广东深圳市建文外国语学校2025-2026学年第二学期校二模考试高三数学试题

**基本信息** 立足高三二模备考，以赵爽弦图文化素材与概率实际应用为载体，覆盖复数、抛物线、数列等高考核心模块，注重数学思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数几何意义、集合运算、抛物线定义|第8题结合赵爽弦图考查三角运算，体现文化传承| |多选|3/18|椭圆定义、等差数列性质|第11题综合等差等比数列判定，强化逻辑推理| |填空|3/15|椭圆与双曲线焦点、二项式系数|第14题以偶函数性质求参数，考查数学抽象| |解答|5/77|概率分布列、椭圆弦长、等差等比综合|第15题设计选拔考核情境，第18-19题融合等差等比，突出数学语言表达与复杂问题解决|

深圳市建文外国语学校2025-2026学年第二学期校二模考试 高三数学 本试题卷共4页，共19题。全卷满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上。 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 2.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解分式不等式得出集合A，再应用交集定义计算求解. 【详解】，即，，解得， 又因为集合，则. 3.已知点F是抛物线C：的焦点，若抛物线C上的点A到F的距离为4，则点A到y轴的距离为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A  【解答】 解：抛物线C上的点A， 设，抛物线C：的焦点，准线方程， 抛物线C上的点A到F的距离为4， ，得到 故选： 4.已知为球的半径，为线段上的点，且，过且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，由题得. 设球的半径为，则, 所以. 故选：B 5.已知是第一象限角，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是第一象限角，且， 所以，则，, 所以. 6.五位医生被分配到4个接种点承担接种新冠疫苗工作，每个医生只能去一个接种点，每个接种点至少有一名医生，其中医生甲不能单独完成接种工作，则共有（    ）种不同的分配方法 A．24 B．48 C．96 D．12 【答案】C 【详解】从能独立工作的4名医生中选一人与甲同时工作有种，然后把剩余3人与所选2人视为4组，分到4个不同的接种点，共有种， 故共有 故选：C 7. 已知分别是椭圆的左右焦点，是椭圆上一点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为，则， 因为，所以，解得，即椭圆的离心率为． 故选：A. 8. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】根据图形和已知条件可得： ， 所以，所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是    A. 若定点，满足，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 B. 若定点，满足，动点M满足，则动点M的轨迹是椭圆 C. 当时，方程表示椭圆 D. 若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 【答案】BD 【解析】对于A，若定点，满足，动点P满足， 则动点P的轨迹为以，为端点的线段，所以A中说法不正确; 对于B，若定点，满足，动点M满足， 则由椭圆的定义，可得动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以B中说法正确; 对于C，当，即时，方程表示圆，所以C中说法不正确; 对于D，若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，其中，， 可得，所以焦点坐标为，所以D中说法正确. 故选 10.互不相等的一组数据成等差数列，公差为，则下列选项中正确的是(    ) A. 的平均数等于的平均数 B. 的上四分位数和下四分位数之差为 C. 从这个数中任选个数，这个数成等差数列的概率为 D. 若的标准差为，可得 【答案】AC  【解析】解：对应选项，首先看，根据等差数列的性质可知，的平均数也是所以选项正确   对于选项，当时，这个数按从小到大排列，上四分位数是，下四分位数是，此时上四分位数和下四分位数之差为． 当时，这个数按从小到大排列，上四分位数是，下四分位数是，此时上四分位数和下四分位数之差为，所以选项错误． 对于选项，从个数中选个数的组合数种 而；；；这组能构成等差数列，所以这个数成等差数列的概率为，选项正确   对于选项，已知，因为，，，，代入可得． 又已知，即，所以，选项错误   故选：． 11.下列命题正确的是(    ) A. 若数列均为等差数列，则数列为等差数列 B. 若数列是公比相同的等比数列，则数列为等比数列 C. 若数列为等差数列，则数列为等比数列 D. 存在非零实数使得数列为等比数列 【答案】AC  【解析】对于  ，设数列  的公差分别为  ， 则  ，为常数，故选项正确； 对于  ，  均为等比数列且公比相等，当  时，数列  不是等比数列，故选项错误； 对于  ，设等差数列的公差为  ，则  ，为常数，所以  为等比数列，故选项正确； 对于  ，若数列  为等比数列，则  ， 当  时，  ，当  时，  不是常数，故选项  错误． 故选：  ． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.已知椭圆和双曲线的焦点相同，则          . 【答案】  解：由题知双曲线的焦点为，则，解得 13.的展开式中的系数是          .（用数字作答） 【答案】80 13.函数是偶函数，则正数________ 【答案】4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响． （Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率； （Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为，求随机变量的分布列和期望． 【解析】（Ⅰ）设事件表示“该选手能正确回答第i轮问题”． 由已知，，，．…………………………………1分 因为各轮问题能否正确回答互不影响…………………………………………………2分 所以： （Ⅰ）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则 …………………………………4分 （Ⅱ）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则 …………………………………8分 （Ⅲ）X的可能取值为1,2,3,4．…………………………………9分 ； ； ； ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 P ………………………………………………………………………………12分 ∴．…………………………………13分 16．（15分）已知椭圆的右焦点为，且长轴长为 求椭圆C的标准方程; 经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C相交于M，N两点，求线段MN的长. 【答案】因为椭圆C的长轴长为，即，所以，…………2分 又因为椭圆C的右焦点为，即，…………3分 所以，…………4分 所以椭圆C的标准方程为…………6分 由题意可得，直线l的方程为，…………7分 由得，…………8分 设，，则，，…………10分 故…………12分 …………13分 ，…………14分 所以线段MN的长为…………15分  17．（15分）已知椭圆：的短轴长为，由的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为． 求椭圆的方程； 已知点，过点的直线与椭圆交于不同两点，,证明：． 解：由椭圆短轴长为，得，所以．…………2分 又的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为，所以，………3分 即．…………4分 又，…………5分 解得，．…………6分 所以椭圆的方程为．…………7分 设直线的方程为当直线斜率不存在时，直线过点，不合题意．……8分 设，． 联立，整理得，…………9分 ， 则，，…………11分 ，…………13分 而，…14分 所以．…………15分  18．（17分） 已知为等差数列，公差，中的部分项恰为等比数列，且公比为若． 求；       求数列的通项公式及其前项之和． 【答案】解：由成等比数列， 故 …………2分 即，…………4分 即  ，…………5分 又因为 ， 故 ， …………6分 ，（）…………7分 故等比数列的公比 ；…………8分 在等差数列 中， ，…………10分 在等比数列 中， ，…………12分 故   ，…………13分 即 ，（）…………14分 …………15分 ．（）…………17分  19.（17分） 已知是等差数列，是公比为的等比数列，且． 证明：； 求集合中元素的个数． 【答案】 解：设等差数列公差为，…………1分 由，知，…………3分 故，…………4分 由，知，…………5分 故…………6分 故，…………7分 整理得，得证．…………8分 由知，由，…………9分 知：，…………11分 即，…………12分 即，…………13分 因为，故，…………14分 解得，…………15分 故集合中元素的个数为个． …………17分 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市建文外国语学校2025-2026学年第二学期校二模考试 高三数学 本试题卷共4页，共19题。全卷满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上。 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3.已知点F是抛物线C：的焦点，若抛物线C上的点A到F的距离为4，则点A到y轴的距离为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.已知为球的半径，为线段上的点，且，过且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则（   ） A． B． C． D． 5.已知是第一象限角，且，则（　　） A． B． C． D． 6.五位医生被分配到4个接种点承担接种新冠疫苗工作，每个医生只能去一个接种点，每个接种点至少有一名医生，其中医生甲不能单独完成接种工作，则共有（    ）种不同的分配方法 A．24 B．48 C．96 D．12 7. 已知分别是椭圆的左右焦点，是椭圆上一点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是    A. 若定点，满足，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 B. 若定点，满足，动点M满足，则动点M的轨迹是椭圆 C. 当时，方程表示椭圆 D. 若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 10.互不相等的一组数据成等差数列，公差为，则下列选项中正确的是(    ) A. 的平均数等于的平均数 B. 的上四分位数和下四分位数之差为 C. 从这个数中任选个数，这个数成等差数列的概率为 D. 若的标准差为，可得 11.下列命题正确的是(    ) A. 若数列均为等差数列，则数列为等差数列 B. 若数列是公比相同的等比数列，则数列为等比数列 C. 若数列为等差数列，则数列为等比数列 D. 存在非零实数使得数列为等比数列 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.已知椭圆和双曲线的焦点相同，则          . 13.的展开式中的系数是          .（用数字作答） 14.函数是偶函数，则正数________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响． （Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率； （Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为，求随机变量的分布列和期望． 16．（15分）已知椭圆的右焦点为，且长轴长为 求椭圆C的标准方程; 经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C相交于M，N两点，求线段MN的长.  17．（15分）已知椭圆：的短轴长为，由的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为． 求椭圆的方程； 已知点，过点的直线与椭圆交于不同两点，,证明：．  18．（17分）已知为等差数列，公差，中的部分项恰为等比数列，且公比为若． 求；       求数列的通项公式及其前项之和．  19.（17分） 已知是等差数列，是公比为的等比数列，且． 证明：； 求集合中元素的个数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $