精品解析：黑龙江省哈尔滨市道外区青衿协作体2024—2025学年下学期期中考试八年级数学试卷

道外区青衿协作体2024-2025下学期 期中教学质量评估 八年级数学 考试时间：120分钟 试题总分：120分 一、选择题：（每题3分，共计30分） 1. 在直角坐标系中，点A(3，2)到原点的距离是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，AB⊥x轴于点B， ∵A（3，2）， ∴OB=3，AB=2， ∴OA=， ∴点A（3，2）到原点的距离是， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 2. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ） A. 6，7，8 B. 5，6，7 C. ，， D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形．依次验证各选项即可． 【详解】解：选项A（6，7，8） 最长边为8，验证和： ，，和为，而． ∵， ∴不能组成直角三角形． 选项B（5，6，7） 最长边为7，验证和： ，，和为，而． ∵， ∴不能组成直角三角形． 选项C（，，） 化简为（，2，），最长边为，验证 和： ，，和为，而． ∵， ∴不能组成直角三角形． 选项D（5，12，13） 最长边为13，验证 和： ，，和为，而． ∵， ∴能组成直角三角形． 故选D． 3. 下列图形一定不是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解轴对称图形的定义是解题的关键．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．根据轴对称图形的定义，逐一判断各选项是否可能存在对称轴即可. 【详解】解：普通的平行四边形（非菱形、非矩形）没有对称轴，但菱形（对称轴为对角线所在的直线）和矩形（对称轴为对边中点连线所在的直线）作为特殊平行四边形是轴对称的，因此，平行四边形不一定是轴对称图形，但存在轴对称的情况，故它不满足“一定不是轴对称图形”的条件，然而，题目选项中其他选项均为轴对称图形，因此选项A是唯一可能符合条件的答案； 矩形是轴对称图形，有两条对称轴（对边中点连线所在的直线），因此排除； 等腰三角形有一条对称轴（底边的高所在的直线），因此排除； 等边三角形有三条对称轴（每条边的高所在的直线），因此排除； 综上，其他选项均为轴对称图形，而平行四边形在一般情况下不是轴对称图形， 故选A 4. 在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．逐一判定即可求解． 【详解】解：A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故正确； B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形；可以判定，故正确； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定．故正确． D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，等腰梯形满足条件．故该选项错误． 故选：D． 【点睛】此题主要考查对平行四边形的判定掌握的熟练程度．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关． 5. 两个全等的三角形最多可以拼出（ ）个不同的平行四边形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的拼接，全等三角形的性质，平行四边形的判定，熟知两个全等三角形对应边重合放在一起即可拼接成平行四边形是解题的关键． 两个全等三角形通过不同的边拼接组合，最多可形成3种不同的平行四边形． 【详解】解：全等三角形性质：两个全等三角形的对应边相等，对应角相等． 拼接方式分析： 每个三角形有3条边，将其中一条边作为公共边进行拼接，其余两边作为平行四边形的邻边． 若两三角形三边长度均不相等（如普通锐角三角形），则每次选择不同的公共边拼接，可形成不同形状的平行四边形． 验证平行四边形条件： 拼接后四边形的对边分别由原三角形的对应边组成，对边相等且平行，满足平行四边形的定义． 分别形成三种邻边长度或角度不同的平行四边形． 即最多可拼出3个不同的平行四边形． 故选C． 6. 下列说法能判定是矩形的是（ ） A. 四条边都相等的四边形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 对角线相等的平行四边形 D. 一组对边平行且相等的四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，解题关键是掌握特殊平行四边形的判定． 根据矩形的判定定理逐一分析，确定正确选项． 【详解】解：四条边都相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故A错误； 对角线互相垂直的四边形可能是菱形或一般四边形，无法直接判定为矩形，故B错误； 对角线相等的平行四边形必为矩形（矩形判定定理），故C正确； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故D错误， 故选：C． 7. 在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，然后过点作于点，则可求得的长，继而求得答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ， 则， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含有角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质、含有角的直角三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 8. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（ ）． A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理，判断出四边形ADEF平行四边形，根据平行四边形的性质求出ADEF的周长即可． 【详解】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点， ∴DE∥AC，EF∥AB，DE=AC=5，EF=AB=3， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∴AD=EF，DE=AF， ∴四边形ADEF的周长为2（DE+EF）=16， 故选A． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，利用中位线定理判断出四边形ADEF为平行四边形是解题的关键． 9. 直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边上的中线长是（ ） A. 26 B. 13 C. 8.5 D. 6.5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵直角三角形中，两直角边分别是12和5， ∴斜边为：， ∴斜边上的中线长为×13＝6.5， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 10. 如图，G、E分别为平行四边形的边的中点，则和平行四边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对边平行且相等，以及三角形面积的求法．设的面积为1，分别表示出，，的面积即可求解． 【详解】解：设的面积为1， ∵G、E分别是边的中点， ∴的面积为，的面积为，的面积为， ∴的面积为：， ∴和的面积之比为， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共计30分） 11. 平行四边形两邻角，则________度． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形两邻角，可设，由邻角互补得到，求得，由平行四边形对角相等即可得到答案． 【详解】解：∵平行四边形两邻角， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴, 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等、邻角互补是解题的关键． 12. 如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m． 【答案】10 【解析】 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】两棵树的高度差为8m-2m=6m，间距为8m 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离m． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 13. 已知,平行四边形ABCD的周长为20cm，且AD-AB=2cm，则AD=_________cm 【答案】6 【解析】 【分析】由平行四边形ABCD的周长为20cm可得半周长：AD+AB=10cm，结合AD-AB=2cm组成方程组，解方程组即可. 【详解】解：∵平行四边形ABCD的周长为20cm ∴AD+AB=10， 又∵AD-AB=2， 解得：AD=6,AB=4 故答案：6 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及解二元一次方程组，掌握平行四边形的性质是解题的关键. 14. 如图所示，M点所表示的数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数与勾股定理，由勾股定理求出图中直角三角形斜边长，即可求得点M所表示的数． 【详解】解：由题意知，图中直角三角形斜边长为，则M点所表示的数为； 故答案：． 15. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为6，8，那么这个直角三角形斜边上的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边，设斜边上的高为h，根据同一三角形面积一定，列方程求出这个直角三角形斜边上的高． 【详解】解：直角三角形的两条直角边分别为6，8， 斜边为， 设斜边上的高为h， 则直角三角形的面积为，解得， 故答案为：； 【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是求出斜边，利用等积法求高． 16. 在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则________ 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的证明，勾股定理的灵活运用，本题中证明三角形全等得到相邻两个正放的正方形面积和等于这两个正方形间斜放的面积是解题的关键．由正方形的性质证明，则可得，同理得，，由此即可求解． 【详解】解：如图，由题意知，； ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 同理得，， ∴； 故答案为：4． 17. 如图，在中，，，的平分线交于点D，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质、直角三角形的特征、全等三角形的判定及性质、勾股定理，作点P关于直线的对称点，连接交于点Q，根据轴对称图形的性质及全等三角形的性质得点在边上，利用勾股定理求得，再根据直角三角形的特征即可求解，找准的最小值的位置是解题的关键． 【详解】解：作点P关于直线的对称点，连接交于点Q，如图： 则， ∵根据对称的性质知， ， 又是的平分线，点P在边上，点Q在直线上， ， ， ∴点边上． ∵当时，线段最短． 在中，，， ， 则当点是斜边的中点时，，此时， 即的最小值是， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，将沿折叠得，与交于点F，若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，此为解决该题的关键性结论；运用勾股定理列出关于线段的方程，即可解决问题． 【详解】解：四边形为矩形， ，； ，； ； 由题意得：， ， ，设，则； 由勾股定理得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题以矩形为载体，以翻折变换为方法，以考查矩形的性质、勾股定理等几何知识点为核心构造而成；灵活运用等腰三角形的判定、勾股定理等知识点来分析、判断、推理或解答是关键． 19. 矩形中，，，P是矩形边上的点，且，则的长是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理等知识；作的垂直平分线，分别交于点，则；利用矩形的性质及勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，分别交于点，则； ∵四边形为矩形， ∴， 在中，由勾股定理得； ∵， 在中，； 综上，的长是或； 故答案为：或． 20. 如图：在内有一点D，连接、、，，，，若，，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，延长至点E，使，连接，设，导角可得，证明，得出，，则，求出，根据勾股定理求出，进而求出，然后根据勾股定理求即可． 【详解】解：延长至点E，使，连接， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共计60分） 21. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式． （1）先把各根式化为最简二次根式，合并即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 22. 如图，在小正方形边长为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上. （1）在方格纸中画出以AB为斜边的直角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且△ABE的面积为5； （2）在方格纸中画出以CD为一边的△CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为4，CF与（1）中所画线段BE平行，连接AF，请直接写出线段AF的长. 【答案】（1）答案见解析；（2）AF=5 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点不难找到点E，满足△ABE面积为5； （2）根据△CDF面积为4结合网格特点即可找到符合条件的点F． 【详解】解：（1）如图所示； （2）如图所示，AF==5． 【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图、三角形面积的计算，灵活掌握在网格图中求三角形面积的方法是解决问题的关键． 23. 如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（结果保留根号） 【答案】此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是海里 【解析】 【分析】过点P作，则在中易得的长，再在直角中求出的长即可． 【详解】解：作于C点， 由题意，可得：（海里）， 在中，， ∴（海里）， 在中，， ∴（海里）， ∴（海里）， 答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是海里． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 24. 如图，在中，是边的中点，分别过点、作射线的垂线，垂足分别为、，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，在不添加辅助线的条件下，直接写出与面积相等的所有三角形 【答案】（1）见详解 （2）与面积相等的三角形有、、、、 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定证明即可； （2）利用三角形的面积解答即可． 【小问1详解】 证明：是中点， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， 由（1）可知四边形是平行四边形，则有， ∴与面积相等的三角形有、、、、． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质得出． 25. 如图，平行四边形中，，设对角线交于点O，过点O作交外角的平分线于点F，与交于E点． （1）如图1，求证： （2）如图2，在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，过点F分别作于N，交延长线于M，在延长线上取，由角平分线性质定理得，证明，则有；再证明，则有，从而可证明结论成立； （2）连接，过点F作于N，过点A作于点H，利用直角三角形的性质及勾股定理可求得的长；取的中点P，连接， 由三角形中位线定理得；在中可求得，进而求得，由勾股定理求得，证明，得，再由勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 证明：连接，过点F分别作于N，交延长线于M，在延长线上取，如图所示； ∵是外角的平分线，，， ∴，； ∵四边形是平行四边形， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵是外角的平分线， ∴； ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴； 与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点F作于N，过点A作于H， 由（1）知，，， ∵， ∴； 在中，， ∴， 由勾股定理得； ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 取的中点P，连接，则是的中位线定理， ∴； 在中，， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得； 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 【点睛】本题是四边形与三角形的综合，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定与性质等知识，涉及到较多的知识点与辅助线的作法，掌握这些知识是解题的关键． 26. 定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角． （1）如图1，在四边形中，，．对角线平分．求证：四边形为邻等四边形． （2）如图2和3，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上．请在图2和图3中分别画出一种符合条件的邻等四边形． （3）如图4，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连结，过B作交的延长线于点E．若，，求四边形的周长．（提示：设为x） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，，再证明，即可得到结论； （2）根据新定义，，结合图形再确定满足或的格点D即可； （3）如图，过作于，可得四边形是矩形，，，证明四边形为平行四边形，可得，，设，则，，由新定义可得，由勾股定理可得：，再解方程可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∵对角线平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为邻等四边形； 【小问2详解】 解：如图，四边形即为所求， 【小问3详解】 解：如图，过作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 设，而， ∴，， 由新定义可得， 由勾股定理可得：， 整理得：， 解得：，或（不符合题意舍去）， ∴， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，利用平方根解方程等知识，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 27. 已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边上，点D在边上，且，已知点，点． （1）求点E的坐标； （2）若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设的面积为S，点P、Q的运动时间为t，请直接写出用含t的代数式表示S的关系式；（不用写出自变量的取值范围） （3）在（2）的条件下，点M是射线上的一点，当满足，且时，请求出此时的t值以及点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由点B、D的坐标得的长度，设，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）当点P在点E的左边时以及当点P在点E的右边时，根据三角形的面积公式列式代入计算，即可作答． （3）根据等腰三角形的性质以及矩形的性质，得出两种情况，然后分类讨论，且结合每个情况作图，构建全等三角形，运用全等三角形的性质得出对应边相等，列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当点P在点E的右边时，如图， 由题意知，，由（1）知，此时； 则， ∴； 当点P在点E的左边时，，则， ∴； 综上，； 【小问3详解】 解：当点P上，点Q在边上时， 由题意得，当，； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴，； ∵，， ∴， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴； 当点P在上，点Q在边延长线上时，如图； 同理得：， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，图形与坐标，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 道外区青衿协作体2024-2025下学期 期中教学质量评估 八年级数学 考试时间：120分钟 试题总分：120分 一、选择题：（每题3分，共计30分） 1. 在直角坐标系中，点A(3，2)到原点的距离是（　　） A. B. C. D. 2 2. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ） A. 6，7，8 B. 5，6，7 C. ，， D. 5，12，13 3. 下列图形一定不是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 4. 在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 两个全等的三角形最多可以拼出（ ）个不同的平行四边形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 下列说法能判定是矩形的是（ ） A. 四条边都相等的四边形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 对角线相等的平行四边形 D. 一组对边平行且相等的四边形 7. 在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 3 8. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（ ）． A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 9. 直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边上的中线长是（ ） A 26 B. 13 C. 8.5 D. 6.5 10. 如图，G、E分别为平行四边形的边的中点，则和平行四边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共计30分） 11 平行四边形两邻角，则________度． 12. 如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m． 13. 已知,平行四边形ABCD周长为20cm，且AD-AB=2cm，则AD=_________cm 14. 如图所示，M点所表示的数是________． 15. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为6，8，那么这个直角三角形斜边上的高为______． 16. 在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则________ 17. 如图，在中，，，的平分线交于点D，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是___________． 18. 如图，在矩形中，将沿折叠得，与交于点F，若，则的长为_________． 19. 矩形中，，，P是矩形边上的点，且，则的长是________． 20. 如图：在内有一点D，连接、、，，，，若，，则的长是________． 三、解答题（共计60分） 21. 计算 （1） （2） 22. 如图，在小正方形的边长为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上. （1）在方格纸中画出以AB为斜边的直角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且△ABE的面积为5； （2）在方格纸中画出以CD为一边的△CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为4，CF与（1）中所画线段BE平行，连接AF，请直接写出线段AF的长. 23. 如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（结果保留根号） 24. 如图，在中，是边中点，分别过点、作射线的垂线，垂足分别为、，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，在不添加辅助线的条件下，直接写出与面积相等的所有三角形 25. 如图，平行四边形中，，设对角线交于点O，过点O作交外角的平分线于点F，与交于E点． （1）如图1，求证： （2）如图2，在（1）的条件下，若，，求的长． 26. 定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角． （1）如图1，在四边形中，，．对角线平分．求证：四边形为邻等四边形． （2）如图2和3，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上．请在图2和图3中分别画出一种符合条件的邻等四边形． （3）如图4，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连结，过B作交的延长线于点E．若，，求四边形的周长．（提示：设为x） 27. 已知如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边上，点D在边上，且，已知点，点． （1）求点E的坐标； （2）若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设的面积为S，点P、Q的运动时间为t，请直接写出用含t的代数式表示S的关系式；（不用写出自变量的取值范围） （3）在（2）的条件下，点M是射线上的一点，当满足，且时，请求出此时的t值以及点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$