17.4 一元二次方程的根与系数的关系-课件2025－2026学年沪科版八年级数学下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 第17章 一元二次方程及其应用 17.4 一元二次方程的根与系数的关系练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础题（每题15分，共30分） 1. 已知方程$$x^2 - 8x + 12 = 0$$的两个根为$$x_1$$、$$x_2$$，求$$x_1 + x_2$$和$$x_1x_2$$的值。 解析：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）核心：对于一般式$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$），两根之和$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$，两根之积$$x_1x_2 = \frac{c}{a}$$，解题时先确定a、b、c的值，再代入公式计算。 第一步，确定a、b、c：方程为一般式$$x^2 - 8x + 12 = 0$$，其中$$a = 1$$，$$b = -8$$，$$c = 12$$； 第二步，代入韦达定理公式：$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-8}{1} = 8$$； 第三步，计算两根之积：$$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{12}{1} = 12$$； 结论：$$x_1 + x_2 = 8$$，$$x_1x_2 = 12$$。 2. 已知方程$$x^2 + 6x + 5 = 0$$的两个根为$$x_1$$、$$x_2$$，求$$x_1 + x_2$$和$$x_1x_2$$的值，并验证两根是否满足该关系。 解析：巩固韦达定理基础应用，同时衔接解方程，验证定理的正确性，强化记忆。 由方程$$x^2 + 6x + 5 = 0$$，得$$a = 1$$，$$b = 6$$，$$c = 5$$； 代入公式：$$x_1 + x_2 = -\frac{6}{1} = -6$$，$$x_1x_2 = \frac{5}{1} = 5$$； 验证：解方程得$$x_1 = -1$$，$$x_2 = -5$$，$$x_1 + x_2 = -1 + (-5) = -6$$，$$x_1x_2 = (-1) \times (-5) = 5$$，与韦达定理结果一致。 二、中档题（每题20分，共40分） 3. 已知一元二次方程的两个根为2和3，求这个一元二次方程（用一般式表示）。 解析：进阶考点——逆用韦达定理，已知两根求方程，核心是利用两根之和与两根之积确定a、b、c的关系，通常取$$a = 1$$简化计算。 第一步，设方程为$$x^2 + bx + c = 0$$（取$$a = 1$$），两根为$$x_1 = 2$$，$$x_2 = 3$$； 第二步，由韦达定理：$$x_1 + x_2 = -b$$，$$x_1x_2 = c$$； 计算得：$$2 + 3 = -b$$，即$$b = -5$$；$$2 \times 3 = c$$，即$$c = 6$$； 第三步，写出方程：$$x^2 - 5x + 6 = 0$$（若取a为其他非零数，方程可化为同类项形式，如$$2x^2 - 10x + 12 = 0$$，合理即可）。 4. 已知关于x的一元二次方程$$2x^2 - 4x + k = 0$$的两个根为$$x_1$$、$$x_2$$，且$$x_1 + x_2 = x_1x_2$$，求k的值。 解析：进阶应用——结合韦达定理与已知条件建立方程，求解参数，注意先保证方程有实数根（判别式≥0）。 由方程$$2x^2 - 4x + k = 0$$，得$$a = 2$$，$$b = -4$$，$$c = k$$； 由韦达定理：$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{4}{2} = 2$$，$$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{k}{2}$$； 根据题意$$x_1 + x_2 = x_1x_2$$，得$$2 = \frac{k}{2}$$，解得$$k = 4$$； 验证：当$$k = 4$$时，判别式$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 4 = 16 - 32 = -16 < 0$$，方程无实数根，不符合题意，故舍去； 结论：不存在满足条件的k值。 三、拓展题（30分） 5. 已知关于x的一元二次方程$$(m - 1)x^2 - 2x + 1 = 0$$有两个实数根$$x_1$$、$$x_2$$，且$$x_1^2 + x_2^2 = 2$$，求m的值。 解析：进阶拓展——结合韦达定理、完全平方公式，含参数且需分情况讨论，注意二次项系数不为0和判别式≥0。 第一步，确定前提条件：方程为一元二次方程，需满足$$m - 1 eq 0$$（即$$m eq 1$$），且有两个实数根，需$$\Delta \geq 0$$； 计算判别式：$$\Delta = (-2)^2 - 4 \times (m - 1) \times 1 = 4 - 4(m - 1) = 8 - 4m \geq 0$$，解得$$m \leq 2$$； 第二步，由韦达定理得：$$x_1 + x_2 = \frac{2}{m - 1}$$，$$x_1x_2 = \frac{1}{m - 1}$$； 第三步，利用完全平方公式变形：$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$$，代入已知条件$$x_1^2 + x_2^2 = 2$$； 代入韦达定理结果：$$\left( \frac{2}{m - 1} \right)^2 - 2 \times \frac{1}{m - 1} = 2$$，令$$t = \frac{1}{m - 1}$$，方程化为$$4t^2 - 2t - 2 = 0$$，化简得$$2t^2 - t - 1 = 0$$； 解得$$t = 1$$或$$t = -\frac{1}{2}$$； 当$$t = 1$$时，$$\frac{1}{m - 1} = 1$$，解得$$m = 2$$（满足$$m \leq 2$$且$$m eq 1$$）； 当$$t = -\frac{1}{2}$$时，$$\frac{1}{m - 1} = -\frac{1}{2}$$，解得$$m = -1$$（满足$$m \leq 2$$且$$m eq 1$$）； 第四步，综合得：m的值为2或-1。 总结：17.4 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）重点考查定理的正用、逆用，以及与判别式、完全平方公式的综合应用，核心是准确代入$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$和$$x_1x_2 = \frac{c}{a}$$，注意前提条件（$$a eq 0$$、方程有实数根），确保解题严谨。 学习目标 1. 探索一元二次方程的根与系数的关系. (难点) 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. (重点) 新课导入 探 索 从因式分解法可知，方程 (x – x1)(x – x2) = 0 (x1，x2为已知数)的两根为 x1 和 x2. 将方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ ①式可化为 x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 ③ 由②③式可对应得到 p = – (x1 + x2)，q = x1x2. 则上述方程两个根的和、积与系数的关系为： x1 + x2 = – p，x1x2 = q. (x – x1)(x – x2) = 0 ① → x2 + px + q = 0 ② 推进新课 知识点 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，且 b2 – 4ac ≥ 0) 的根与系数之间还有什么形式的关系呢？ 思 考 观察 x1 、 x2 表达式的特点，你有什么发现？ 一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、 x2 ， 那么 韦达定理 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、 x2 ， 那么 当一元二次方程的二次项系数为 1 时，它的一般形式为 x2 + px + q = 0. 设它的两个根为 x1 ， x2，这时有与 x1 + x2 = – p，x1x2 = q. 练一练 【教材P38练习 T1】 下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？ （1）x2 – 3x + 1 = 0；（2）3x2 – 2x – 2 = 0； （3）2x2 + 3x = 0；（4）3x2 = 1. 解：设方程的两个根分别为 x1，x2，由韦达定理，得 （1） （2） （3） （4）3x2 = 1. （4）将方程化为一般形式，得 3x2 – 1 = 0. 例 1 已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 有两个根，其中一个根是 – 4，求它的另一个根及 k 的值. 解：设方程的另一个根是 x2，则 解方程组，得 所以方程的另一个根为 ，k 的值为 7. 还有其他解法吗？ 例 1 已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 有两个根，其中一个根是 – 4，求它的另一个根及 k 的值. 方法二：先将 x1 = – 4 代入方程中，求出 k 的值，再求出方程的解. 2×(– 4)2 – 4k – 4 = 0 28 – 4k = 0 k = 7 2x2 + 7x – 4 = 0 练一练 【教材P38练习 T2】 已知关于 x 的方程 3x2 – 19x + m = 0 有两个根，其中一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 解：设方程的另一个根是 x2，则 解方程组，得 所以方程的另一个根为 ，m 的值为 16. 例 2 方程 2x2 – 3x – 1 = 0 的两个根记作 x1，x2，求 x1 – x2 的值. 解：由韦达定理，得 (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 一般地，若 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1，x2，你能用 a，b，c 表示 |x1 – x2| 吗？ 由韦达定理，得 (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 一般地，若 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1，x2，你能用 a，b，c 表示 |x1 – x2| 吗？ 由求根公式，得 拓展 与一元二次方程有关的代数式的常见变形： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 练一练 【教材P38练习 T3】 设 x1，x2 是方程 2x2 + 4x – 3 = 0 的两个根，求下列各式的值. （1）(x1 + 1)(x2 + 1)； （2） （3）|x1 – x2|. 解：由韦达定理，得 （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 （2） （3）(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 引申：对于 ax2  bx  c  0（a  0，  0） （1）若两根互为相反数，则 b  0； （2）若两根互为倒数，则 a  c； （3）若一根为 0，则 c  0； （4）若一根为 1，则 a  b  c  0； （5）若一根为 1，则 a  b  c  0； （6）若 a、c 异号，方程一定有两个实数根. 你能自己推导出这些结果吗？ 返回 D 1．[2025湖北]一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－4 B．x1＋x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3 中考考法 20 返回 中考考法 21 返回 －3 3．[2025苏州]已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝________． 中考考法 22 4．[2025泸州]若一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，则2α2－3α＋3β的值为________． 10 返回 中考考法 23 返回 5．[2025河北]若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C 中考考法 24 6．定义(a，b，c)为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的特征数．若特征数为(1，2k－2，k2－k)的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为(　　) A．－1或4 B．4 C．－1 D．－4或1 中考考法 25 【点拨】根据题意可知，该方程为x2＋(2k－2)x＋k2－k＝0.∵方程的两实数根的平方和为12，∴Δ＝(2k－2)2－4(k2－k)＝4k2－8k＋4－4k2＋4k＝－4k＋4≥0.∴k≤1.设两实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－(2k－2)，x1x2＝k2－k.∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12，∴[－(2k－2)]2－2(k2－k)＝12，解得k1＝4，k2＝－1.又∵k≤1，∴k＝－1. 【答案】C 返回 中考考法 课堂小结 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、 x2 ， 那么 韦达定理 － 2．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－6＝0的两个实数根，则＝________． 【点拨】∵一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，∴2α2－6α－1＝0，α＋β＝－＝3.∴2α2－6α＝1.∴2α2－3α＋3β＝2α2－6α＋3α＋3β＝2α2－6α＋3(α＋β)＝1＋3×3＝10. $