17.3+一元二次方程根的判别式 课件+2025-2026学年沪科版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，通过回顾求根公式与配方法，以问题链引导学生思考根的存在条件，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动培养推理意识，结合典例精析与变式练习强化数学思维，用表格结构化总结判别式与根的关系体现数学语言表达。学生能提升抽象能力和解题逻辑，教师可借助清晰流程和实例高效教学。

17.3 一元二次方程根的判别式 第十七章 一元二次方程 M A T H 22002 学习目标 1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念； 2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况； 3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围. (重、难点) M A T H 22002 . 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0） 求根公式： （1）当b2－4ac＞0时， 是正实数， 因此，方程有两个不相等的实数根： （2）当b2－4ac＝0时， ＝0， 因此，方程有两个相等的实数根： 导 学 （3）当b2－4ac＜0时， 在实数范围内没有意义， 因此,方程没有实数根. M A T H 22002 交流 回顾求根公式，想想方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）有实数根的条件是什么？何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？ 我们知道，一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）通过配方可以得到： 因为 a ≠ 0，所以 M A T H 22002 回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0). 解：二次项系数化为 1，得 x2 + x + = 0. 配方，得 x2 + x + ( )2 = ( )2 - . 即 (x + )2 = 问题1：接下来能直接开平方吗？ 一元二次方程根的判别式 1 M A T H 22002 问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？ 我们知道，(x + )2≥0，4a2＞0. 当 b2–4ac＞0 时，x1 = ，x2 = 当 b2–4ac = 0 时，x1 = x2 = 当 b2–4ac＜0 时，不能开方(负数没有平方根)， 所以此时原方程没有实数根. M A T H 22002 （1）当 b2 – 4ac ＞ 0 时， ＞0，则 因此，方程有两个不相等的实数根： M A T H 22002 （2）当 b2 – 4ac = 0 时， =0. 因此，方程有两个相等的实数根： M A T H 22002 （3）当 b2 – 4ac < 0 时， ＜0，则 因此，方程没有实数根. 而x取不到任何实数都不能使 ＜0. ＜0. M A T H 22002 温故知新 解：(1)（2x+1）2＝25 2x+1＝±5 2x+1＝5或2x+1＝-5 ∴原方程的根为x1＝2,x2＝﹣3 1.用适当的方法解下列方程 （1）（2x+1）2﹣25＝0 （2）(x+1)(x+2)=0 (2)原方程可变形为 x2+3x+2=0 （x+1）（x+2）=0 x+1=0或x+2=0 ∴原方程的根为x1=-1,x2=-2 M A T H 22002 互学 知识点一：一元二次方程根的判别式 1.不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－2=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1). 解：(1)∵∆=42－4×3×(－2)=40＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． （3）原方程可变形为：5y2－7y+5=0, ∵∆=(－7)2－4×5×5=－51＜0. ∴方程无实数根． （2）原方程可变形为：4x2－12x+9=0, ∵∆=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根． 步骤：1.化为一般式，确定a、b、c的值. 2.计算 的值，确定 的符号. 3,判别根的情况，得出结论. M A T H 22002 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 判别式的情况 根的情况 我们把 b2 - 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即 Δ = b2 - 4ac. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 知识要点 M A T H 22002 3. 判别根的情况，得出结论。 1. 化为一般式，确定 a，b，c 的值； 根的判别式应用方法 2. 计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号； 知识要点 M A T H 22002 可见，一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）根的情况由b2 – 4ac来确定．我们把 b2 – 4ac 叫做一元二次方程 ax2+ bx + c = 0（a ≠ 0）根的判别式. 通常用符号“Δ”来表示，即Δ= b2 – 4ac . 一般地，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 （a ≠ 0）， 当 Δ ＞ 0 时，有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，有两个相等的实数根； 当 Δ ＜ 0 时，没有实数根. M A T H 22002 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况的步骤： (1)把所给的一元二次方程化为一般形式； (2)确定 a， b， c 的值； (3) 计算 b2－4ac的值； (4) 根据 b2－4ac 的值与 0 的大小关系判别 . M A T H 22002 典例精析 例1 用根的判别式判别下列方程根的情况： 解 (1) 因为 Δ = (-3)2 -4×5×( -2) = 49＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根. (2) 原方程可变形为 25y ² -20y + 4 = 0， 因为 Δ = ( -20)² -4×25×4 = 0， 所以原方程有两个相等的实数根. (1) 5x² - 3x - 2 = 0； (2) 25y² + 4 = 20y； (3) 2x² +x +1= 0. (3) 因为 Δ = ()² - 4×2×1 = -5 < 0， 所以原方程没有实数根. M A T H 22002 判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Δ = b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根； Δ = b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； Δ = b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根。 方法归纳 M A T H 22002 我们把b2-4ac叫做一元二次ax2+bx+c＝0根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 =b2-4ac. 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 有实数根 判别式的符号 根的情况 ∆>0 ∆=0 ∆<0 ∆≥0 M A T H 22002 互学 知识点二：一元二次方程根的判别式的运用 2.已知关于x的方程x2－3x＋k＝0，问k取何值时，这个方程： (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ (4)有实数根？ M A T H 22002 解： ∆=(－3)2－4×1×k=9－4k， （1）∆=9－4k＞0，即： 时，方程有两个不相等的实数根； （2）∆=9－4k=0， 即： 时，方程有两个相等的实数根 （3）∆=9－4k＜0，即： 时，方程没有实数根. 互 学 知识点二：一元二次方程根的判别式的运用 （4）∆=9－4k≥0，即: 时，方程有实数根 M A T H 22002 例 用根的判别式判别下列方程根的情况： (1)5x2−3x − 2＝0； (2)25y2+4＝20y； (3)2x2+x+1＝0. 解（1）因为 Δ =（–3）2 – 4×5×（–2）= 49 ＞ 0， 所以原方程有两个不相等的实数根. （2）原方程可以变形为 25y2 – 20y + 4 = 0. 因为 Δ = （–20）2 – 4×25×4 = 0， 原方程有两个相等的实数根. （3）因为 Δ =（）2 – 4×2×1 = – 5 ＜0， 所以原方程没有实数根. 需先将方程化为一般形式 解题秘方：紧扣利用根的判别式判别一元二次方程根的情况的步骤解答，计算根的判别式是关键 . M A T H 22002 补充例题 例 关于 x 的一元二次方程(a ＋ 2) x2－3x＋1=0 有实数根，则 a 的取值范围是( ) A. a ≤ 且 a ≠ －2 B. a ≤ C. a< 且 a ≠ －2 D. a< 解：∵关于 x 的一元二次方程 (a ＋ 2) x2 － 3x ＋ 1=0 有实数根， ∴ Δ ≥ 0 且 a ＋ 2 ≠ 0. ∴(－ 3) 2 － 4(a ＋ 2)×1 ≥ 0 且a ＋ 2 ≠ 0，解得 a ≤ 且 a ≠ － 2． A M A T H 22002 例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > -1 B. k > -1 且 k ≠ 0 C. k < 1 D. k < 1 且 k ≠ 0 解析：由于方程有两个不相等的实数根，故 Δ > 0，同时二次项系数不能为 0，即 ，k ≠ 0，解得 k > -1 且 k ≠ 0. B M A T H 22002 知识点三：利用根的判别式解决问题 3.关于x的一元二次方程 kx2-6x+1＝0有实数根，求k的取值范围. 解：∵一元二次方程kx2-6x+1＝0有实数根 ∴△≥0且k≠0 即：△=（-6）²-4k≥0 解得：k≤9且k≠0 M A T H 22002 解：①当方程为一元二次方程时 ∵一元二次方程kx2-6x+1＝0有实数根 ∴△≥0且k≠0 即（-6）²-4k≥0 解得：k≤9且k≠0 ②当方程为一元一次方程时,即k=0， ∵一元一次方程恒有根 ∴k=0 综上所述,k≤9时,该方程有实数根。 变式1：关于x的方程kx2-6x+1＝0有实数根，求k的取值范围？ M A T H 22002 一元二次方程根的判别式Δ= b2 – 4ac 当Δ ＞ 0 时，有两个不相等的实数根； 当Δ = 0 时，有两个相等的实数根； 当Δ ＜ 0 时，没有实数根. M A T H 22002 根的判别式：Δ = b2 - 4ac Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根 Δ < 0 时，方程没有实根 Δ = 0 时，方程有两个相等的实根 M A T H 22002 $