一元二次函数、方程和不等式 章末总结课件-2025届高三数学一轮复习

第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末总结 2025年高考数学一轮基础知识复习 1 例1 已知,,,求证： . 【解析】, . 于是 . , , ②. （当且仅当 时取等号）, , 2 . 综上可得 . 上面的证明同学们看懂并不困难，并且这样处理很快就可解决问题.但是其中的关键 步骤，如缩小变形①与恒等变形②是怎样想到的呢？同学们往往无法体会，而这恰 恰是解题研究的精髓.为此，同学们不妨自己动手做一做，看看会出现什么问题. 另外,不少同学会这样来做： ,,, ③， . 上面的证明看似正确，但没有达到我们的目标，下面分析一下原因： ,当且仅当,即时取等号，但由,,知 ,因此 与中的等号都不能取到，只能是与 . 这就是说，缩小变形③是不恰当的，缩得过小,此路不通！ 我们再认真观察题目的特点，不难发现：所给条件和结论中字母和 是“对称”的， 为此，我们取,代入中，得.这说明，当 时， 4 取得最小值.这启发我们进行如下变形： . 先看,当且仅当，即 时取等号， 但,故的方法是不妥的（缩小变形不恰当）.再看 ，当且仅 当，即 时取等号，这样做是恰当的，于是 ,即只要证 ④. 如何证明④呢？ 考虑中 为多少时，,当且仅当 时取等号，由此可得 . 于是有 ⑤, 当且仅当 时取等号. 由已知，得（当且仅当时取等号）,故 ⑥. 由⑤⑥得 .下面再给出例1的其他几种证法. 证法一 设 ，则 . （当且仅当 时取等号）, ⑦， ⑧. ，得 , ,即 , 又（当且仅当时取等号），故 . 7 证法二 . , , ⑨. 易得 , , . 因此⑨式成立，故原不等式成立. 8 命题点1 利用基本不等式求最值 例2 (2023·全国高中数学联赛吉林赛区预赛) 若不等式对任意满足的正实数,, 均成立，则实 数 的最大值为________. 【解析】由 ,得 , 当且仅当且,即, 时取等号. 的最小值为,即实数 的最大值为 . 9 例3 (全国高中数学联赛福建赛区预赛)若正实数,满足,则 的最大 值为 . 【答案】54 【解析】由题设知， ， 所以,,当且仅当,即, 时等 号成立. 所以 的最大值为54. 10 例4 (全国高中数学联赛四川赛区预赛)已知正实数,满足，则 的最小值是. 【答案】 【解析】记, , 则,，且 , 所以,当且仅当 , ，即, 时等号成立， 所以的最小值为 . 11 例5 (2022·上海交大强基测试)已知，则 的最小值为. 【答案】 【解析】,, ,即 ，当且仅当 即 即时等号成立.故的最小值为 . 12 例6 (2023·全国高中数学联赛江西赛区预赛)设,, .证明： ,并确定等号成立的条件. 【解析】 , 当且仅当,即 时，等号成立. 13 例7 (2023·南京大学强基计划)已知,,,求 的 最小值. 【解析】由柯西不等式可知 , 当且仅当时，即, 时，等号成立. 故原式的最小值为 . 14 命题点2 不等式的解集问题 例8 (2022· 全国高中数学联赛一试B卷)不等式 的解集为_______________ ____________. 或 【解析】移项通分可得,进一步整理得 ， 则解集为或 . 15 例9 (2023·全国高中数学联赛吉林赛区预赛)已知集合 , .若集合的子集个数为4，则实数 的取值范围是 _________________. 【解析】由题意，集合中的元素个数为2，即 为二元集合， 易知或 , 16 图2-1 设,函数图象如图2-1所示，则 中的 元素为4和5，即 解得 . 所以实数的取值范围是 . 17 例10 (2023·中山大学强基计划)解不等式 . 【解析】易知,,所以且 . 原式可化简为 ， 即 ， 得 ， 所以 ， 化简得,即 . 综上，不等式的解集为或 }. 18 感谢观看 $$