精品解析：黑龙江哈尔滨道外区五校联盟2025-2026学年八年级下学期期中学情测试数学试卷

2025-2026学年度下学期“五校联盟”八年级期中调研测试 数学试卷 一、选择题 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 3. 中，，则为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )． A. 5m B. 7m C. 8m D. 10m 6. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 下列命题正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 平行四边形的对角线相等 D. 矩形具有正方形的一切性质 8. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 5 10. 已知点A、B为某图形边上的两个顶点，动点P从点A出发，沿此图形的边顺时针匀速运动到点B，设点P的运动时间为t，的面积为S（当点P与点A或B重合时，记），S与t的函数关系如图所示，则该图形可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. D、E分别为、中点，，则________． 13. 若点在函数的图象上，则t的值为________． 14. 已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，底边长为y，则y关于x的函数表达式是 ． 15. 如图，在中，，，，D为的中点，则的长为________． 16. 如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在F处，、相交于点E，，，则的长度为________． 17. 中，与的平分线交于点P，，，则________． 18. 如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下的面积为________________． 19. 正方形的边长为4，E为正方形边上一点，，则________________． 20. 如图，E、F在正方形边、的延长线上，且，连接、交于点O，点为中点，在结论：①；②；③；④若，则的最小值为中，正确的有________________． 三、解答题 21. 计算 （1）； （2）． 22. 化简求值：，其中． 23. 如图，在网格中，每个小正方形边长为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，画平行四边形； （2）在图2中，画的中线； （3）在图3中，画的角平分线； （4）在图4中，在边上取点，使． 24. 定义：对角线相等的四边形称为“对等四边形”如图，四边形中，，则四边形为对等四边形． （1）下列四边形一定是对等四边形的是________． ①矩形；②平行四边形；③菱形；④正方形． （2）四边形是正方形，E为边上一点，F为边上一点，，求证：四边形是对等四边形． （3）中，，，，P为上的动点，当四边形是对等四边形时，则的长为______________． 25. 某学校运动会需要购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需要60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元． （1）求A、B两种奖品的单价各是多少元； （2）学校计划购买A、B两种奖品，且A种奖品的数量比B种奖品数量的3倍少10件，设B种奖品购买m件，总费用为p元，求p与m之间的函数关系式； （3）若购买的总费用p不多于800元，求最多购买B种奖品多少件？ 26. 已知E正方形对角线上一点，F为上一点，连接、，． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，过F作于N，若，，求． 27. 已知平面直角坐标系中，四边形为面积为15的矩形，． （1）直接写出点B的坐标； （2）点D的坐标为，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，设的面积为S，运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． （3）过点D作x轴的垂线，在点P运动过程中，在上取点M，使得A、P、M和第一象限的点N构成正方形，求出此时的t值和N点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期“五校联盟”八年级期中调研测试 数学试卷 一、选择题 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式定义为形如的式子叫做二次根式，由此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、是整式，不符合二次根式形式，不符合题意； B、是分式，不符合二次根式形式，不符合题意； C、，符合二次根式定义，符合题意； D、属于三次根式，不符合定义，不符合题意． 2. 已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 直接利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵一个直角三角形两直角边长分别为3和4， ∴这个直角三角形的斜边长． 故选：A． 3. 中，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形对角相等的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，故A错误． B、2与不是同类二次根式，故B错误． C、原式=，故C正确． D、原式=，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 5. 如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )． A. 5m B. 7m C. 8m D. 10m 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：由题意得 在中，根据勾股定理得： 所以大树的高度是3+5=8(米)． 故选C. 6. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，，即两组对边分别平行，故四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B、由，，四边形可能为等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，本选项符合题意； C、，，即一组对边平行且相等，故四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D、，，即两组对边分别相等，故四边形是平行四边形，本选项不符合题意． 7. 下列命题正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 平行四边形的对角线相等 D. 矩形具有正方形的一切性质 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关定理逐项判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形才是矩形，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故A选项错误； B、根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故B选项正确； C、平行四边形的性质是对角线互相平分，不一定相等，只有特殊平行四边形才满足对角线相等，故C选项错误； D、矩形不具备正方形的部分性质，例如矩形对角线不互相垂直，邻边不一定相等，因此矩形不具有正方形的一切性质，故D选项错误． 8. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出，，等边对等角，进行求解即可． 【详解】解：在正方形的外侧，作等边三角形， 则：， ∴， ∴； 故选：B． 9. 如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于F，证，得，是中位线，即可求解． 【详解】解：延长交于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， ∵D是的中点，， ∴． 10. 已知点A、B为某图形边上的两个顶点，动点P从点A出发，沿此图形的边顺时针匀速运动到点B，设点P的运动时间为t，的面积为S（当点P与点A或B重合时，记），S与t的函数关系如图所示，则该图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：题干中函数特点：的面积随时间的变化分为三个阶段：S逐渐增大，S保持不变，S逐渐减小到0： 对于选项A：A、B是底边端点，动点P从A顺时针运动到B仅经过2条边，面积变化只有增大和减小两个阶段，没有面积不变的阶段，故该选项不符合； 选项B：A、B是下底两个相邻端点，P从A顺时针运动到B经过3条边，变化如下： 第一阶段：P从A到左上顶点，P到的距离逐渐增大，故面积逐渐增大，对应函数上升段； 第二阶段：P从左上到右上顶点，顶边平行于，P到的距离不变，因此面积不变，对应函数水平段； 第三阶段：P从右上顶点到B，P到的距离逐渐减小到0，所以面积逐渐减小到0，对应函数下降段，故该选项符合； 选项C：P从A顺时针到B会经过4条边，P到的距离不会出现一段保持不变的过程，故该选项不符合； 选项D：A、B是相邻顶点，P从A顺时针到B的过程中，P到的距离不会出现一段保持不变的过程，故该选项不符合； 故选：B． 二、填空题 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. D、E分别为、中点，，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【详解】解：∵D，E分别为边，的中点，， ∴. 13. 若点在函数的图象上，则t的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将点的横坐标代入函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴． 14. 已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，底边长为y，则y关于x的函数表达式是 ． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的周长为20得出，进而得出结论． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为20，其中腰长为x，底边长为y， ∴， ∴． 15. 如图，在中，，，，D为的中点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上中线等于斜边的一半是解题的关键． 先由勾股定理求出，再由直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵D为的中点， ∴， 故答案为：． 16. 如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在F处，、相交于点E，，，则的长度为________． 【答案】5 【解析】 【分析】由矩形性质得，故；结合折叠性质，可推出，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ， 由折叠可得，， ， ， 设，则，． 在中， 解得． 17. 中，与的平分线交于点P，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得出，，结合角平分线的定义可求出，根据三角形内角和定理得出，然后根据勾股定理求解即可. 【详解】解：∵中，， ∴，， ∴， ∵与的平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴. 18. 如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下的面积为________________． 【答案】60 【解析】 【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，得出大正方形的边长，再求面积即可求得答案． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 这两个小正方形的边长分别为和， 大正方形的边长为， 余下部分的面积为：． 19. 正方形的边长为4，E为正方形边上一点，，则________________． 【答案】3或 【解析】 【分析】根据正方形边长为，判断只能在边或边上，分两种情况利用勾股定理计算的长度． 【详解】解：正方形的边长为， ∴，， 若在边上，则，不符合题意； 若在边上，则，不符合题意； 因此只能在边或边上， 分两种情况讨论： 当在边上时，如下图所示： 在中，，，由勾股定理得； 当在边上时，如下图所示： 在中，，，由勾股定理得：， ∴， ∴， 综上，的值为或． 20. 如图，E、F在正方形边、的延长线上，且，连接、交于点O，点为中点，在结论：①；②；③；④若，则的最小值为中，正确的有________________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先证明，得出，，即可判断①正确；证明出，再结合直角三角形的性质即可判断②正确；连接，证明，得出，再求出，即可判断③错误；取的中点，连接、，则，由勾股定理可得，再结合，即可判断④正确． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴，即， ∵点为中点， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； 取的中点，连接、， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为，故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 三、解答题 21. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得出结果； （2）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，灵活运用分式的运算法则、因式分解以及二次根式的分母有理化是解题的关键．解题时，先通过因式分解对分式进行约分，再进行分式的加减运算化简式子，最后将给定的代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 23. 如图，在网格中，每个小正方形边长为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，画平行四边形； （2）在图2中，画的中线； （3）在图3中，画的角平分线； （4）在图4中，在边上取点，使． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析 （4）图见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形“一组对边平行且相等”的判定定理，利用网格平移的性质，将点按点到点的方向和距离平移得到点，再顺次连接、、、，即可画出平行四边形； （2）由于在网格水平线上且长度为个单位，中点不在格点位置，可通过在最中间上下两格子处作对角线交于点，利用全等三角形（或）可确定为中点，再连接顶点与中点，即可得到的中线； （3）先利用勾股定理计算出，可知是以为顶点的等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，的角平分线与边的交点即为的中点，找到该中点后连接，即为的角平分线； （4）利用网格构造以为直角边，点为直角顶点的等腰直角三角形，斜边与交点即为点，由等腰直角三角形底角为可知． 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，即为所求； 【小问4详解】 解：如图，点即为所求． 24. 定义：对角线相等的四边形称为“对等四边形”如图，四边形中，，则四边形为对等四边形． （1）下列四边形一定是对等四边形的是________． ①矩形；②平行四边形；③菱形；④正方形． （2）四边形是正方形，E为边上一点，F为边上一点，，求证：四边形是对等四边形． （3）中，，，，P为上的动点，当四边形是对等四边形时，则的长为______________． 【答案】（1）①④ （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据对等四边形的定义判断即可； （2）连接，利用勾股定理证明即可； （3）过作交的延长线于，过作，连接，先求出，进而得到，，则，再由勾股定理得到，由对等四边形的定义可得，设，可得，，再在中，利用勾股定理解出即可求解． 【小问1详解】 解：由矩形和正方形的对角线相等， 则下列四边形一定是对等四边形的是①④； 【小问2详解】 证明：连接， 在正方形中，，， 又， ， 故四边形是对等四边形； 【小问3详解】 解：过作交的延长线于，过作，连接， ， ，， ， ， ，， ， 又四边形是对等四边形， 所以， 设， 又，， 为等腰直角三角形，则，， 又， ，整理得， 解得或， 或． 25. 某学校运动会需要购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需要60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元． （1）求A、B两种奖品的单价各是多少元； （2）学校计划购买A、B两种奖品，且A种奖品的数量比B种奖品数量的3倍少10件，设B种奖品购买m件，总费用为p元，求p与m之间的函数关系式； （3）若购买的总费用p不多于800元，求最多购买B种奖品多少件？ 【答案】（1）A种奖品10元/件，B种奖品15元/件 （2）（且为整数） （3）最多购买B种奖品20件 【解析】 【分析】（1）设A种奖品x元/件，B种奖品y元/件，根据条件建立方程组求出其解即可； （2）根据总费用=两种奖品的费用之和表示出p与m的关系式； （3）列不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设A种奖品x元/件，B种奖品y元/件，根据题意可列 ， 解得：． 答：A种奖品10元/件，B种奖品15元/件． 【小问2详解】 解：设B种奖品购买m件，则购买A种奖品件， ， 解得， 又m为整数， 且为整数， ， （且为整数）． 【小问3详解】 解：， ， ，又且为整数， 则最多购买B种奖品20件． 26. 已知E正方形对角线上一点，F为上一点，连接、，． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，过F作于N，若，，求． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设，表示出，再根据三角形的外角的定义表示出，即可证明； （2）连接，过点E作，先证，再证，可得；证明，得出，再证明是等腰直角三角形，问题可证； （3）过点A作，，连接交于O，利用 “”证明，结合（1）、（2）的结论，利用 “”证明，设，，即，利用勾股定理可得，进而表示出、，接着利用 “”证明，可表示出， 即可求出，最后在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：设， ， ， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ． 【小问2详解】 连接，过点E作，如图， 四边形为正方形， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵， ∴， ∵在（1）中已证明：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即； 【小问3详解】 过点A作，，连接交于O， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在（1）、（2）中已经证明，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴设，，即， 在中，， ∴， ，即，， ，即，, 即， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∵在中，， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，问题的难点在第三问，构造全等三角形，得到与等线段的长度关系是解答本题的关键． 27. 已知平面直角坐标系中，四边形为面积为15的矩形，． （1）直接写出点B的坐标； （2）点D的坐标为，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，设的面积为S，运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． （3）过点D作x轴的垂线，在点P运动过程中，在上取点M，使得A、P、M和第一象限的点N构成正方形，求出此时的t值和N点坐标． 【答案】（1） （2） （3）①，；②， 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积即可求解的长度，由此可得点B的坐标； （2）根据点P在线段上以及的延长线上分别求解面积即可； （3）分类讨论以为正方形的边和以为正方形的对角线两种情况，设出点P的坐标，点M的坐标，以及点N的坐标，结合三角形全等的性质，即边长对应相等以及点的平移求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为面积为15的矩形，， ∴，且点B在第一象限， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：当点P在线段上时，， ∴，则， ∴， 当点P在的延长线上时，， ∴，则， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当以为正方形的边时， 过点P作轴于点G，过点N作轴于点H，如图， 设点，点，点， ∴，，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，，，， ∴，解得；， ∴点， ∵点，点，点，点， ∵点M的横坐标向右平移10个单位长度可得到点N的坐标， ∴点P的横坐标向右平移10个单位长度可得到点A的坐标， 即，解得， ∴点，点， 此时，则； ②以为正方形的对角线时， 记作与的交点为点C，如图， 设点，点，点， ∴，，，， 同理可证， ∴，， ∴，解得；，解得， ∴点，点， ∵点，点，点，点， ∵点M的坐标向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点A的坐标， ∴点P的坐标向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点N的坐标， ∴，，即，， ∴点， 此时，则； 综上，①，；②，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $