精品解析：广东惠州市惠阳区第一中学高中部2025-2026学年第二学期高一第二次质量检测数学试卷

惠阳一中高中部2025-2026学年第二学期高一年级 第二次质量检测数学试卷 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足，是的共轭复数，则（    ） A. B. C. D. 2. 将水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 3. 若高为的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 在中，D为AB的中点，点E满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，， B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高（ ） A. B. C. 50 D. 7. 在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（ ） A. B. 112 C. D. 8. 已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 二､选择题：共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对于向量，若，，则 B. 向量，可作为所在平面内的一组基底 C. 对于向量，有 D. 设为非零向量，则“存在负数λ，使得”是“”的充分而不必要条件 10. 在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则有两解 D. 在中，若，则为直角三角形或等腰三角形. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B. 存在点，使得直线平面 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D. 的最小值为 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为______. 13. 在四面体中，两两互相垂直，且是的中点，异面直线与所成的角的余弦值为，则四面体的体积为_________． 14. 如图，在中，，为的中点．将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）是平面内不共线两向量，已知，，，若三点共线，求的值. （2）已知，求向量与夹角的余弦值. 16. 如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 17. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 （1）若 求A； （2）若 求的面积. 18. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点. （Ⅰ）求证：AC⊥SD； （Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由. 19. 在中，a，b，c为角A，B，C的对边，． （1）求； （2）已知． ①若，求； ②求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠阳一中高中部2025-2026学年第二学期高一年级 第二次质量检测数学试卷 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足，是的共轭复数，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，然后由乘法法则计算． 【详解】由题意，由共轭复数的定义可得，则． 2. 将水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用斜二测画法，确定的特征，求出即可. 【详解】依题意，在中，， 所以. 故选：C 3. 若高为的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一个半圆，可知圆锥的底面周长等于半圆弧长，可得，继而求得母线长. 【详解】设底面半径为，母线长为，侧面展开是一个半圆， ，即， ，，. 故选：C. 4. 在中，D为AB的中点，点E满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为中，D为AB的中点，点E满足， 所以，， 所以. 5. 设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，， B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于选项A中，因为，，所以， 又因为，所以由垂直于同一平面的两条直线平行可知，选项A正确； 对于选项B中，当，时，直线与平面的位置关系不定，选项B错误； 对于选项C中，当，，时，易得，选项C正确； 对于选项D中，当，时，，因为，所以，选项D正确. 故选：B. 【点睛】对于辨析空间中直线与平面位置关系的两种策略： （1）根据空间中直线与平面位置关系的相关定理进行辨析； （2）根据选项中给出的位置关系，联想特殊几何体(如正方体､正三棱柱等)进行直观辨析. 6. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高（ ） A. B. C. 50 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，，米,利用正弦定理求出,在中，求出即可. 【详解】由已知，，米，故， 而 所以，即，解得， 又因为在点C测得塔顶A的仰角为，即， 所以在中，. 7. 在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（ ） A. B. 112 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则底面，过点作于点，则底面， 则即侧棱与底面的夹角,即， 因为，所以， 故，所以， 故该正四棱台的体积为. 8. 已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据重心的性质先用将表示出来，然后利用向量共线定理得出，最后利用基本 不等式的性质求出的最小值. 【详解】根据重心的性质，重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍. 所以. 因为，所以. 所以. 因为三点共线，根据向量共线定理可得，化简得. 所以. 当且仅当时，即时等号成立，此时的最小值为6. 故选：D. 二､选择题：共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对于向量，若，，则 B. 向量，可作为所在平面内的一组基底 C. 对于向量，有 D. 设为非零向量，则“存在负数λ，使得”是“”的充分而不必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】对各选项逐一验证：A选项需注意零向量的特殊情况，B选项通过判断向量是否共线验证基底条件，C选项明确数量积运算不满足结合律，D选项分别从充分性和必要性分析向量反向与数量积为负的逻辑关系，最终确定正确选项． 【详解】对于A，若，则和恒成立，但不一定成立，A错误； 对于B，两个向量能作为基底的条件是它们不共线， 对于和，因为，所以和不共线，B正确； 对于Ｃ，是与共线的向量，是与共线的向量， 因为与不一定共线，所以和不一定相等，Ｃ错误； 对于Ｄ，充分性：若存在负数λ，使得，则与反向，夹角为， ； 必要性：若，则夹角为钝角或，此时不一定存在负数使得， 所以“存在负数λ，使得”是“”的充分而不必要条件，Ｄ正确． 10. 在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则有两解 D. 在中，若，则为直角三角形或等腰三角形. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：结合三角形大角对大边的基本性质，搭配正弦定理的边角互化规则，可直接推导. 选项B：若两个角的正弦值相等，存在两角相等、两角互补两种情况，因此不能直接推出，需考虑的特殊情况. 选项C：对比、、三者的大小关系，即可快速判断解的数量. 选项D：利用三角形内角和定理将转化为，再通过两角和差的正弦公式展开化简，即可判定三角形的形状. 【详解】对选项A：∵ 在中，若，由大角对大边性质得，由正弦定理得（为外接圆半径）， ∴ ，，代入得， 又，∴ ，故A正确. 对选项B：∵ ，且， ∴ 或，即或，故B错误. 对选项C：∵ ，，， ∴ ，满足， 根据三角形解的个数判定规则，此时有两解，故C正确. 对选项D：∵ ，∴ ， 代入等式得：， 展开左边得：， 右边， 移项整理得：， ∴ 或， ∵， ∴ 若，则，为直角三角形； 若，则，为等腰三角形，故D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B. 存在点，使得直线平面 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项判定可①②③确定ABC的正误，利用展开法和点距离的三角不等式，结合余弦定理计算可求得的最小值，进而判定D. 【详解】对于A， ∵正方体的对面互相平行， ∴过三点的平面截正方体的对面所得截线互相平行， 又∵为线段的中点，∴截面交BC于其中点G， 连接，则四边形即为所求截面，显然为等腰梯形， 且， 梯形的高， 面积为，故A正确； 如图所示，设为的中点， 因为，平面，平面， 所以平面， 假设直线平面， 又因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 因为分别为正方形的边的中点，所以， 又因为， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 而直线与平面相交，所以直线与平面相交， 这与平面矛盾，故假设直线平面不成立，故B错误. ∵，平面，不在平面内， ∴平面， 又∵，∴到平面AD1C的距离为定值，又∵的面积为定值， ∴当在线段上运动时，三棱锥的体积不变，故C正确； 将等腰直角三角形展开到与矩形在同一平面内， ， 当共线时取等号，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量公式即可求解. 【详解】由题可得：，所以，， 则在方向上的投影向量的坐标为 13. 在四面体中，两两互相垂直，且是的中点，异面直线与所成的角的余弦值为，则四面体的体积为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用几何法求出BD长，再利用锥体的体积公式计算作答. 【详解】取的中点，连接，如图， 因为是的中点，则，于是是异面直线与所成的角或其补角， 令，而两两互相垂直，则，， 在等腰中，，，解得， 显然平面，所以四面体的体积为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决. 14. 如图，在中，，为的中点．将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设内切球半径为，三棱锥表面积为，根据三棱锥体积求出，然后由球的表面积公式可得. 【详解】因为，，所以，， 当时，，因为，， 所以平面，，， ， 则三棱锥的表面积为， 设内切球半径为，则由等体积法知， 解得，所以内切球的表面积． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）是平面内不共线两向量，已知，，，若三点共线，求的值. （2）已知，求向量与夹角的余弦值. 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【详解】（1）∵ ，， ∴ . ∵ 三点共线，∴ 与共线， ∴ 存在实数，使得，即. ∵ 是平面内不共线向量， ∴ ，解得. （2）∵ ，，， ∴ . ∵ ， ∴ ，. 设向量与的夹角为， 则. 16. 如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定定理证明线面平行即可； （2）根据线面垂直的性质定理证明，进而证明，即可证明平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论. 【小问1详解】 ∵，且为棱的中点，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 平面，平面，， 连接，由题意，为棱的中点，， 知，且，则四边形为平行四边形， ，，又， 所以平行四边形为正方形，， 又，，又，平面， 平面，又平面，所以平面平面. 17. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 （1）若 求A； （2）若 求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可. （2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为所以①. 又由正弦定理，即，代入①式， 可得，整理得， 又，所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以， 即，又，所以. 因为，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 故. 18. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点. （Ⅰ）求证：AC⊥SD； （Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）；（Ⅲ）2:1. 【解析】 【分析】（I）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz，设底面边长为a，求出高SO，从而得到点S与点C和D的坐标，求出向量与，计算它们的数量积，从而证明出OC⊥SD，则AC⊥SD；（II）根据题意先求出平面PAC的一个法向量和平面DAC的一个法向量，设所求二面角为θ，则，从而求出二面角的大小；（III）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，根据（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，设，求出，根据可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时，，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC 【详解】（I）证明：连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD （II）设正方形边长a，则． 又，所以∠SDO＝60°． 连OP，由（I）知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD．所以∠POD是二面角P－AC－D的平面角． 由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD＝30°， 即二面角P－AC－D的大小为30° （III）在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC． 由（II）可得，故可在SP上取一点N，使PN＝PD．过N作PC的平行线与SC的交点即为E．连BN，在△BDN中知BN∥PO． 又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC． 由于SN∶NP＝2∶1，故SE∶EC＝2∶1 考点：1．直线与平面垂直的判定；2．二面角求解；3．线面平行的判定 19. 在中，a，b，c为角A，B，C的对边，． （1）求； （2）已知． ①若，求； ②求的取值范围． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简等式，求出； （2）①在，中，由正弦定理得到，化简求得.②由平面向量的关系和余弦定理表示出和，然后代入得到的代数式，然后令，化简的代数式，在令，化简，并用基本不等式求得其范围，然后得到的范围. 【小问1详解】 由正弦定理知， ． ∴． ∵，，∴． 【小问2详解】 ①．设． 在中，由正弦定理知① 在中，由正弦定理知② ∵，∴，则有． 又∵，∴． ②，平方得． 即． 又． ∴ 令，则，∴． 令，则，∴． ∵，∴ ∴． 的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $