精品解析：广东省惠州市惠城区惠州中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

惠州中学2024-2025学年高一年级第二学期期中考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，不得折叠. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 4. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 5. 已知中，角对边为，且，，的面积为3，则 A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A B. C. D. 7. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上有3个零点 D. 最小值为-1 8. 已知函数，若关于x的方程有4个不同的实根，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知下列四个命题为真命题的是（ ） A. 已知非零向量，，，若，，则 B. 若四边形中有，则四边形为平行四边形 C. 已知，，，可以作为平面向量的一组基底 D. 已知向量，，则在方向上的投影向量的模为 10. 已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则的最大值为2 D. 11. 若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. D. 在上的实数根之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则=__________ 13. 如图，在某个海域，一艘渔船以36海里/小时的速度，沿方位角为的方向航行，行至A处发现一座小岛C在其南偏东方向，再经过半小时，到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为_________海里． 14. 如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等）若该正八面体的表面积为，则该正八面体外接球的体积为___________；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15 已知向量，，函数. （1）求的最小正周期； （2）当时，若，求值. 16. 在中，角A、、所对的边为、、，. （1）求角的大小； （2）若面积为，周长为5，求的值. 17. 如图正方体，的棱长为2，是线段，的中点，平面过点、、． （1）画出平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹），并求该截面多边形的面积； （2）平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值． 18. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 19. 若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”． （1）函数是否有“飘移点”？请说明理由； （2）证明函数在上有“飘移点”； （3）若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠州中学2024-2025学年高一年级第二学期期中考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，不得折叠. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 分析】，故，但时，与不一定相等，得到答案. 【详解】，故，充分性成立， 当时，与不一定相等，比如， ，但与不相等，必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 3. 设，是两个不共线向量，若向量与向量共线，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据因为向量与向量共线，由求解. 【详解】解：因为向量与向量共线， 所以，即， 因为，是两个不共线的向量， 所以，解得 ， 故选：C 4. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法，将直观图还原为原图，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】根据题意，将直观图还原为原图，如图所示， 可得为直角三角形，其中， 所以的面积为． 故选：C. 5. 已知中，角的对边为，且，，的面积为3，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形面积公式可求b,再根据余弦定理可求c. 【详解】因为,所以， 由 ，可得， 根据余弦定理， ， 所以 ，故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数奇偶性、特殊点函数值可判断； 【详解】，由，可得：， 又， 可知函数为奇函数，排除BD, 又，排除C， 故选：A 7. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上有3个零点 D. 的最小值为-1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数，结合正弦函数性质，利用奇偶性、单调性、零点及最值依次判断即得. 【详解】函数的定义域为R， 对于A，，是偶函数， 又，因此不是奇函数，A错误； 对于B，当时，， 而函数在上单调递减，因此在区间上单调递增，B错误； 对于C，当时，，由，得， 当时，，由，得或，因此在区间上有3个零点，C正确； 对于D，当时，，， 由是偶函数，得，，D错误. 故选：C 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： ①直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． ②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． ③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 8. 已知函数，若关于x的方程有4个不同的实根，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数图象可得，即，再由二次函数图象关于对称，可得，求得可得结果. 【详解】由关于x的方程有4个不同的实根，得函数与图象有4个交点； 作出函数与的图象，如图： 观察图象得，， 由，得，即，则， 而二次函数图象关于对称，则，因此， 由，解得或，则， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是正确作出函数的图象，借助对数函数、二次函数的性质数形结合求解. 二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知下列四个命题为真命题的是（ ） A. 已知非零向量，，，若，，则 B. 若四边形中有，则四边形为平行四边形 C. 已知，，，可以作为平面向量的一组基底 D. 已知向量，，则在方向上的投影向量的模为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平面向量基本定理结合投影向量的运算逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A，对于非零向量，，，由，，且为非零向量，可知，即选项A正确； 对于选项B，四边形中有，由平行四边形判定定理可得， 四边形为平行四边形，即选项B正确； 对于选项C，，，则，即， 则，不能作为平面向量的一组基底，即选项C错误； 对于选项D，，，则， 则向量在向量上的投影向量为， 所以在方向上的投影向量的模为，即选项D正确， 故选：ABD． 10. 已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则的最大值为2 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的运算，复数的定义，复数模的三角不等式及共轭复数的定义，计算求解后判断即得． 【详解】对于A，为纯虚数，所以，即，所以A错误； 对于B，， 因为，所以，从而，所以正确； 对于C， 由复数模的三角不等式可得，所以C正确； 对于D，，所以D正确. 故选：BCD． 11. 若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. D. 在上的实数根之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性结合已知条件可用赋值法求得，判断A；结合题意推出函数的周期以及对称轴，结合当时，，可作出函数的图象，即可判断B；利用函数的奇偶性可判断C；将在上的实数根问题转化为函数的图象的交点的横坐标问题，数形结合，即可判断D. 【详解】对于A，由于函数是定义在上的奇函数，故， 由，令，则， 则，A正确； 对于B，由，得，即， 故，即8为函数的一个周期， 由，可知函数的图象关于直线对称， 又当时，，故可作出函数的图象如图： 由图象可知在上单调递减，B错误； 对于C，由于函数是定义在上的奇函数，且满足， 故，C正确； 对于D，当时，显然不满足，故的根即的根， 也即函数的图象的交点的横坐标， 作出的图象如图： 由于均为奇函数，因此结合图象可知，二者在上图象的交点也两两关于原点对称， 因此交点的横坐标之和等于0，即在上的实数根之和为0，D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，综合性较强，解答本题的关键在于要根据函数的奇偶性结合已知条件，推出函数的周期性以及对称性，从而可作出函数图象，数形结合，解决问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则=__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直得数量积为0，从而求得的值，利用求模公式求得向量的模. 【详解】，，，若， 则，即，求得 故 ， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及向量的模的求法，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题. 13. 如图，在某个海域，一艘渔船以36海里/小时的速度，沿方位角为的方向航行，行至A处发现一座小岛C在其南偏东方向，再经过半小时，到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为_________海里． 【答案】 【解析】 【分析】根据方位角、方向角定义求出三角形中对应角的大小，应用正弦定理求B处离小岛C的距离. 【详解】由题意知：，， 所以，又， 由正弦定理知：，则海里. 故答案为： 14. 如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等）若该正八面体的表面积为，则该正八面体外接球的体积为___________；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由已知求得正八面体的棱长为，进而求得，即知外接球的半径，进而求得体积；若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离，证得平面，再利用相似可知，即可求得半径. 【详解】如图，记该八面体为，O为正方形的中心，则平面 设，则，解得. 在正方形中，，则 在直角中，知，即正八面体外接球的半径为 故该正八面体外接球的体积为. 若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离. 取的中点E，连接，，则， 又，，平面 过O作于H，又，，所以平面， 又，，则， 则该球半径的最大值为. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，，函数. （1）求的最小正周期； （2）当时，若，求值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）首先根据向量数量积的坐标表示函数，然后对函数进行降幂,化简为,求出周期; （2）由已知条件，先求的范围，然后求在范围内满足条件的值． 【详解】解：（1），， . 即 ∴的最小正周期是. （2）由，得， ∵，∴，∴，∴. 【点睛】本题考查数量积的坐标表示，考查了三角恒等变换，考查三角函数的周期和已知函数值求自变量问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算求解能力，属于基础题. 16. 在中，角A、、所对的边为、、，. （1）求角的大小； （2）若面积为，周长为5，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角整理可得出，然后根据的范围，即可得出答案； （2）根据面积公式得出，进而即可根据余弦定理得出答案. 【小问1详解】 由已知结合正弦定理边化角可得，. 又， 代入整理可得，. 因为，所以. 又，所以. 【小问2详解】 由及可得，. 又周长为5，则，所以. 根据余弦定理可得，， 整理可得，. 17. 如图正方体，的棱长为2，是线段，的中点，平面过点、、． （1）画出平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹），并求该截面多边形的面积； （2）平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值． 【答案】（1）作图见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用平行线的传递性可证得，可知四点共面，再由于三点不共线，可得出面即为平面截正方体所得的截面，求出该等腰梯形的高，利用梯形的面积公式可求得截面面积； （2）利用台体的体积公式可求得三棱台的体积，并求出剩余部分几何体的体积，由此可得结果. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接. 因为是的中点，所以. 在正方体中，，， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 所以四点共面. 因为三点不共线，所以四点共面于平面， 所以面即为平面截正方体所得的截面. 截面为梯形，， ，， 同理可得， 如图所示： 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、， 则，，， 所以，则， 因为，，，则四边形为矩形， 所以，，则， 所以， 故梯形的面积为 【小问2详解】 易知多面体为三棱台，， ， 该棱台的高为2，所以，该棱台的体积为 ， 故剩余部分的体积为． 故较小的那部分与较大的那部分的体积的比值为． 18. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数以及对数复合函数的单调性即可求解， （2）利用二次函数的性质求解的最值，即可根据对任意的恒成立，分离参数，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 若在上单调递增，则需满足，解得 【小问2详解】 ， 由于，，故， 由于对于任意，存在，使得不等式成立，故，因此对任意的恒成立， 因此对任意的恒成立， 故对任意的恒成立， 由于，当且仅当时取到等号， 故 19. 若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”． （1）函数是否有“飘移点”？请说明理由； （2）证明函数在上有“飘移点”； （3）若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围． 【答案】（1）不存在，理由见详解 （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意整理得，通过判断该方程是否有解； （2）根据题意可得，构建函数，结合零点存性定理分析证明； （3）根据题意整理得，利用换元结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 不存在，理由如下： 对于，则，整理得， ∵，则该方程无解， ∴函数不存在“飘移点”. 【小问2详解】 对于，则，整理得， ∵在内连续不断，且， ∴在内存在零点，则方程在内存在实根， 故函数在上有“飘移点”. 【小问3详解】 对于，则，即， ∵，则， 令，则， ∴， 又∵，当且仅当，即时等号成立， 则，， ∴，即， 故实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$