2026年普通高等学校招生全国统一考试猜想题型卷（2）数学（新一卷）

**基本信息** 聚焦数学文化与现实情境，通过斐波那契数列、新能源汽车销售等素材，构建基础巩固到创新应用的能力梯度，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|单选8/40、多选3/18|集合运算、复数性质、概率计算、函数奇偶性|第7题斐波那契数列渗透数学文化，第11题主动降噪耳机体现科技情境| |填空题|3/15|线性规划、双曲线离心率、正四面体外接球|第14题结合空间几何考查直观想象| |解答题|5/77|解三角形、线性回归、立体几何、椭圆光学性质、导数零点|第16题新能源汽车销售数据建模，第18题椭圆光学性质探究，第19题导数零点逻辑推理，体现综合应用|

《2026年普通高等学校招生全国统一考试猜想题型卷(2)数学（新一卷）》参考答案 题号 3 6 6 8 9 10 11 答案 B A B 0 D 0 BCD ABD ABD 1.B 【详解】由MECUN,且M,N为全集U的两个非空子集，可得韦恩图， 如图：则Nn(CuM)=N 2.C 【详解】因为z=1-a2+(a-1i(aeR)是纯虚数，所以 1-a2=0 所以a=-1 a-1≠0 故命题P是命题q的充要条件 3.A 【详解】由题意得OA=OB=OC=1,且OA.OB=0 因为0C+λOA+u0B=0,即OC=-OA-u0B.平方得：λ2+u2=1. 4.B 【详解】将甲和乙看作一个整体，有A?=2种方法， 将丁、戊和甲乙的整体首先安排到两端，则有A?=6种方法， 再安排丙和剩余的人，有有A2=2种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：2×6×2=24种. 5.B 【详解】因为函数y=f(x+1)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x=1对称. 由∫(x)在(-o,1上单调递减，得f(x在(1，+∞)上单调递增，且f(0)=f(2)=0, 所以当x<0或x>2时，fx)>0,当0<x<2时，f(x<0. 函数f(x)的图象如图所示， 2345 f(x)f(x+1)<0等价于 f(x)>0,∫f(x<0, 或 f(x+1<0f(x+1>0, 即 x(0或x)2 0<x<2, 或 0<x+1<2x+1(0或x+1）2 解得-1<x<0或1<x<2, 【点睛】结论点睛：由函数的奇偶性延伸到其图象的对称性问题的常见结论：(1)若函数 y=∫(x)为奇函数（或偶函数），则函数y=∫(x+a)的图象关于点(-a,0)中心对称（或关 于直线x=-a对称)：(2)若函数y=∫(x+a为奇函数（或偶函数），则函数y=f(x)的图 象关于点a,0)中心对称（或关于直线x=a对称）. 6.D 【分析】先通过平方两个己知等式并相加，利用三角恒等式消去cos2a+sin2a和 snB+co时B,得到sna-)-子，结合己知龙确定a-B=君，即a=B+名：再将 6 此关系代入原方程之一，化简后无需求出a,B的具体值，直接得到cos阝和sinB的值，最后 用和角公式计算cos B+ 6 得出结果3V2+V3 6 【详解】因为2cosa+sinB=V2,所以4cos2a+4 cosa sin B+sin2B=2① 又因为2sina-cosB=-1,所以4sin2a-4 sina cos B+cos2B=1② ①+②得4cos2a+sin2B+4sin2a+cos2B+[4 cosa sin B-4 sinacosβ] =5-4sin(a-β）=3 所以sma-)-分又因为子<a-B<子所以e-B-名即a=B+君 把u=B+君入2cosa+smB=5中，得2caB+君sn6=5 6 则5cosB=V5,即cosB=9 把a=月+爱代入2ina-osB-1中，得2inB+ -cosβ=-1 则V5sinB=-1,即sinB=-5 3 所以cosB+ 6 Bsin 6=3x2--3X2 6 7.D 【详解】由数列{F}的前两项都是奇数，两奇数之和为偶数，偶数与奇数之和为奇数， 可得{F}各项依次为奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶，， 所以数列{an}的前若干项依次为-1，-1,1，-1，-1,1，…， 将a3m-2,a3m-1,a3m看作一组，每组3个数的和为-1， 所以数列{a}的前50项和为16×(-1-1-1=-18， 8.D 【详]解：设P41s,则-%且产+坊-=16,6产=1，不失-戴准， 圆C与x轴交于点A,B,则A(-4,0),B(4,0), 直线P1,QB的方程分别为y=中4+4到，y=4x-4, t+4 相乘得y2=,片（x2-16)=x2-16,所以x2-y2=16, 16-t2 即点M的坐标满足x2-y2=16 9.BCD 【详】对FAP4+=P叫+P叫可-P回.P回. 所以P叫= 故A错误； 对于B:P+P(=P4,P叫4吲+有P叫4- 1 P小-得--Bm 3 1 对于州a0得-正-}i国-时n同0-，改ei 3 对FD:Pa+)=P+Pa)P, P@=4P.川.r川a)- P叫+-方行 、,所以D正确 10.ABD 【详解】对于A:因为(1-2x)2026=a+a,x+a,r2++a06x2026, 因此a1=C2026·(-2)=-4052,故A正确： 对于B:展开式中所有项的二项式系数的和为22026，故B正确； 对于C:令x=1,可得a,+a1+a2+a3+…+a226=1; 再令x=-1，可得a0-a1+a2-a3+…+a2026=32026, 将两式相加，即得展开式中所有奇数项系数的和为+3“， 2,故C错误； 团于D:令则u,+%±3++0 23 22026 再令x=0,可得a=(1-0)2026=1, 所以号+等+多+十器=-1故D正确 11.ABD 【分析】由∫(x经过(1,2)可求出f(x)的解析式，利用奇偶性定义可判断A;利用正弦函数 的单调性可判断B;求f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)的值可判断D,利用 f(x+l)+f(x+2)+f(x+3)=0,分n=3k、n=3k+1、n=3k+2,k∈N三种情况求 f(1+f(2)+f(3)+…+f(n)的化简式可判断C. 【详样1为/=2snx+pj〔< 经过(1,2)， 所以m(2+p-1,即0=2+子ke,解得=2e, 3 又o<受斯以。-吾则/=-引 对Fa+2an+-月-2a eR令g到=x+4=x,可得8-=-2 n2元x=-g: 故g到到=x+ 为奇函数，所以A正确； 对于B,x∈(1,2)时， π7元 对于y=sinx在x∈ 26 上单调递减，可得∫(x)在x∈1,2)上单调递减，所以B正确： 对D,f++2+x+-25+引2m+25+2a8 =2c0s -2+}2n 3 6 2π 2π 2π xcos-cos 2π 2元 xsin 06 3 =2c0 2x-2cos x=0, 3 所以∫(x+1)+∫(x+2+∫(x+3)恒为0， 即对x∈R,f(x+1)+∫(x+2)+f(x+3)的值为定值0，所以D正确： 对于C,当n=3k,keN*时，f(1+f(2)+f(3)+…+f(n=0, 当n3+,N时.+2+3++al=22}2 当n=3k+2,keN*时， f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n) =2 sin 2π nsin 3 6 6 3 6 =-2c0s1 n n≤2，所以C错误. 3 12.2 4 【详解】由2x2+xy-y2=1,得(2x-y)(x+y)=1, -t, 风va》--非+-层音+实号 x-y 2、1 故5X-y 42+11143x t=3× 1 9 942+ 92+ +18 w=2-州318 3x-u 3 3 要求最大值，则只需考虑u>0,则u2+18 184, ux 2. u 当且仅当u=区，即u=32时取等号，即最大值为V 18 u 4 13.√2+√2 【详解】如图所示： 因为PEPF=0,所以∠F1PF2=90°. 设=2，且∠PF5=及，则PA-2c×co P |PFl=2 cxsin元 8 2c- 1 再根据双曲线定义得PF-PF,=2c×cos-2c×sin刀=2a,所以2a 8 8 COS -sin 8 8 2 又因为 cos cos2π C+sin2π-2 sinx cos sg=1-sin”=1-V2 8 8 8 8 8 4 且sing<cosg,所以os nπ-V2-V2 8 sin 8 8 2 1 √2 所以e=2a co =V2+√2 -sin √2-√2 8 14.8 【分析】用等体积转化法，将到各个面的距离之和最大转化为到一个面的距离最大，计算该位 置得到最大值， 【详解】由对称性，不妨设点P与点A分别在平面BCD的异侧，设正四面体的高为h, 四个侧面的面积为S,点P到平面ABC,平面ABD,平面 B ACD,平面BCD的距离 分别为d,d2,d3,d4: 0 如图所示，有VP-ABC+Vp-ABD+'p-ACD='A-BCD+Vp-BcD, 根据三棱锥的体积公式，可得： 专d+4+d)吉h+写d, 1 3 3 可得d+d2+d3+d4=h+2d4, 结合球的性质，当线段AP恰好为外接球的直径位置时，4最大，外接球的直径为： 6×26=6,此时d,=6-h, 代入正四面体的棱长计算可得h=, 6.26-4,此时(d+d,+d,+d,)=4+4=8. 3 15.【详解】(1)因为三角形中角A,B,C成等差数列，2B=A+C, 所以B=60°，由余弦定理知，b2=a2+c2-2acc0sB, 得b2=a2+c2-ac,又因为b2=(a-c)2+4,可得a2+c2-ac=(a-c)2+4, a2+c2-ac=a2+c2-2ac+4, 整理得ac=4,根据三角形的面积公式可得S=)。 1 -acsin B=-×4x 2 2 2 (2)在△BCD中，CD2= +a2-2xS×a×cosB 2 =c2+a2-aecos60=1c2+a2-ac≥2， 1 4 4 2 、z21aG=1ac=2■ 2 当且仅当2=a,即a=反，e=25时取等号 此时CD取得最小值为√2 16.【分析】(1)计算出x、少的值，可求出∑(x-为)，利用最小二乘法求出方、a的值， 可得出回归直线方程，再将x=9代入回归方程即可得出店9月份的成交量的预测值； (2)由题意可知，随机变量X的可能取值有0、3、5、6、8、10，计算出随机变量X在 不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列，进而可求得E(X的值. 【详解】1)解：由题意可得，x=1+2+3+4+5+6+7=4, 7 y-28+32+37+45+47+52+60-43, 7 62s0-可 ）146 5,a=y-6=43-146x422, ∑- 28 28 故线性回归方程为y=5x+22, 当x=9时，y=5×9+22=67,故预计9月份的成交量为67辆. (2》解：由题意可得，获得一等奖的概率为1--7=1 51010 X的所有可能取值为0、3、5、6、8、10， 1x7+7x1-3 PX00品-PX300写25 X Px=列品州=1- 5525 11111 0551025’P(X=10)=10×0=, P(X=8)=云×+ 故X的分布列为： X 0 3 5 6 8 10 49 7 7 1 1 100 5 50 25 25 100 9+3×7+5×7+6×+8x+10xL= 4 7 故E(X)=0× 7 10 25 50 25 25 1005 17.【详解】(1)如图，连接AD, 因为AM IID,C,所以A,M,C,D四点共面. 因为C,M/平面ADD,A,平面ADD,A,∩平面AMCD=AD, C,Mc平面AMC,D,故AD,I/CM, 做四边形AMCD,是平行四边形，所议M=DCDC 易知∠AAM=60°，因为AA=1, 所以AM=VAA+AM2-2AA·AM·cos60°= √3 所以AM=2-V5 AB24 (2)如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴， BA所在的直线为y轴建立空间直角坐标系， actai. x-2c,nc}两-） -a4-台 D U A 设n=（x,y,z为平面A,CB的法向量， D: x=0 n.BC=0 则 n:AC=0’ 即3√3 z=0 2 V A 令z=√3，则y=-1,故平面ACB的一个法向量为n=(0,-1,V5), CM.n 5V2 故直线C,M与平面A,CB所成角的正弦值sin0 8 18.【分析】(1)根据a,b,c的关系即可求出； (2)设P(x,),Q(x2,y2),直线P四的方程为x=少+m,联立得到 -6tm3m2-12 y+y2= 372+4%5= 十4，再求直线4P,40的斜率之积，设直线犯，的斜率为S:求 k1=9即可证明： 出 13 (3)直线PQ,的方程为x=y+m,根据(2)的结论求出m= 即可证明， 7 【详解】1)由题意得a=2,c=1,:62=3,故E的方程为+上 =1. 43 (2)设P(x,),Q(x2,y2),直线P2的方程为x=少+m, (x =ty+m 由x2y2 =1'消去x,整理得(32+4y2+6my+3m2-12=0, 43 .△>0y+y2= -6tm 3m2-12 32+43h= 3t2+4 直线AP,AQ的斜率之积为 kanko= yiy2 yy2 x+2+2(y+m+2(2+m+2)t2y2+t(m+2(y+2)+(m+2 3m2-12 3(m-2 t2(3m2-12）-6t2m(m+2)+(32+4)(m+224(m+2）' P 设直线A2n的斜率为S,依题意可知kn,Sn均存在且不为零， F 31-2)_1。 由P,0,经过E的右焦点EL,0,知k,=41+240, 3-1-2）=-9@, 由PQ.经过E的左焦点-l,0，知k,,4-1+2 4 k山=9，故数列{k}是等比数列，公比为9 ②+①得 (3)直线PQ,的方程为x=少+m,由(2)知k5,= 6-% 4m+2) 1 故 (m-2) 5213 解得m= m+2) 36 287 故直线PQ2恒过定点 7 19.【分析】(1)由f(x)=0得a=2 exlnx,令gx=2 exlnx(x>0,利用导数确定g(x)的 性质，然后由直线y=a与y=g(x)的图象有两个交点得参数范围； (2)①由(1)知0<x,<-<x2<1,问题转化为只要证x2> 2-x,只要证 e g)>名小只要证)-8[名]小0，令o列=g到-8-x0 然后由导数证明： ②y=g(x)的图象与x轴的交点是BL,0),极小值点A(二，-2)，设直线OA与直线y=a的交 点的横坐标为x'=-a,构造函数gx-hx)=2 exlnx+2ex=2ex(Inx+1)<0,证明 2e 多<，过AB的直饺方程为y,设直线B与直线=0的交点的横坐标 x'=1+a(e-1) 2e 令Cx=8x-mx=2exr。-，<x<1,用导数证明G网0，从而证明 e x2>x’,然后由x-x,>x2-x证得结论成立. 【详解】(1)令f(x)=0→a=2 exlnx, ig(x)=2exlnx(x >0),g'(x)=2e(Inx+1), 因为y=8'(x)在(0，+0)上单调递增，由g(x)=0得x=1 所以g在日年调减。 单调递增！ y=2exinx 2 g(x)min=ge=- 0 v-a 当x→0时，gx→0， 当x∈(0,1时，g(x)<0,x∈(1，+oo)时gx>0, 作出y=g(x)的图象和直线y=a,其中y=g(x)的图象与x轴的交点是B(1,O),极小值点 4A2-2), 如图我们有：当a∈(-2,0)时，y=f(x)有两个零点. 1 (2)①由(1)可知：设0<x<-<x2<1, 2 2 要证明x+x2>二，只要证明x2>二-x, e e 2 又因为·。x均在函数8)的单调递培区间上， 故只需证明： 又因为gx2)=8(x)=a, 放只器证明：3-8[尽-名小>0， 记9=g-8&-e03 p1-g+g2-小2r+n22 -居 （2 x+二-x 2e In e 所以px在03上单调避减9(>9日=0， 2 所以x1+x2>一： e ②过O,A两点的直线方程为y=-2ex, 0 x1 x1' 设直线OA与直线y=a的交点的横坐标为x'=- a 2e 令hx=-2ex, 则x∈0，时，g)-h(x=2clnr+2er=2cxnx+1<0, e 所以g(x<h(x,故有h(x)>g(x)=hx又因为(x)单调递减，：，<x, 类似的过A,B的直线方程为y= 2e(x-),设直线B与直线y=a的交点的横坐标为 e-1 x'=1+a(e-1) 2e 令m叫到-x-小，cf=g-m到=2cnr-x-, c日=G=0G=2ar+1-。)e上华递格 c。<c=1>0. 自根的存在椎定理知，头，∈仁，cx)=0。 所以G(到在（ 单调递减，在xo,1上单调递增， 所以当x∈（怎时有<0，即8(<m, m(x)>gx=mx,,又m(x)单调递增，x2>x', 由得k-x>'-x=1+号 x2>x2 2 2026年普通高等学校招生全国统一考试猜想题型卷（2） 数学（新一卷） ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上； 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案答案不能答在试卷上； 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．设M，N为全集的两个非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题 ，命题 : 复数 为纯虚数，则命题 是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知圆心为，半径为1的圆上有不同的三个点，其中，存在实数满足，则实数的关系为（    ） A． B． C． D． 4．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，丙不站在两端，则不同的排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 5．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．若数列满足，当时，，则称为斐波那契数列.令，则数列的前50项和为（    ） A．17 B． C． D． 8．已知直线与圆：交于不同的两点，，圆与轴交于点，，直线，交于点，则当变化时，点满足的方程是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，至少有两个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 9．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 10．若，则下列选项正确的有（    ） A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为 C．奇数项的系数和为 D． 11．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线，且经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数在区间上单调递减 C．，使得 D．的值为定值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．若实数，满足，则的最大值___. 13．双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且，则该双曲线的离心率是_____. 14．已知正四面体的棱长为，点P为其外接球上的动点，则点P到该正四面体四个面的距离之和的最大值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答题卷上写出必要的解题步骤。 15．（13分）在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，． (1)求的面积； (2)若是的中点，求的最小值． 16．（15分）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化推动绿色发展的战略举措．随着国务院《新能源汽车产业发展规划（2021—2035）》的发布，我国自主品牌汽车越来越具备竞争力．国产某品牌汽车对市场进行调研，统计了该品牌新能源汽车在某城市年前几个月的销售量（单位：辆），用表示第月份该市汽车的销售量，得到如下统计表格： 1 2 3 4 5 6 7 28 32 37 45 47 52 60 (1)经研究，、满足线性相关关系，求关于的线性回归方程，并根据此方程预测该店月份的成交量（、按四舍五入精确到整数）； (2)该市某店为感谢客户，决定针对该品牌的汽车成交客户开展抽奖活动，设“一等奖”、“二等奖”和“祝您平安”三种奖项，“一等奖”奖励千元；“二等奖”奖励千元；“祝您平安”奖励纪念品一份．在一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，获得一份纪念品的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望． 参考数据及公式：，，． 17．（15分）如图，在四棱台中，四边形为梯形，，，，点在线段上，且平面. (1)求的值； (2)若平面与平面间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分）椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. (1)求E的方程； (2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 19．（17分）已知函数 (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，设函数的两个零点分别为. ①证明： ②证明： 学科网（北京）股份有限公司 $