2026年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟卷（2）（新一卷）

**基本信息** 2026年高考数学新一卷模拟卷，以元宵节竞答、企业研发收益等真实情境为载体，通过函数零点探究、椭圆定值问题等设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|集合运算、三角函数、立体几何|第4题结合坐标系求最大内角，考查直观想象| |选择题（多选）|3/18|统计回归、解三角形、长方体性质|第9题以企业研发数据考查统计分析，体现数据观念| |填空题|3/15|二项式定理、双曲线、函数性质|第14题通过恒成立条件考查逻辑推理| |解答题|5/77|数列、立体几何、概率、函数、椭圆|第17题元宵节竞答情境融合概率计算，第19题椭圆定值探究考查数学表达|

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（2） 数学（新一卷） ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案答案不能答在试卷上， 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C．2 D． 3．“，使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·山东潍坊·一模）在平面直角坐标系中，点，则的最大内角为（    ） A． B． C． D． 5．甲、乙等6人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3人（如图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有（   ） A．144种 B．168种 C．192种 D．216种 6．已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 7．设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，至少有两个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 9．某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：． A． B．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 C．由散点图知变量和正相关，相关系数的绝对值越接近0，表示x，y的线性相关程度越强 D．当时，残差为 10．在中，角，，所对的边分别为，，，下列各组条件中，能使得存在且唯一的是（   ） A．，，外接圆的半径为1 B．，， C．，， D．，， 11．在长方体中，，，M是棱AB的中点，下列说法正确的是（    ） A． B．二面角的余弦值是 C．过的平面截该长方体得到的图形面积是 D．沿长方体表面从到的最近距离是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若，则______． 13．已知双曲线，其左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于M，N两点，则的最小值为__________. 14．已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答题卷上写出必要的解题步骤 15．（13分）已知等差数列的公差为，前项和为，且，，，其中． (1)求公差及的值； (2)设数列，数列的前项和为，求． 16．（15分）如图，内接于圆，为圆的直径，平面，为线段的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，，，求平面与平面所成角的余弦值． 17．（15分）在一次元宵节三角函数公式竞答决赛活动中，甲、乙两人角逐冠军.规则如下：①共5次竞答机会，每次竞答两人均从A，B两个箱子中选择一个公式回答，答完放回；②甲答对A、B箱中一个公式的概率分别为，；乙答对A、B箱中一个公式的概率均为；③每答对A箱中一个公式得20分，每答对B箱中一个公式得30分；④5次竞答后总得分最高者获得冠军. (1)规定甲前两次都从A箱中选择，后三次都从B箱中选择，五次竞答完成后，求甲总分得分至少110分的概率. (2)若前两次甲、乙均从B箱中选择公式，两次竞答后甲得总分60分，乙得总分30分.后三次竞答在即，深思熟虑后甲决定后三次都在A箱子中选择公式竞答，乙决定后三次仍然都在B箱子中选择公式竞答，请问最终冠军最有可能是谁? 18．（17分）已知函数． (1)函数有两个零点，求的取值范围； (2)若直线为函数的一条切线，求的值； (3)函数，若对任意，恒成立，求的取值范围． 19．（17分）已知椭圆离心率为是椭圆其中的一个顶点，直线与椭圆交于两点，是轴上的一点，直线分别与直线交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当，求的取值范围； (3)是否存在实数，使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $《2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(2)数学（新一卷）》参考答案 题号 1 3 4 6 6 8 9 10 11 答案 B A B B A ABD AD BC 1.B 【详解】依题意，N={xlog32<x<log,28}, 而0<log32<1,3<1og328<4,所以M∩N={1,2,3}. 2.A 2 【详解】因为z= 21+i)=1+i,所以=P+下=2， 1-i(1-i(1+i) 3.A 【详解】当b=0时，a=2b=0,满足a/1石： 当6≠时，因为孔∈R，使得a=2b,所以a,b共线，即a/b: 综上，由32∈R,使得a=入b,可得a//b,即充分性满足； 当a/乃时，若b=0,a≠0，则不存在2∈R,使得a=2,故必要性不满足； 所以3元eR,使得a=2b”是“a/乃的充分不必要条件. 4.B 【详解】由己知， AB=5+1-1+(0--6,4C=0-12+0-5°=2，BC-5+1 显然V5+1=4+23,6)=6,4+23>6,所以√5+1>√6，而V6>2, 所以ABC的最大边为BC=√3+1，其所对的角为最大内角，即为A, 则os=B+4CBC_6+4-4+2_6-巨0，故1伪候角， 2AB·AC 2W6×2 4 而cos S5r=085T4cos网 一十一 n"sin=x16- 12 名0.42222yg 5π 所以ABC的最大内角为 12 5.C 【详解】如图所示，甲坐位置①，乙有3种选择，其他人不同坐法有A4种，共有3A4=72种 不同坐法； 甲坐位置②，乙有2种选择，其他人不同坐法有A4种，共有2A=48种不同坐法； 甲坐位置③，乙有3种选择，其他人不同坐法有A4种，共有3A4=72种不同坐法， 所以不同坐法种数共有72+48+72=192种. 前排 后排 ① ② ③ 6.C 【分析】方法一：条件等式可化为a-1)b-1=4,再结合关系 4a+b=4a-1)+b-1)+5利用基本不等式求结论； b+3 方法二：由条件等式可得a= 消元变形可得4a+b=5+16 +b-1,再利用基本不等 b-1 b-1 式求其最小值即可 【详解】（方法一）由ab=a+b+3,可得a-1)b-1=4, 因为a>1,b>1,所以a-1>0,b-1>0, 则4a+b=4(a-1+(b-1+5≥2V4a-1(b-1)+5=13, 当且仅当4a-1=b-1,即a=2,b=5时，等号成立， 故4a+b的最小值为13. b+3 (方法二)由ab=a+b+3,可得a= ,因为b>1,所以b-1>0, b-1 则4a+b=4h+12+6=5+ 16 +b-125+2 696-=13, 1 b-1 - 16 当且仅当 =b-1,即a=2,b=5时，等号成立， b-1 故4a+b的最小值为13. 7.B 【详解】因为f到的图象经过点(0，所以sn9=了又水受所以p= 6 则函数f(x=2sin or+6a>0,当xe0,时，ox+e[ 66,0+ 6 因为f(x)在[0，元上恰有2个零点， 所以2x≤0r+看<3江，所以g≤@名，即实数的取位花M是 1117 6 6 6’6 8.A 【详解】函数∫)=2-2的定义拔为R,且在R上单调逆增， e"+1 f0)+f0-=2-2+2-2 )=2,即2-f(-x)=f(x), e*+1 e*+1 7=4-(2+2e e+1'1+ex 方程f(ae)+f(3-x2)=2,即f(a*)=2-f(3-x2)=f(x2-3),于是ae*=x2-3, 即a文，令g父一依题意，直线=“与函数=8Q)的图象有三个不同的交点 er 求导得g0=2x-+3-+1x-》,当xe(,-UB,+0)时，g)<0, e e 当x∈(-1,3)时，g'(x)>0,函数g(x)在(-0，-1)，(3，+0)上递减，在(-1,3)上递增， 当x=-1时，g()取极小值g(-)=-2e:当x=3时，8（取极大值为g(③）=怎， 6 而当x<-√3或x>√3时，恒有g(x)>0, 在同一坐标系内作出直线y=a与函数y=g(x)的图象， 6 e y-a 6 观察图象得0<a<- 3，原方程有三个不同实根，所以实数a的取值 -2 y=g(x) e 范围为(0,3)， e 9.ABD 【详解1对于A,王-1+2+3+4+5+6+1=4，=2+3+5+7+8+8+9-6，放A正确： 7 (x-(y-列 对于B,根据公式计算回归系数b=旦 3417 (x-列 28141 a=5-=6-17x4=8 14 7 所以回归直线方程为少=1？x+8 14x+7,故B正确： 对于C,散点图如下所示， 个y 由图可知，变量x和y正相关，但相关系数越接近1， .(7,9) (5,8) 。(6.8) 线性相关程度越强， ●(4.7） 越接近0，相关程度越弱，故C错误； ·(3.5) 对于D当x=2时，预测值)= 17x2+8=25 17 (23) 14 7-7 L2) 实际值y=3, 10 残差e=y-=3-行-7，故D正确 10.AD 【详解】对A:由正弦定理可得a=b=2R=2,则a=2sin-V2, sin A sin B 4 ，则c=2s b=2sin=V5,C=元-A-B=5π 5π 12 故ABC存在且唯一，故A正确； 对D中sB4k兰，故B>4’义A=A,则A+B>, 52 4 故不存在这样的ABC,故B错误； b sin B sin d'sin B=sinA= a b 对C:由正弦定理可得 6、√2 a 32 又b>a,则B>子此时8有两解，故C错误： 对D.由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccos A=3+4-4W5×5=7-26, 2 故唯一确定，即该三角形三边确定，故ABC存在且唯一，故D正确. 11.BC 【详解】以D为原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则D(0,0,0)、A1,0,0、B(1,2,0)、M(1,1,0)、D(0,0,2)、C(0,2,0, 则BD=(-1,-2,2）、MC=(-1,1,0),则 BD·MC=1-2+0=-1≠0， D C1 故BD与MC不垂直，故A错误； A1 B 对B:MC=（-1,1,0),MD=（-1,-1,2, 设平面D,MC的法向量为m=(x,y,z), D m·MC=-x+y=0 B 则 取x=1,则y=1,z=1, m·MD=-x-y+2z=0 则m=1,1,1: 由z轴⊥平面MCD,故平面MCD的法向量可取i=(0,0,1, 则cosm,i= m方。1√5 m同5=3’ 由图可知为锐角， 故二面角D,-MC-D的余弦值是 ,故B正确； 3 对C:延长CM、DA使其交于点N,连接DN,设DN∩AA=P,连接PM, 则四边形MCD,P即为过D,MC的平面截该长方体得到的图形， 由M为AB中点，故AN=BC=1,则AN=AD,,故P为AA中点， 放P、M分别为ND与C中点，放PM/iDC且PM=DC=2+2-2, 2 D C 则四边形MCD,P为梯形， 2 (22+V2)×,12+12 2√2-√2 则 2 S梯形MCDP 2 故C正确； 对D:如下图，将平面ABCD延CD展开，使得该平面与DCC,D,位于同一平面， C C 此时D,M=V2+1)2+12=√0； M B 如下图，将平面AADD,延AA展开，使得该平面与 AABB,位于 B 同一平面， 此时D,M=V1+1)2+22=2V2: 如下图，将平面ABCD延AD展开，使得该平面与AADD,位于同一平面， A D 此时D,M=V2+1)2+12=0: A D M 综上可得，沿长方体表面从D到M的最近距离是2√2，故D错误. B 12.32 1 【详解】令x= 2’a+ 4+++a4+=1+2×5=32 2481632 13.10 【详解】：双曲线C:x-y =1的实半轴长a=1,虚半轴长b=V3,半焦距 c=√a2+b2=2,右焦点F(2,0) :点M,N在双曲线右支上，由双曲线定义得： 1MF|-|MF,=2a=2,|NF|-|NF2=2a=2, F .两式相加得MF+|NF=M,+|NF,|+4, :M,F,N共线，.IMF,|+NF=MN|,即MF+|NE=MN|+4,因此只需求 MN|的最小值 分两种情况讨论直线1： 1.当直线1斜率不存在时，直线方程为x=2,代入双曲线方程得： 4-上=1，解得y=士3，此时弦长MN卡3-(-3)=6 3 2.当直线斜率存在时，设直线方程为y=k(x-2),代入双曲线方程整理得： (3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0, :直线与右支交于两点，.k2>3,由弦长公式推导得： 4 :k2>3, >0,.MN>6 k2-3 综上，IMN的最小值为6， .MF+|NFI的最小值为6+4=10 【点睛】1.核心技巧：双曲线定义的转化是本题关键，将到左焦点的距离转化为到右焦点的 距离加定值2α，大幅简化了最值问题。 2.二级结论：双曲线过焦点且与同一支相交的弦中，通径（垂直于实轴的弦）最短， [ 【详解】f(x)=x(x-2)2→f'(x)=(x-2)2+x·2(x-2=(x-2)(3x-2), 当e号到./>0,1华指，当可仔时，了<e华建减 当x∈2，+0)时，f'（x)>0,f(x单调递增. 27 当m0,3 时，当x∈[0，m]时，该函数单调递增， 所以f(x)x=f(m)=m(m-2)2, 所以对任意x∈[0，m],都有f(x)≤m,一定有m(m-22≤m成立， 解得1≤m≤3，这与m0,相矛盾，不符合题 当m∈ 所以对任意xe0a小，都有o),定有品sm发立，眉m后2，所以 1m∈ 当m∈2，+oo时，设max{a,b表示a,b两数中最大的数， 时，∫(x单调递增， 当x（后2时，f到牟弱递减，当x3,+时，了到单调递指 所以当ee1.小=m7》r个。 对任意xe0,m,都有f)≤m，一定有f)sm且fm=mm-2≤m, 解得2<m≤3，综上所述 ≤烟≤3，所以云务取直起调为[号 27 15.【详解】(1)解：(1)'d=a2-a1=c0s20-sin20=cos20, 45,=4a,+6d=4sin0+6c0s20=2+4c0s20=4,c0s20=},d= 2 0<0<号cw20-分20=号0-g 6 2)解：由(1)得，a,=sim2亚=，a,=1+ ,.am= 64 42 (n-1)=2n-1 4 l=2n-1. n元 -·S1n 4 2 经期1答，时，5 2 2 当n=4k+2时，sin匹=0：当n=4k+3时，sin” =-1; 2 2 当n=4k+4时，sin”=0,其中k∈N. ∴在-个图期内，n-2秋4-x181,baa=0， 4 4 63=24+3) x-l=-8+5,b44=0, 4 4 6t1+b2+hs+64=8k+l_8张+5 =-1, 4 4 数列{bn}的前20项为5个完整的周期，T0=5×-1)=-5. 16.【详解】(1)证明因为ABC内接于圆O,AB为圆O的直径，所以AC⊥BC. 因为CD⊥平面ABC,BCc平面ABC,所以CD⊥BC. 又AC,CDC平面ACD,AC∩CD=C,所以BC⊥平面ACD. 因为BCC平面BCE,所以平面BCE⊥平面ACD. (2)因为CD⊥平面ABC,AC,BCC平面ABC, 所以CD⊥AC,CD⊥BC. Z 以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AB=√5，BC=1,所以AC=2, E 则A2,0,0),B(01,0),D0,0,2V3，E1,0,V5, B 所以CE=1,0,V3，CB=(0,1,0). 0 设平面BCE的法向量m=(x,1,名)，由 mC正=0得+5=0， m-CB=0,y=0, 不妨设名=1，则x=-√3，所以平面BCE的一个法向量m=-V3,0,1, 又BD=(0,-1,2V3),DE=1,0,-V5, 设平面BDE的法向量方=(x2,2,22)， n.BD=0, 由 得 DE=0 -+252,=0,不防设，=1，则，=5，为=25， x2-V3z2=0, 所以平面BDE的一个法向量i=V5,2W5,1. 所以cos<m,>= m21 m 2×441 即平面BCE与平面BDE所成角的余弦值为4： 17.【详解】(1)甲至少110分有两种情况：前两次甲得40分，后三次甲得90分；前两次甲 得20分，后三次甲得90分； 故概率为 旷c4 15 128 (2)后三次甲选A箱，甲五次总得分X可能为60、80、100、120， Px--crx=0=c[a P(X=100)=( 随机变量X的分布列为： X 60 80 100 120 1 9 27 27 64 64 64 64 9 E(X)=60× +80× +100× 64 64 27+120× 6 =105分 4 后三次乙选B箱，乙五次总得分Y可能为30、60、90、120， P(Y=90)= )w-0-c- 随机变量Y的分布列为： Y 30 60 90 120 1 2 4 P P 27 9 9 27 4 E(Y)=30× +60×二+90×-+120× 8 27 =90分， 9 9 27 所以E(X)>E(Y),故甲获得冠军的可能性更大 18.【详解】(1)f'(x=2e2r--a, ①当a≤0时，∫'(x)>0,则fx单调递增，最多有一个零点，不合题意，舍去； ②当a>0时，令f到=0，设。1+h x0=2 在(-o,xo)上，f'(x<0,f(x在(-o,)单调递减， 在(x,+0上，f'(x>0,f(x在(xo,+o)单调递增， 所以f(x)的极小值为f(x), 由已知，x→+0时f(x)>0,x→-0时f(x)>0,只须f()<0, a 所以)=e-<0,即e宁 <0 2 解得a>2. 2e2-a=e3 (2)f'(x)=2e2-1-a,设切点为(xo,y),由已知切线方程可知 e2%-1-ax=e3x-3e3' 由a=2e2-1-e3代入下式得e21=2xe2-1-3e3, 所以(2x-1e2-1=3e3, 令t=2x-1,F(t=te,由te=3e3>0得t>0, 因为F(t)=e+e=e'(1+t)>0, 所以F(t)在(0，+o0)为单调递增函数，t=3为方程F(t)=3e的唯一解. 所以x。=2,a=e3. (3)g(x)=f(x)+ax-Inax =e2x--Inax(a>0), 设0x)=e2-1-2x, p(x)=2e21-2,令p'(=0,得=2 当xe0t,p<0,当xe行j时，p1>0, 所以p()在x∈0单调遥减，在xe2】 单调递增， 所以pe)2o=0,即e-2x20se2≥2x 所以g(x)=e2x-1-lnax≥2x-lnax, 令811=2x-ho>0,1=2-,令到-0，x= 当x0时，<0，当xe时.>0， 单调递增， h2h-1-ng≥1，解得a≤2， 显然当0<a≤2时，g(x)=e2--lnax≥h(x≥1恒成立， 当a>2时，n号>nl=0,存在g 1 =1-加号<1，不特合条件， 综上所述0<a≤2. 19.【详辩】1：-5，a=2,c=5,b=1精圆C的标准方程为号+y广=1 (2)设Ax,y),B(x2,y2), x=my+1 联立直线与椭圆C的方程 +严=1'得(m+4到+2my-3=0, 4 -2m -3 月+片=m2+4h=m2+4 易得，△=16m2+48>0. Sm方x2x国-小 -2m -4x3 4Vm2+3 m2+4 m2+4m2+4 4u4 设Vm2+3=u(u≥V3） 则S4mt+1 1 u+- :M≥5，由对勾函数性质知M+≥45.S.m0,V5] u 3 (3)直线4P方程为：y=片(x-t),联立y=x x-t 得：x=,C以 yi-x+ty-x+t y-x+t x1=my1+1, ..C -说+- yt 同理可得：点D yt y2-x2+t y2-x2+t 2=my2+1, D yt (1-m)y2+t-1'(1-m)y2+t-1 -21m -3 由(2)知：y1+y2= m2+4’y2= m2+4 locop-x2 1-m)y+t-1(1-m)y2+t-1 52h-m'+1-mg-0+g- 当y2 -3 =2 m4+6- m2+4+(1-mjt-12m 1-m)2.-3 6t2 1 m)2.23 +-m-小9- m2+4 6t2 m2+4)2-(2m+8)t+2m2+2m+1 612 要使 为常数 m2+4)t2-(2m+8)t+2m2+2m+1 2m+8=0 需要 2m2+2m+1=0 ,方程组无解 .不存在实数m,使得OCOD为定值.