湖南省长沙市第六中学2025届高三二模数学试卷

长沙市第六中学2025届高三第二次模拟考试 高三年级 数学试卷 命题人：周秩仁 审题人：唐枫 尹怡 总分：150分 时量：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D．40 3．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A． B． C． D．= −+. 4．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．设是锐角，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的是（   ） A．已知随机变量服从二项分布，若，，则 B．已知随机变量服从正态分布，若，则 C．已知，为随机事件，，，若，相互独立，则 D．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 10．以下四个命题表述正确的是（   ） A．若直线与互相垂直，则 B．已知抛物线的焦点为，点在上，若，则 C. 已知双曲线，则双曲线的焦点到渐近线的距离为 D. 已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为6 11．在棱长为2正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（） A．若，则的轨迹长度为 B．与所成角的最大值为 C．若三棱锥的体积为定值，则 D．若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为 . 13．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且,，则球的表面积是 . 14．满足，且关于的方程有实数解的有序数对的个数为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知，，分别为三个内角,,的对边，. (Ⅰ)求； (Ⅱ)若，求 的最大值. 16．（本小题满分15分） 为了解某市高中学生喜爱打篮球是否与性别有关，从该市若干所学校的全部高中学生中随机抽取100名学生进行调查.得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 不喜爱 喜爱 男生 25 女生 10 30 合计 100 (1)请完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜爱打篮球与性别有关.（单位：人） (2)现按是否喜爱打篮球比例分配从样本女生30人中按分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取人进行进一步调查，记抽到的人中不喜爱打篮球的人数为，求的分布列和均值； (3)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取人进行调查，记人中喜爱打篮球的人数为，求的均值和方差. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（本小题满分15分） 如图，四棱锥的底面是梯形，平面. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（本小题满分17分） 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点为其右焦点，椭圆的焦距为4. 若有光束自点射出，经椭圆二次反射后回到点，设两次反射点分别为，其光程为16. （1）求椭圆的标准方程. （2）点P是椭圆C上的任意一点，椭圆在点P处的切线为，过点作的垂线，垂足为H，试求点H的轨迹方程． （3）若直线OA，OB分别与直线交于M、N两点，试问，直线BM与直线AN能否交于一定点？若能，求出此定点；若不能，请说明理由. 19．（本小题满分17分） 已知函数. （1）当a=2时，讨论的单调性； （2）若与恰有两个交点，求的取值范围. （3）当x≥0时，，求a的取值范围. 数学试题 第 页(共6页)1 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市第六中学2025届高三第二次模拟考试 高三年级 数学试卷 命题人：周秩仁 审题人：唐枫 尹怡 总分：150分 时量：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】由题设有，故选：B. 2．已知，则（    ） A． B． C． D．40 【答案】B 3．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A． B． C． D．=−+. 【答案】D 【详解】∵，∴−=2(−)；∴=−.故选D. 4．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以在点处的切线斜率，所以在点处的切线方程为，即.故选：D 5．已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】 ，，解得：，， 6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】抛物线的准线为， 又点在抛物线，所以点到点的距离与到直线的距离相等， 又，点到点的距离与到直线的距离相等， 所以，解得，即，所以，解得.故选：A 7．设是锐角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为且， 所以， 故，结合，解得.故选：B. 8．已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，函数， 设（）， 由，得从而：， 又因为， 所以是上的奇函数，即， 又有，所以是上的增函数； 则可得：，即， 整理得：，解得：或，所以实数的取值范围为， 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的是（   ） A．已知随机变量服从二项分布，若，，则 B．已知随机变量服从正态分布，若，则 C．已知，为随机事件，，，若，相互独立，则 D．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 【答案】ACD 【详解】 A选项：，，，正确； 对于B：由随机变量服从正态分布，， 则，故B错误； 对于选项，若，相互独立，则. 根据概率的加法公式，将，，代入可得：，所以选项正确. 对于选项D，由题知，得到，所以选项D正确， 10．以下四个命题表述正确的是（   ） A．若直线与互相垂直，则 B．已知抛物线的焦点为，点在上，若，则 C. 已知双曲线，则双曲线的焦点到渐近线的距离为 D. 已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为6 【答案】BD 对于A，直线与互相垂直， 则解得或，故A错误； 对于B中，因为点在上，根据抛物线的定义，可得， 解得，所以B正确； 对于C中，因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于，所以双曲线的焦点到渐近线的距离为，故C错误． 对于D中：易知椭圆中，即可得， 又圆的圆心为，半径， 易知椭圆右焦点，显然在圆上，如下图：    易知椭圆上一点到圆上任意一点的最小距离为， 因此可将的最小值转化为求的最小值， 由椭圆定义可得； 此时点在处，使得的最小值为6. 故D正确． 11．在棱长为2正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（） A．若，则的轨迹长度为 B．与所成角的最大值为 C．若三棱锥的体积为定值，则 D．若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 【答案】AD 【分析】对于A，由题意可知其轨迹为圆弧；对于B，当点为的中点时，易证与所成角的为；对于C，因为三棱锥的体积为定值，找出轨迹，但此时可证与不垂直；对于D，关键在于求出的外接圆直径的范围，进而可求外接球半径的范围，进而可求外接球表面积的范围. 【详解】对于A，取的中点，此时满足， 因为点在侧面内，所以以为球心，为半径的球面与侧面的交线为四分之一圆弧， 该圆弧是以B为圆心1为半径的圆的，故其轨迹长度为，故A正确；    对于B，如图所示，连接，在中，，同理可求得， 所以为等腰三角形，当点为的中点时，连接，此时有， 在正方体中易知，故，此时与所成角的为，故B错误；    对于C，当F在上运动时，由于,所以平面, 此时为定值，但与不垂直，故C错误；    对于D，设，当点为的中点时，最， 取中点，则， 所以； 当点与点或点重合时，最小，此时，所以   在球面上，的外接圆直径 三棱锥的外接球的直径为 三棱锥的外接球的半径为 三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为 . 【答案】240 【分析】根据二项式系数和求出，再利用赋值法求出，根据二项式通项公式的展开式求出常数项，即可； 【详解】由于的展开式的二项式系数和为64，即， 解得．又由于的展开式系数和为729，令得，即， 解得或（舍去），的展开式的通项为， 令，解得，所以展开式的常数项为，又，， 故答案为：240 13．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，则球的表面积是 ． 【答案】 【详解】由题设，则，故外接圆的半径， 若球体的半径为，则球心到截面的距离为，故， 所以，故球的表面积是,故答案为： 14．满足，且关于的方程有实数解的有序数对的个数为 【答案】 【详解】解：当时，方程为，此时一定有解；此时，0，1，2；即，，，四种；当时，方程为一元二次方程，△，则． 当，1，2时，此时，的对数为，，， ，，，，，，共9种， 关于的方程有实数解的有序数对的个数为13种，故答案为13． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知，，分别为三个内角,,的对边，. (Ⅰ)求； (Ⅱ)若，求 的最大值. 【详解】(Ⅰ)由及正弦定理得 由于，所以，又，故. (Ⅱ)若，由正弦定理知 ，所以，所以 所以的最大值为. 16．为了解某市高中学生喜爱打篮球是否与性别有关，从该市若干所学校的全部高中学生中随机抽取100名学生进行调查.得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 不喜爱 喜爱 男生 25 女生 10 30 合计 100 (1)请完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜爱打篮球与性别有关.（单位：人） (2)现按是否喜爱打篮球比例分配从样本女生30人中按分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取人进行进一步调查，记抽到的人中不喜爱打篮球的人数为，求的分布列和均值； (3)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取人进行调查，记人中喜爱打篮球的人数为，求的均值和方差. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）  列联表如下表所示单位：人 性别 打篮球 合计 不喜爱 喜爱 男 女 合计 零假设为：学生喜爱打篮球与性别无关， 计算得， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，学生喜爱打篮球与性别有关； （2）故从这名学生中抽取的人中，不喜爱打篮球有人，喜爱打篮球有2人， 则的可能取值为，， 故的分布列为 1 2 3 . （3）由题意知，从全市所有在校学生中随机抽取人，其喜爱打篮球的概率为， 故，所以. 17．如图，四棱锥的底面是梯形，平面. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析, (2)存在，. 【详解】（1）因为平面，平面，所以，因为，所以，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以，又， 所以两两互相垂直， 所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 如图，，设， 则， ，设平面的法向量为， 则，即，取，满足条件， 所以可取， ，，设平面的法向量为， 则，即，取，解得，所以， 由题意， 化简并整理得，解得或（舍去），所以， 综上所述，棱上是否存在一点E，且，使得二面角的余弦值为. 18. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点为其右焦点，椭圆的焦距为4. 若有光束自点射出，经椭圆二次反射后回到点，设两次反射点分别为，其光程为16. （1）求椭圆的标准方程. （2）点P是椭圆C上的任意一点，椭圆在点P处的切线为，过点作的垂线，垂足为H，试求点H的轨迹方程． （3）若直线OA，OB分别与直线交于M、N两点，试问，直线BM与直线AN能否交于一定点？若能，求出此定点；若不能，请说明理由. 答案：(1) (2) 点H的轨迹方程为 (3) 能，定点为 详解：（1） 由题可知，，，所以， 故椭圆C的标准方程为 （2）如图： 设椭圆的左焦点为，延长，交于点， 在中，，则且H为中点， 在中，， 所以点H在以O为圆心，半径为4的圆上，所以点H的轨迹方程为． （3） 由椭圆的光学性质可知直线AB过左焦点为，设AB方程为，，联立，得： 则由韦达定理: 两式相比可得，所以 由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN交于x轴上的定点， 由，解得，则直线BM方程为， 令，则 所以，直线BM过定点，同理直线AN也过定点. 则点即为所求点. 19．已知函数. （1）当a=2时，讨论f（x）的单调性； （2）若与恰有两个交点，求的取值范围. （3）当x≥0时，，求a的取值范围. 【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）的取值范围是：.（3） 【详解】(1)当时，，， 由于，故单调递增，注意到，故： 当时，单调递减，当时，单调递增. 所以，f（x）的单调递减区间为，单调递增。 （2）若与恰有两个交点，即有两个解，，从方程可知，不成立，即有两个解， 令，则有， 令，解得，令，解得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 且当时，，而时，，当时，， 所以当有两个解时，有， 所以满足条件的的取值范围是：. (3) [方法一]由得，，其中， ①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②.当时，分离参数a得，，记，， 令， 则，，故单调递增，， 故函数单调递增，，由可得：恒成立， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 因此，,综上可得，实数a的取值范围是. [方法二]： 当时，恒成立， 记，且 ， ①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意； ②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又， 所以若满足，只需，即，所以当时，成立； ③当即时， , 又由②可知时，成立，所以时，恒成立，所以时，满足题意. 综上，. 学科网（北京）股份有限公司 $