第1章 第5讲 第2课时 一元二次不等式及其应用(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次不等式及其应用”专题，依据课程标准要求，覆盖三个“二次”关系、含参数不等式解法、恒成立问题等核心考点。通过梳理近五年高考真题及模拟题，明确“三个‘二次’关系应用”“含参不等式分类讨论”等高频题型，构建系统备考体系。 课件亮点在于“真题情境+分层突破+素养提升”策略，如以2025年全国二卷分式不等式为例，解析“等价转化法”，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言表达（模型观念）。特设“规律方法总结”和“易错点警示”，助力学生掌握分类讨论、分离参数等解题技巧，教师可依托分层测评精准教学，实现高效备考。

第5讲　一元二次函数与一元二次不等式 第2课时　一元二次不等式及其应用 高三总复习讲义 北师大版 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 课程标准 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二 次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等 式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、 方程的联系． 03 课时分层测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.一元二次不等式 (1)一元二次不等式的概念 一般地，形如______________，或______________，或______________，或_______________(其中，x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式． (2)使一元二次不等式成立的________________组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． ax2＋bx＋c＞0 ax2＋bx＋c＜0 ax2＋bx＋c≥0 ax2＋bx＋c≤0 所有未知数的值 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 函数y＝ax2＋bx＋c的图象       2.三个“二次”之间的关系 不等式ax2＋bx＋c＞0的解集 _____________________ _______________ R 不等式ax2＋bx＋c＜0的解集 __________________ ∅ ∅ {x|x＜x1，或x＞x2} {x|x≠－} {x|x1＜x＜x2} 3.分式不等式与整式不等式 (1)＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)． (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 常用结论 1.简单的绝对值不等式|x|＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)⋃(a，＋∞)；|x|＜a(a＞0)的解集为(－a，a)． 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间． 2.不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔ √ √ 自测诊断 1.(多选)(链接北师必修一P40A组T2)下列结论正确的是 A．若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0 B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R C．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0 D．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集 2.(链接北师必修一P37例3)不等式(x－3)(x＋2)＞0的解集为 A．{x|－2＜x＜3} B． C．{x|x＞3，或x＜－2} D． √ 直接根据一元二次不等式解得x＞3，或x＜－2，则解集为{x|x＞3，或x＜－2}．故选C． 3.(2025·上海卷)不等式＜0的解集为________． 原不等式转化为＜0，解得1＜x＜3，则其解集为． 4.(链接人教A必修一P58T6)已知∀x∈R，使得ax2－ax＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________． 当a＝0时，1≥0恒成立，所以a＝0符合题意，当a≠0时，因为∀x∈R，使得ax2－ax＋1≥0恒成立，所以解得0＜a≤4，综上，0≤a≤4，即实数a的取值范围是． 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　三个“二次”间的关系 自主练透 √ 1.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x＜x＜}，则a－b的值是 A．－10 B．－14 C．10 D．14 因为x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，所以所以a－b＝－10.故选A． √ 2.(多选)(2026·江苏南通模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为⋃，则 A．a＞0且c＞0 B．不等式bx＋c＞0的解集为 C．a－b＋c＞0 D．不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为 √ √ 因为关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为∪，所以a＞0且1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以x1＋x2＝－＝3，x1x2＝＝2，所以b＝－3a，c＝2a.对于A，因为a＞0，所以c＝2a＞0，故A正确；对于B，因为b＝－3a，c＝2a，所以bx＋c＞0可化为－3ax＋2a＞0.因为a＞0，所以－3x＋2＞0，解得x＜，所以不等式bx＋c＞0的解集为，故B错误； 对于C，因为a＞0，1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向上，所以当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，故C正确；对于D，不等式cx2＋bx＋a＜0可化为2ax2－3ax＋a＜0，因为a＞0，所以2x2－3x＋1＜0，即(2x－1)(x－1)＜0，解得＜x＜1，所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为{x｜＜x＜1}，故D正确.故选ACD. 3.若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1 ＝15，则a的值为____． 根据题意知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的实数根，所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又因为x2－x1＝15，所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2.又a＞0，解得a＝． 1.一元二次方程的根，即对应二次函数的零点、二次不等式解集的端点． 2.已知二次不等式解集，可推知对应函数的开口方向及与x轴的交点，进而用代入根或韦达定理求系数． 规律方法 考点二　一元二次不等式的解法 高考超重点，多维探究 √ 角度1　不含参数的一元二次不等式 1.不等式－x2－3x＜－4的解集为 A． B． C． D．或 由－x2－3x＜－4得x2＋3x－4＞0，即(x＋4)(x－1)＞0，解得x＜－4或x＞1，所以不等式－x2－3x＜－4的解集为．故选C． √ 2.(2025·全国二卷)不等式≥2的解集为 A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x＜1} D．{x|x＞1} 由≥2，得≥0，得得－2 ≤x＜1.故选C． 3.求下列不等式的解集： (1)－3x2－2x＋8≥0； 解：原不等式可化为3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集为． (2)|x|(1－2x)＞0； 解：原不等式等价于且x≠0， 所以原不等式的解集为{x}． (3)0＜x2－x－2≤4. 解：原不等式等价于 ⇔ 借助于数轴，如图所示， 所以原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1，或2＜x≤3}． 角度2　含参数的一元二次不等式 (一题多变)(北师必修一P38例4)求关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0的解集，其中a是常数． 解：原不等式可化为(x－a)(x＋1)＜0. 当a＞－1时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a}； 当a＝－1时，原不等式的解集为∅； 当a＜－1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜－1}． 典例1 变式探究 1.解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0. 解：原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0. 当a＞1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜a}； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a＜1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜1}． 数智赋能辅助 2.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． 解：原不等式可化为(ax－1)(x－1)＜0， 因为a＞0，所以a(x－)(x－1)＜0. 当a＞1时，解得＜x＜1； 当a＝1时，解集为∅； 当0＜a＜1时，解得1＜x＜． 综上，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜}； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a＞1时，原不等式的解集为． 3.解关于x的不等式ax2＋x＋6＞0(a∈R)． 解：原不等式为ax2＋x＋6＞0，即＞0， ①当a＝0时，原不等式化为3x＋6＞0，解得x＞－2； ②当a＞0时，原不等式化为＞0， 当＝2即a＝时原不等式解集为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)， 当＞2即a＜时原不等式解集为(－∞，－)∪(－2，＋∞)， 当＜2，即a＞时原不等式解集为(－∞，－2)∪(－，＋∞)； ③当a＜0时，原不等式化为＜0.原不等式解集为. 综上，当a＝0时，不等式解集为； 当a＜0时，不等式解集为； 当0＜a＜时，不等式解集为(－∞，－)∪(－2，＋∞)； 当a＝时，不等式解集为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)； 当a＞时，不等式解集为(－∞，－2)∪(－，＋∞). 教师备选 解关于x的不等式ax2＋x－a＞1. 解：原不等式可化为ax2＋x－＞0⇒(x－1)＞0. 若a＝0，则不等式的解为x＞1. 若a＞0，则＞0， 所以x＜－或x＞1. 若a＜0，则＜0. 当1＞－1－，即a＜－时，所以－1－＜x＜1； 当1＝－1－，即a＝－时，不等式无解； 当1＜－1－，即－＜a＜0时，所以1＜x＜－1－. 综上可知： 当a＜－时，原不等式的解集为； 当a＝－时，原不等式的解集为∅； 当－＜a＜0时，原不等式的解集为； 当a＝0时，原不等式的解集为； 当a＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1－)∪(1，＋∞). 1.分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组． 2.含参不等式分类讨论，常见依据：①二次项系数的正、负、零；②判别式Δ与0的大小；③有两实根时，比较两根大小． 规律方法 考点三　一元二次不等式恒(能)成立问题 多维探究 典例2 √ 角度1　在R上的恒成立问题 (2026·山东临沂期末)若关于x的不等式mx2－5x＋m≤0的解集为R，则实数m的取值范围是 A． B．(－∞，－) C． D． 当m＝0时，不等式－5x≤0，解得x≥0，显然解集不是R，不符合题意；当m≠0，由不等式的解集为R，则m＜0，Δ＝－4m2≤0，解得m≤－，即实数m的取值范围是.故选A. √ 角度2　在给定区间上的恒成立问题 (1)对任意x∈［1，2］，不等式ax2－2x＋3a＜0恒成立，则实数a的取值范围是 A．(－∞，) B．(－∞，) C．(，＋∞) D．(－∞，) 典例3 分离参数得a＜，要使对任意x∈[1，2]，不等式ax2－2x＋3a＜0恒成立，只需a＜.又因为＝，令f(x)＝x＋，由对勾函数性质可知，f(x)在[1，)上单调递减，在[，2]上单调递增，又f(1)＝4，f(2)＝，所以f(x)max＝4，所以＝，所以a＜.故选D. (2)(一题多解)已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈［1，3］，f(x)＜5－m 恒成立，则实数m的取值范围是__________． 要使f(x)＜5－m在x∈［1，3］上恒成立，即mm－6＜0在x∈［1，3］上恒成立． 法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈［1，3］．当m＞0时，g(x)在［1，3］上单调递增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6＜0，所以m＜ ；当m＝0时，－6＜0恒成立；当m＜0时，g(x)在［1，3］上单调递减，所以g(x)max＝g(1)，即m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0.综上所述，实数m的取值范围是． 法二：因为x2－x＋1＝＋＞0，m(x2－x＋1)－6＜0在x∈[1，3]上恒成立，所以m＜在x∈[1，3]上恒成立.令y＝，因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可.所以实数m的取值范围是. √ 角度3　在给定参数范围的恒成立问题 (2025·江西九江期末)若命题“∃a∈［1，3］，ax2＋(a－2)x－2＞0”是假命题，则x不能等于 A．－1 B．0 C．0.5 D．1 典例4 根据题意，知原命题的否定“∀a∈，ax2＋x－2≤0”为真命题．令f(a)＝(x2＋x)a－2x－2，故解得－1≤x≤．故选D． 一元二次不等式恒成立问题的解题策略 规律方法 前提：(1)弄清楚自变量、参数，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数；(2)弄清楚是在R上恒成立，还是在给定区间上恒成立 判别式法 适用于“在R上恒成立”问题(典例2) 数形结合法、分离参数法、分类讨论法 适用于“在给定区间上恒成立”问题(典例3)，此时不能用判别式Δ 规律方法 主参变换法 适用于“已知参数范围求函数自变量范围”问题(典例4)，此时的解题思路是“更换主元”，把参数当作函数的自变量，得到一个新的函数，然后利用新函数求解 对点练．已知关于x的不等式2x－1＞m． (1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由； 解：原不等式等价于mx2－2x＋＜0， 当m＝0时，－2x＋1＜0不恒成立， 当m≠0时，不等式对于x∈R恒成立， 则需m＜0且4－4m＜0，无解， 所以不存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立． (2)若不等式对于x∈恒成立，求实数m的取值范围； 解：因为x＞1，所以m＜，设2x－1＝t，则x2－1＝， 所以m＜＝. 设g＝t－＋2，t∈， 显然g上单调递增，且g＝0， 所以m≤0，所以实数m的取值范围是. (3)若不等式对于m∈恒成立，求实数x的取值范围； 解：设f＝m－，当m∈[－2，2]时，f＜0恒成立， 当且仅当 解得 所以实数x的取值范围是. (4)若不等式在［2，3］上有解，求实数m的取值范围． 解：因为x∈[2，3]，不等式可整理为m＜，即m＜. 设2x－1＝t∈[3，5]，则x2－1＝， 所以m＜()max＝()max＝()max. 因为函数y＝t和函数y＝－在[3，5]上均为增函数，所以函数y＝t－＋2在[3，5]上为增函数，则函数y＝在[3，5]上为减函数，所以m＜()max＝1. 所以实数m的取值范围是(－∞，1). 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.(2026·湖南永州模拟)已知集合A＝，B＝，则A⋃B＝ A．，或 B． C． D．，或 √ 在集合A中，因为1－≤0，所以≤0，则解得－2＜x≤2，所以A＝{x｜－2＜x≤2}.因为B＝＝{x｜0＜x＜3}，故A∪B＝.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 教师备选 (2026·湖北黄冈模拟)已知集合A＝，B＝，则A⋂B＝ A．⋃ B． C．⋃ D．⋃ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于集合A＝－1≤0，进一步化简为≤0，所以A＝{x|x＜1，或x≥2}．对于集合B＝≥0，所以B＝{x|x≤1，或x≥2}．所以A⋂B＝{x|x＜1，或x≥2}＝⋃［2，＋∞)．故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2.(2026·福建漳州期末)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，则关于x的不等式bx2＋ax＋c＞0的解集为 A．∅ B．R C． D． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则由bx2＋ax＋c＞0得－3ax2＋ax＋2a＝a＞0，即3x2－x－2＞0，解得x＜－或x＞1.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 3.若不等式mx2＋mx－4＜2x2＋2x对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是 A． B． C．⋃ D． mx2＋mx－4＜2x2＋2x⇔x2＋(m－2)x－4＜0，因为不等式对于任意x均成立，所以当m＝2时，－4＜0，符合题意；当m≠2时，则解得m∈，综上所述m∈．故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 4.(2026·黑龙江大庆模拟)若关于x的不等式ax2＋bx－2＞0的解集为，则实数a的取值范围是 A． B． C． D．⋃ 因为关于x的不等式ax2＋bx－2＞0的解集为，所以a＜0且＜－2，解得－＜a＜0，所以实数a的取值范围是．故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 5.(多选)(2026·广东深圳模拟)下列说法正确的是 A．不等式4x2－5x＋1＞0的解集为{x＜x＜1} B．不等式2x2－x－6≤0的解集为{x，或x≥2} C．若不等式ax2＋8ax＋21＜0恒成立，则a的取值范围是∅ D．若关于x的不等式2x2＋px－3＜0的解集为，则p＋q的值为－ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 对于A，4x2－5x＋1＞0⇔＞0⇔x＜或x＞1，故A错误；对于B，2x2－x－6≤0⇔≤0⇔－≤x≤2，故B错误；若不等式ax2＋8ax＋21＜0恒成立，当a＝0时，21＜0是不可能成立的，所以只能而该不等式组无解，综上，故C正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 对于D，由题意得q，1是一元二次方程2x2＋px－3＝0的两根，从而解得p＝1，q＝－，而当p＝1，q＝－时，一元二次不等式2x2＋x－3＜0⇔(x－1)＜0⇔－＜x＜1满足题意，所以p＋q的值为－，故D正确.故选CD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 6.(多选)已知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x＜x＜t，t＞1}，则 A．a＞c＞0 B．b＜－2a＜0 C．≥0 D．2－2＞＋t √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 依题意，可知和t为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＞0，t＞1，所以即b＝－a，a＝c＞0，故A错误；因为t＞1，所以＋t＞2＝2，所以b＜－2a＜0，故B正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 而＝［a－a＋a］·＝a2≥0，故C正确；因为－2－＝(＋t－)2－，且＋t＞2，所以－＞0，即－2＞＋t，故D正确.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 7.(2026·天津滨海新区模拟)若关于x的不等式x2＋ax－2＞0在区间上恒成立，则实数a的取值范围是__________． 不等式x2＋ax－2＞0在区间上恒成立等价于a＞－x在上恒成立.设函数f(x)＝－x，x∈，g(x)＝，h(x)＝－x都是减函数，所以f(x)在x∈上是单调递减函数，所以f(x)max＝f＝－1＋2＝1，所以a＞1，即实数a的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 8.已知关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，其中a＜b且a，b∈R，若该不等式的解集恰好为［a，b］，则b－a＝____． 4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 由二次函数y＝x2－3x＋4＝(x2－4x＋4)＋1＝＋1，所以ymin＝1.若a＞1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集一定是两个区间，而不是一个区间，所以a≤1，而当a≤1时，因为二次函数关于x＝2对称，所以不等式的解集[a，b]中的端点值满足a＋b＝4，此时有x＝b，y＝b，代入得b＝b2－3b＋4⇒3b2－16b＋16＝0⇒(3b－4)(b－4)＝0，解得b＝或b＝4，当b＝时，a＝4－b＝＞1与a≤1矛盾，故舍去b＝；当b＝4时，a＝4－b＝0，此时满足题意，即b－a＝4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 9.(10分)(2026·吉林长春模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－4x＋3. (1)若f(x)＜0的解集为{x|1＜x＜b}，求ab的值； 解：若f(x)＜0的解集为{x|1＜x＜b}，则1，b是方程f(x)＝0的根． 由a－4＋3＝0，解得a＝1，由1＋b＝＝4，解得b＝3， 所以ab＝3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (2)解关于x的不等式f(x)＞2ax－2x－1. 解：由二次函数f(x)＝ax2－4x＋3知a≠0， 不等式f(x)＞2ax－2x－1整理得ax2－(2a＋2)x＋4＞0，即(ax－2)(x－2)＞0. 由(ax－2)(x－2)＝0，得x1＝，x2＝2. ①当a＞0时，不等式等价于(x－2)＞0， 若＞2，即0＜a＜1时，解集为(－∞，2)∪； 若＝2，即a＝1时，解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)； 若＜2，即a＞1时，解集为∪(2，＋∞)； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 ②当a＜0时，不等式等价于(x－2)＜0，解集为. 综上，当0＜a＜1时，原不等式的解集为(－∞，2)⋃； 当a＝1时，原不等式的解集为(－∞，2)⋃(2，＋∞)； 当a＞1时，原不等式的解集为⋃(2，＋∞)； 当a＜0时，原不等式的解集为． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 10.(2026·陕西渭南模拟)若关于x的不等式2ax2－4x＜ax－2有且只有一个整数解，则实数a的取值范围是 A． B．［1，2) C． D． √ 当a＝0时，解得x＞，不满足条件；故a≠0，关于x的不等式2ax2－4x＜ax－2可得2ax2－x＋2＜0，所以＜0，即a(2x－1)＜0，当a＜0时，不等式可化为＞0，x1＝，x2＝＜0，不等式的解集为∪，不满足条件； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 当a＞0时，不等式可化为＜0，当a＞4时，不等式的解集为，要使不等式有且只有一个整数解，则－1≤＜0.又因为a＞0，不满足条件；当a＝4时，不等式的解集为空集，当0＜a＜4时，不等式的解集为，要使不等式有且只有一个整数解，则1＜≤2，解得1≤a＜2，故实数a的取值范围是[1，2).故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 11.(新定义)(多选)(2026·辽宁大连模拟)若关于x的不等式在x∈上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式．下列不等式是单位区间不等式 的有 A．2x2－x＜0 B．x＋＞2 C．x2－2x＜0 D．x＋＞2 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 对于A，2x2－x＜0的解集为，故A错误；对于B，当x＞0时，x＋≥2(当且仅当x＝1时，等号成立)，因为1∉，所以x＋＞2在x∈上恒成立，故B正确；对于C，x2－2x＜0的解集为，在x∈上恒成立，故C正确；对于D，当x＞0时，x＋≥2(当且仅当x＝时，等号成立).因为∉，所以x＋＞2在x∈上恒成立，故D正确.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 12.(15分)(一题多问)已知f(x)＝ax2－3x－4. (1)若f(x)≥0在x∈［1，2］上恒成立，求实数a的取值范围； 解：f(x)≥0在x∈［1，2］上恒成立，即ax2－3x－4≥0在x∈［1，2］上恒成立， 所以a≥在x∈[1，2]上恒成立，等价于a≥，x∈[1，2]. 令y＝＝4＋3＝4－，∈. 由二次函数的性质知， 当＝1，即x＝1时，ymax＝＝7，即a≥7， 故实数a的取值范围是[7，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (2)若f(x)≥0对∀a∈［1，2］恒成立，求实数x的取值范围； 解：令g(a)＝ax2－3x－4，则有 即解得x≥4或x≤－1. 故x的取值范围是(－∞，－1］⋃［4，＋∞)． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (3)解关于x的不等式f(x)≥0. 解：由题意可知f(x)＝ax2－3x－4≥0. 当a＝0时，－3x－4≥0，解得x≤－， 所以不等式的解集为． 当a≠0时，令Δ＝9＋16a＞0，得a＞－， 由ax2－3x－4＝0， 解得x1＝． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 当a＞0时，x1＜x2，所以不等式的解集为 ； 当－＜a＜0时，x1＞x2，所以不等式的解集为. 当Δ＝9＋16a＝0，即a＝－， 所以不等式的解集为． 当Δ＝9＋16a＜0，即a＜－时，原不等式的解集为∅． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 综上所述，当a＝0时， 原不等式的解集为； 当a＞0时，原不等式的解集为(x)； 当－＜a＜0时，原不等式的解集为 ； 当a＝－时，原不等式的解集为； 当a＜－时，原不等式的解集为∅． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 13.(新角度)下面给出了问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，解关于x的不等式ax2－bx＋c＞0.”的一种解法： 因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，又不等式ax2－bx＋c＞0可化为a(－x)2＋b(－x)＋c＞0，所以－2＜－x＜1，即－1＜x＜2.所以不等式ax2－bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}． 参考上述解法，解答问题： 若关于x的不等式＋＜0的解集为{x|－2＜x＜－1，或1＜x＜3}，则关于x的不等式＋＜0的解集为 A．⋃ B．(－1，1)⋃(1，3) C．(－3，－1)⋃(1，2) D．⋃ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 因为x＝0不是不等式＋＜0的解，所以不等式＋＜0等价于＋＜0，所以－2＜－＜－1或1＜－＜3，解得－1＜x＜－＜x＜1.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 14.(2026·浙江温州模拟)设实数m满足条件：关于x的方程x2＋x＋(m＋1)＝0至多一个实数根． (1)则实数m的取值范围是___________； ［0，3］ 由方程至多一个实数根需满足Δ≤0，其中判别式Δ＝·(m＋1)＝m2－2m＋1－m－1＝m2－3m≤0，解得0≤m≤3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)在此条件下，使m2－xm－x＋1≥0有解，则x的取值范围是__________． (－∞，］ 对于m∈，使m2－xm－x＋1≥0有解，即x≤在m∈上能成立.所以令f(m)＝，所以x≤f(m)max.令t＝m＋1，则m＝t－1，t∈，则g(t)＝＝t＋－2.因为对勾函数g(t)＝t＋－2在上单调递减，在上单调递增，所以g(1)＝1，g(4)＝， 所以g(t)max＝，则x≤. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 第2课时　一元二次不等式及其应用 $