精品解析：2026年四川省绵阳市梓潼县二模数学试题

2026年初中第二次学业诊断 数 学 说明：本试卷共10页，满分150分．考试时间120分钟，答案全部写在答题卷上，否则不得分． 第I卷 选 择 题（36分） 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则以下四个结论中，正确的是（　　） A. 一定是正数 B. 可能是负数 C. 一定是正数 D. 一定是正数 3. 如图是由6个大小相同的正方体组成的几何体，如果增加一个同样大小的正方体后，新几何体的主视图不改变，可以加在（ ） A. ①的上方 B. ②的上方 C. ③的上方 D. ④的上方 4. 某区区长直播带货的相应视频在某个平台的点击量达到1500000次，为该区的农副产品的创收打开了新的局面，数据1500000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 5. 一个不透明的袋子中装有红球10个，白球6个，黑球4个，从中随机摸出一个球，以下说法正确的是（　　） A. 摸出白球概率最小 B. 摸出红球概率最大 C. 不可能摸出黑球 D. 可能摸出黄球 6. 已知与的两边分别平行，且比的2倍多，则的度数为（　　） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，在平行四边形中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接、，则下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①② D. ①②④ 8. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（ ）灯． A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 9. 如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10．那么，二进制中的110101表示的是十进制中的（　　） A. 25 B. 23 C. 55 D. 53 11. 如图，正方形的边长是4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿、向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为G，连接，则长的最小值为（　　） A. B. C. D. 2 12. 如图，在中，，，轴，点D是的中点，点C、D在的图象上，则k的值为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（每小题4分，共24分） 13. 若二次根式有意义，则的取值范围是_____． 14. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为______． 15. 如图，中，，，，则的值为______． 16. 新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为______ 17. 商店一次进货6桶油，重量分别为15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克．上午卖出去2桶，下午卖出去3桶，下午卖得的钱数正好是上午的2倍．剩下的一桶重 _______千克． 18. 苯分子式为的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的随着研究的不断深入，发现如图的一个苯分子中的个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图，点为正六边形对角线的中点，连接．若，则的长是______． 三．解答题（90分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）请将条形统计图补充完整；本次调查所得数据的众数是______部，中位数是______部； （2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为______度； （3）该校共有1560名学生．估计该校没有读过四大名著的学生有多少人？ （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 22. 乡村全面振兴有序推进．某村开展了主题为“善读书·兴业富民”的读书活动，用书香涵养乡村新貌．为配合活动的开展，村委会决定增加村图书馆的藏书数量，准备购进一批农业类书籍和科技类书籍，其中购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元． （1）求农业类书籍和科技类书籍的单价各是多少元？ （2）若准备用9200元购买农业类书籍和科技类书籍共200本，问至多购买农业类书籍多少本？ 23. 如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． （1）你选择的补充条件是___________（填序号）； （2）根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 24. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 25. 如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线经过B、C两点． （1）求出该二次函数的解析式． （2）已知点P为直线l上的一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N． ①当时，求点P的横坐标． ②当的长度随t的增大而增大时，直接写出t的取值范围． （3）如图2，将二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有3个公共点时，求n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中第二次学业诊断 数 学 说明：本试卷共10页，满分150分．考试时间120分钟，答案全部写在答题卷上，否则不得分． 第I卷 选 择 题（36分） 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，先化简括号内的同底数幂乘法，再利用幂的乘方法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 2. 若，则以下四个结论中，正确的是（　　） A. 一定是正数 B. 可能是负数 C. 一定是正数 D. 一定是正数 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了有理数的加减法以及正数与负数，根据a，b，c，d的符号得出关系式是解题关键． 根据，即可得出，即可得出答案． 【详解】解：A、符号无法确定，故此选项错误； B、，则，故此选项错误； C、∵， ∴， ∴一定是正数，故此选项正确； D、符号无法确定，故此选项错误； 故选：C． 3. 如图是由6个大小相同的正方体组成的几何体，如果增加一个同样大小的正方体后，新几何体的主视图不改变，可以加在（ ） A. ①的上方 B. ②的上方 C. ③的上方 D. ④的上方 【答案】A 【解析】 【分析】主视图是从正面看得到的图形，原几何体的主视图从左往右小正方形的个数依次为1，2，2， 若增加一个正方体后主视图不变，则增加的正方体不能改变每一列的最高层数，据此即可得出． 【详解】解：观察几何体可知，原主视图从左往右各列的高度分别为1，2，2， ∵②、③、④分别位于右列、中列、左列的最高处， ∴在②、③、④的上方增加正方体，对应列的高度会增加，主视图会发生改变， ∵①位于右列的前排下层，而右列后排已有2层高（位置②）， ∴在①的上方增加一个正方体，右列的最高高度仍为2，主视图不改变， ∴可以加在①． 4. 某区区长直播带货的相应视频在某个平台的点击量达到1500000次，为该区的农副产品的创收打开了新的局面，数据1500000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 5. 一个不透明的袋子中装有红球10个，白球6个，黑球4个，从中随机摸出一个球，以下说法正确的是（　　） A. 摸出白球概率最小 B. 摸出红球概率最大 C. 不可能摸出黑球 D. 可能摸出黄球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查随机事件与概率的计算，先计算总球数，得到各颜色球被摸出的概率，再逐一判断选项． 【详解】解：总球数为 （个）， ∴摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， ∵， ∴摸出红球概率最大，摸出黑球概率最小，A错误，B正确， ∵袋中有黑球， ∴可能摸出黑球，C错误， ∵袋中没有黄球， ∴不可能摸出黄球，D错误． 6. 已知与的两边分别平行，且比的2倍多，则的度数为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵与的两边分别平行， ∴或， ∵比的2倍多， ∴， ∴且， ∴， 解得． 7. 如图，在平行四边形中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接、，则下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①② D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，可知，即；延长交延长线于M，根据平行四边形的性质得到，进而得到，，证明，得到，，求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知；根据得到，可知；设，根据等边对等角得到，根据角的和差可知． 【详解】解：∵F是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图，延长交延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵F为中点， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③不成立； 设， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，故④错误． 8. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（ ）灯． A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 【答案】B 【解析】 【分析】设塔的顶层共有x盏灯，则其他6层的灯数分别为盏，盏，盏，盏，盏，盏，根据一共有381盏灯建立方程求解即可． 【详解】解：设塔的顶层共有x盏灯， 由题意得，， 解得：， 所以塔的顶层共有3盏灯． 9. 如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形的外角得到，即可得到，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 10. 日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10．那么，二进制中的110101表示的是十进制中的（　　） A. 25 B. 23 C. 55 D. 53 【答案】D 【解析】 【分析】将二进制写成2的乘方的形式，进而根据有理数的乘方和加法运算计算即可． 【详解】解：110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×2+1×1＝53． ∴二进制中的数110101表示的是十进制中的53． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数乘方，理解题意将二进制表示成2的乘方的形式是解题的关键． 11. 如图，正方形的边长是4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿、向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为G，连接，则长的最小值为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设交与点O，证明．连接，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】解：如图，连接，设交与点O， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 取中点M，连接，，则，为定长， ∵， ∴， ∴， 如图，过点M作于点N，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当A，M，G三点共线时，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角是性质，三角形三边关系的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形的第三边大于另外两边之差． 12. 如图，在中，，，轴，点D是的中点，点C、D在的图象上，则k的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，设，根据题意，由于点C、D在的图象上，即可得到，解得． 【详解】解：设，根据题意， ∵点D是的中点， ∴， ∵点C、D在的图象上， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 二．填空题（每小题4分，共24分） 13. 若二次根式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 14. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题可先将方程的解代入一元二次方程，求出含、的代数式的值，再通过整体代入法求出目标代数式的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程（）的一个解， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，中，，，，则的值为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个角的正弦值，勾股定理，先由勾股定理求出的长，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键． 【详解】解：由，得， ， 解得， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 17. 商店一次进货6桶油，重量分别为15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克．上午卖出去2桶，下午卖出去3桶，下午卖得的钱数正好是上午的2倍．剩下的一桶重 _______千克． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查倍数，据题意可知：根据“下午卖得的钱数正好是上午的2倍”，可知卖出的5桶油的总重量是上午卖出重量的3倍，因此5桶油的总重量是3的倍数，6桶油的总重量为（千克），余2，要使卖掉的5桶油的总重量是3的倍数，则剩下的一桶油的重量除以3的余数必须是2，在已知的6个重量中，只有20除以3的余数是2，故可得结论． 【详解】解：因为下午卖得的钱数正好是上午的2倍， 所以，卖出的5桶油的总重量是上午卖出重量的3倍， 而6桶油的总重量为（千克），余2， 要使卖掉的5桶油的总重量是3的倍数，则剩下的一桶油的重量除以3的余数必须是2， 而，在已知的6个重量中，只有20除以3的余数是2， 所以剩下的一桶重20千克． 故答案为：20． 18. 苯分子式为的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的随着研究的不断深入，发现如图的一个苯分子中的个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图，点为正六边形对角线的中点，连接．若，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查正多边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，推导出，且是解题的关键． 由点为正六边形的对角线的中点，可得， ，且平分，从而得到是等边三角形，即可得到问题的答案． 【详解】解：∵多边形是正六边形， ∴， 点为正六边形对角线的中点， ，且平分， ∴， 是等边三角形， ， 故答案为：． 三．解答题（90分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，逐项化简，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】解：原式． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）请将条形统计图补充完整；本次调查所得数据的众数是______部，中位数是______部； （2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为______度； （3）该校共有1560名学生．估计该校没有读过四大名著的学生有多少人？ （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 【答案】（1）1，； 补全的条形统计图如图所示： （2）； （3）78人； （4）． 【解析】 【分析】（1）用“3部”人数除以对应的百分比即可求得本次调查的总人数，利用本次调查的总人数减去其余各部人数，即可得到“2部”人数，补全条形统计图，再根据众数，中位数概念求解即可； （2）根据条形统计图得到“4部”人数所占比例，用乘以“4部”人数所占比例即可； （3）根据调查人数中没有读过四大名著的学生所占比乘以总人数1560即可解题； （4）利用列表法或树状图法得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题知，（人）， （人）， 图略； 本次调查所得数据的众数是1部，中位数是（部）； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校没有读过四大名著的学生有人。 【小问4详解】 解：《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别用字母A、B、C、D表示，树状图如下图所示： 由图知，一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种， ∴他们恰好选中同一名著的概率． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图以及条形统计图的运用、中位数、众数、用样本估计总体、利用树状图求概率等知识点，读懂统计图、从统计图中得到必要的信息是解题的关键． 22. 乡村全面振兴有序推进．某村开展了主题为“善读书·兴业富民”的读书活动，用书香涵养乡村新貌．为配合活动的开展，村委会决定增加村图书馆的藏书数量，准备购进一批农业类书籍和科技类书籍，其中购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元． （1）求农业类书籍和科技类书籍的单价各是多少元？ （2）若准备用9200元购买农业类书籍和科技类书籍共200本，问至多购买农业类书籍多少本？ 【答案】（1）农业类书籍的单价是50元，科技类书籍的单价是40元 （2）至多购买农业类书籍120本 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意、列出方程组和一元一次不等式是解决本题的关键． （1）设农业类书籍单价为x元，科技类书籍单价为y元，根据：购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元，即可得出方程组，解方程组即可； （2）设购买农业类书籍m本，则购买科技类书籍本，再根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设农业类书籍单价为x元，科技类书籍单价为y元， 根据题意得：， 解得， 答：农业类书籍单价为元，科技类书籍单价为元； 【小问2详解】 解：设购买农业类书籍m本，则购买科技类书籍本， 根据题意得：， ； 解得：， 答：至多购买农业类书籍本． 23. 如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． （1）你选择的补充条件是___________（填序号）； （2）根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】（1）①或③ （2） 选①， 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 选③， 证明：在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】选①，由可得，进而满足边角边的全等判定；选②，根据边边角无法判定全等；选③，直接根据角角边可判定全等． 【小问1详解】 解：选①或③； 【小问2详解】 略 24. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切； （2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线经过B、C两点． （1）求出该二次函数的解析式． （2）已知点P为直线l上的一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N． ①当时，求点P的横坐标． ②当的长度随t的增大而增大时，直接写出t的取值范围． （3）如图2，将二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有3个公共点时，求n的值． 【答案】（1） （2）①P点横坐标为或或或；②或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）①设，则，进而得到，根据，进行求解即可；②根据，结合二次函数的性质，进行求解即可； （3）根据题意，画出图象，利用数形结合的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：直线经过B、C两点，当时，，当时，， ， 将，代入得： 解得： 二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 ①设，则， ∵， ∴对称轴为直线， ∴， ，， ， ， 解得或或或， P点横坐标为或或或； ②∵， 当时，或， ∴当时，， ∴， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 当时，， ∴当时，随的增大而增大， 综上：或； 【小问3详解】 将抛物线的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折上来的部分的解析式为． 直线l向上平移n个单位长度，得到直线 当直线经过点A或与只有一个交点时，直线与新图象恰好有三个不同的交点． ①当直线经过点时，，解得： ②当与只有一个交点时， 只有一组公共解， 即方程中判别式等于0， ，解得： 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $