为[-,].(　　) (4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R.( ) 1.判断下面结论是否正确(在括号内打“√”或“×”) (1)≥0等价于(x-3)(x-2)≥0.(　　) (2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(　　) 解 析 × √ × × (1)错误.≥0等价于(x-3)(x-2)≥0且x≠b. (3)错误.当a=0时,其解集为{0};当a<0时,其解集为∅. (4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为∅. · 课 前 自 测 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 2. (人教A·必修一·P53 T1·改编)不等式-2x2+x≤-3的解集为____________. 解 析 由-2x2+x≤-3可得2x2-x-3≥0, 即(2x-3)(x+1)≥0, 得x≤-1或x≥, 故不等式的解集为(-∞,-1]∪. (-∞,-1]∪ · 课 前 自 测 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 3. (北师大·必修一·P41 T1·改编) 若不等式x2+ax+b>0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞),则a+b=　　　　.  由题意，韦达定理可得-a=-1+2,b=(-1)×2, 即a=-1,b=-2,故a+b=-3. -3 · 课 前 自 测 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 4.(苏教·必修一·P69 T1·改编) 若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立, 则实数k的取值范围是　　　　　　　　　　.  由题意知 解得-3<k<0. (-3,0) · 课 前 自 测 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 考 点 题 型 剖 析 新高考第一轮复习 · 高三数学 1 解一元二次不等式 解 析 角度一：不含参一元二次不等式 例1（1）（2026高三下·湖南·阶段考）已知集合 ， ，则 （3，4） 不等式解得， 不等式，即 ， 解得，可得，， . · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零； （2）计算对应方程的判别式； （3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； （4）根据函数图象与 轴的相关位置写出不等式的解集. · 通 解 通 法 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 跟练1(1)(多选)下列说法正确的是(　　 ) A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件 1 解一元二次不等式 解 析 ABD 因为方程x2+x-2=0的解为x1=1,x2=-2,所以不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1},故A正确; 因为 -1≤0,即≤0,即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0),解得-3≤x<2,故B正确; 由|x-2|≥1,可得x-2≤-1或x-2≥1,解得x≤1或x≥3,所以解集为{x|x≤1或x≥3},故C错误; 由|x-1|<1,可得-1<x-1<1,解得0<x<2,由<0,可得-4<x<5,因此,是充分不必要条件,故D正确. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 角度二：含参一元二次不等式 例1 （2）解关于的不等式 . 当时，原不等式变形为 ， 当，即时，解得 ； 当时，解集为 ； 当，即时，解得 ； 当时，原不等式等价于，即 ； 当时， ， · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 角度二：含参一元二次不等式 例1 （2）解关于的不等式 . 原不等式可化为 ， 解得或 . 综上，当时，不等式的解集为或 ， 当时，不等式的解集为 ， 当时，不等式的解集为 ， 当时，不等式的解集为 ， 当时，不等式的解集为 . · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 (3)解关于x的不等式x2-ax+1<0,a∈R. 解 析 当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,原不等式的解集为∅, 当Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2时, 方程x2-ax+1=0的两根为x1=,x2=, 原不等式的解集为. 综上可知,当-2≤a≤2时,原不等式的解集为∅, 当a>2或a<-2时,原不等式的解集为. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1. 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： （1）根据二次项系数为正、负及零进行分类. （2）根据判别式 与0的关系判断根的个数. （3）有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1 解一元二次不等式 解 析 跟练1(2)已知函数f(x)=ax2+3x+2.若a>0,解关于x的不等式f(x)>-ax-1. 不等式f(x)>-ax-1可化为ax2+(a+3)x+3>0,即(ax+3)(x+1)>0. 因为a>0, 所以当-<-1,即0<a<3时,原不等式的解集为; 当-=-1,即a=3时,原不等式的解集为{x|x≠-1}; 当->-1,即a>3时,原不等式的解集为. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 例2(2026·泉州月考) (多选)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-2或x≥1},则(　　) A.b>0且c<0 B.4a+2b+c=0 C.不等式bx+c>0的解集为{x|x>2} D.不等式cx2-bx+a<0的解集为 2 三个二次之间的关系 解 析 AC 由题意可知则所以b>0且c<0,故A正确; 4a+2b+c=4a+2a-2a=4a>0,故B错误; 不等式bx+c>0,即ax-2a>0,解得x>2,故C正确; 不等式cx2-bx+a<0,即-2ax2-ax+a<0,即-a(2x-1)(x+1)<0,又a>0, 可得(2x-1)(x+1)>0,所以x>或x<-1,故D错误.故选AC. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1、一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点, 也是相应一元二次不等式解集的端点值. 2、给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及 与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. · 通 解 通 法 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 跟练2(多选)已知关于x的不等式a(x+1)·(x-3)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x1<x2),则下列结论正确的是( 　　) A.x1+x2=2 B.x1x2<-3 C.-1<x1<x2<3 D.x2-x1>4 解 析 2 三个二次之间的关系 ABD 由题意得a<0,且x1,x2是一元二次方程a(x+1)(x-3)+1=0,即ax2-2ax+1-3a=0的两根,所以x1+x2=-=2,故A正确; x1x2==-3<-3,故B正确; x2-x1===2>4,故D正确; 由x2-x1>4,可得-1<x1<x2<3是错误的,故C错误. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 3 一元二次不等式恒成立问题 角度一：在实数集R上恒成立 例3 (1)(2026·山东部分学校联考) 已知不等式x2-mx+4<0的解集为空集,则m的取值范围为(　　 ) A.(-4,4) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-4]∪[4,+∞) D.[-4,4] 解 析 ∵不等式x2-mx+4<0的解集为空集,∴不等式x2-mx+4≥0在R上恒成立, ∴m2-4×1×4≤0,∴-4≤m≤4, 即m的取值范围是[-4,4]. 故选D. D · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1、一元二次不等式在 上恒成立问题一般要结合二次函数图象，用判别式解决. （1）一元二次不等式对任意实数恒成立 （2）一元二次不等式对任意实数恒成立 注意：题目中是否有“一元二次”几个字，也就是判断是否要考虑二次项系数为0的情况. · 通 解 通 法 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 跟练3（1）（2024·浙江·模拟预测）若不等式 的解集为全体实数， 则实数 的取值范围是( ) 解 析 3 一元二次不等式恒成立问题 C A. B. C. D. 当时，不等式可化为 ， 显然不合题意； 当时，因为 的解集为全体实数，所以 解得.综上： . · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 例3（2） (2025·铁岭协作校调研)已知∀x∈[1,2],∀y∈[2,3],y2-xy-mx2≤0,则实数m的取值范围是(　　) A.[4,+∞) B.[0,+∞) C.[6,+∞) D.[8,+∞) 角度二：在给定区间上恒成立 解 析 C 因为x∈[1,2],y∈[2,3],则∈,所以∈[1,3], 又y2-xy-mx2≤0,可得m≥-,令t=∈[1,3],则∀t∈[1,3],m≥t2-t, 即只需m≥(t2-t)max,t2-t=-,当t=3时,t2-t取到最大值,(t2-t)max=9-3=6, 所以实数m的取值范围是[6,+∞).故选C. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1、一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法 （1）若在集合中恒成立，则集合是不等式 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或取值范围）. （2）转化为函数值域问题，即已知函数的值域为，则 恒成立 ，即；恒成立，即 . · 通 解 通 法 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 跟练3（2）（2026·陕西·一模）已知命题任意 ， 为真命题，则实数 的取值范围为( ) 解 析 3 一元二次不等式恒成立问题 C A. B. C. D. 设，则，原命题等价于：任意， 为真命题，所以，其中 .设 ，则函数， 的最大值为 与中的较大者，所以解得 . · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 例3 （3）若不等式，当时恒成立，则 的取值范围是_______________________ 角度三：给定参数范围的恒成立问题 解 析 (-∞,-1)∪(3,+∞) 不等式可化为 ，则 ，令， 则 解得或 . · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1、解给定参数范围的不等式恒成立问题， 可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置（变换主元），构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围求解. · 通 解 通 法 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 跟练3（3）已知关于x的不等式2x-1>m(x2-1). 若不等式对于m∈[-2,2]恒成立,求实数x的取值范围. 解 析 3 一元二次不等式恒成立问题 设f(m)=(x2-1)m-(2x-1),当m∈[-2,2]时,f(m)<0恒成立. 当且仅当即 由①得<x<. 由②得x<或x>. 取交集,得<x<. 所以x的取值范围是. · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 角度四：不等式能成立或有解问题 解 析 例3 （4） 已知关于的不等式在 上有解， 则实数 的取值范围是_______________________ 问题转化为在上有解，设，则 ， ，又， 当且仅当时取等号，则 ，故 . · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 1、能成立或有解问题与恒成立问题处理方法类似， 一般也是转化为函数的最值问题，一是直接研究原函数的最值； 二是参数分离后研究最值，常用到以下两个结论： 能成立 ； 能成立 . · 通 解 通 法 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 3 一元二次不等式恒成立问题 跟练3（4）若存在，有解，则实数 的 取值范围为___________________. 因为的图象开口向上，对称轴为直线 ，①当 ，即时，，即 ， ；②当，即 时， ，解得或， ；③当 ，即时，，解得 .综上， 或 . · 题 型 剖 析 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 走 进 高 考 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 (−2,3) · 走 进 高 考 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 C · 走 进 高 考 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 (-1,3) · 走 进 高 考 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 A · 走 进 高 考 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 A A. B. C. D. · 走 进 高 考 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 解 析 · 走 进 高 考 · 新高考第一轮复习 · 高三数学 本 讲 结 束 新高考第一轮复习 · 高三数学 $