湖南省部分校2026届高三下学期5月仿真训练数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.-3(-8-7i)= A.-21+24i B.21+24i C.-24+21i D.24+21i 2.若集合A={x∈N|一3<x<3),则A的子集个数为 A.4 B.8 C.16 D.32 3.若7=9，则alog277= A.2 R号 c 4.直线l:x十√3y+|m=0与圆M:(x一5)2+y2=4的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定的 5.如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏.已知 8 该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的 长轴长约为22cm,则该椭圆的短轴长约为（取√57=7.55） A.18.12cm B.15.1cm C.14.3cm D.7.55cm 6.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,△ABC的面积为4√2， 则c= A.33 B.19 C.17 D.√15 7.已知正方体ABCD-A1B,C1D1的棱长为3，P为棱AB上更靠近A的三等分点，则平面 PB,C,截该正方体的截面的周长为 A.3+√13 B.6+2√/13 C.3+√/10 D.6+2w/10 8.诗句“花落知多少”的平仄格式为平仄平平仄.现将该诗句中的5个字重新排列，要求重新排 列后的平仄序列与原诗的平仄序列不同，则不同的排列种数为 A.54 B.72 C.90 D.108 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列函数的图象关于直线x=2对称的有 A.f(x)=x2-4x B.f(x)=cos(2x-4) C.f(x)=|x+2 Dfx)=sin(骨x+) 【高三数学第1页（共4页）】 ·HUN· 10.已知R,P,分别是双曲线C:x-置-1的左右焦点，0为坐标原点，点P在C上，且向量 a=PF-PF2,b-PF+PF2, A.a|=10 BC的渐近线方程为y=士 22 C.b=2PO D.当|a|=|b|时，lPF+|PF2I=14 11.已知函数f(x)=一x3十ax一2sinx,则 A.f(x)是奇函数 B.0可能是f(x)的极值点 C.f(x)可能有2个极值点 D.当f(x)在(0,1)上有极大值时，a的取值范围为(2,2十2cos1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若正四棱台的上底面边长、下底面边长分别为√2,2√2，高为上底面边长与下底面边长的等 比中项，则该正四棱台的体积为▲ 18如图，点A,B均在单位圆O上，且点A的横坐标为写，乙A0B-子，则 点B的纵坐标与横坐标的比值为▲ 14.某游戏有“通关升星”机制：每次通关有2的概率获得1张卡片，每集齐 2张卡片可升1颗星，每次通关结果相互独立.若小张连续通关6次，则 他升星颗数的期望为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 20212025年我国高铁的运营里程（单位：万公里）统计如下： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份序号x 1 2 3 4 5 运营里程y 4.0 4.2 4.5 4.8 5.0 (1)求y关于x的经验回归方程； (2)预测2026年我国高铁的运营里程， 附：在经验回归方程y=bx十a中， 6-3红06- 名x-nx 2r-2 ,a=y-6. 2(x1-)2 【高三数学第2页（共4页）】 ·HUN· 2 16.(15分) 已知抛物线C:x2=2y(p>0)的焦点为F,且F关于C的准线的对称点为(0，一9) (1)求C的方程； (2)过点F的直线1与C交于A,B两点，A,B在x轴上的投影分别为A1,B1,且梯形 AA1B1B的中位线的长度为9，求1的方程 I 1 17.(15分) 已知函数f(x)=x一xlnx,g(x)=e-2x, (1)证明：f(x)≤1. (2)讨论g(x)的单调性 (3)若g(x)≥1，求a的取值集合 【高=数学第3而盐A下】 3 18.(17分) 在△ABC中，AB=AC=2√5，BC=4,D,E分别为AC,AB的中点.将△ADE沿线段DE 折起，使点A到达点P的位置，连接PB,PC,得到四棱锥P-BCDE,取BC的中点F,连接 PF. (1)证明：DE⊥PF. (2)如图1，当平面PDE⊥平面BCDE时，求二面角P-BC-D的大小. (3)如图2，设二面角P-DE-B的大小为0，在折叠过程中，即0在(0，π)上变化时，求△PCD 的重心G在空间中的运动轨迹的长度， E D F F 图1 图2 19.(17分) 已知f'(x)是定义在(0，+o∞)上的函数f(x)的导函数，若正项数列{am}满足a1=1,且对 任意n∈N”,都有f(an+1)一f(an)=f'(an),则称{an}为f(x)的衍生数列. (1)若a,=2,f(x)=z2(x>0),判断{a,是否是f(x)的衍生数列，并说明理由. (2)若{a,}为f(x)=hx(≠0)的衍生数列，证明：2品：<2. 124 (3)若a,)为f(x)=2v丘-2的衍生数列，证明v瓜<a,<瓜+号 【高三数学第4页（共4页）】 ·HUN· 4高三数学参考答案 题序 9 10 11 12 13 14 答案 B D B D ABD ACD AC 28 -3 6 3 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分： 【2】第9,10题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分；第11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分 【3】第12~13题，凡与答案不符的均不得分. 【4】第14题的答案也可以写成1.25. 1.A【解析】本题考查复数的四则运算，考查数学运算的核心素养。 -3i(-8-7i)=24i+21i2=-21+24i. 2.B【解析】本题考查集合的子集个数，考查数学运算的核心素养。 因为A={0,1,2},所以A的子集个数为23=8 3.D【解析】本题考查对数的运算，考查数学运算的核心素养， 由7=9，得a=log9,所以log77=log,9X1og7=g9×g7-2g32 1g7^1g273lg33 4.A【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查逻辑推理的核心素养】 圆M的圆心为M5,0,半径为2.因为圆心M到1的距离为15十，m≥>2，所以1与圆 M相离. 5.B【解析】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查数学建模的核心素养和应用意识. 设该椭菌的方程为后+芳-1a>6>0,由日-吕阳会√一(-骨 11 所以26=×2a=2/57=15.1,故该椭圆的短轴长约为15.1cm 6.C【解析】本题考查解三角形，考查数学运算的核心素养 由bsnC-42,得snC-2.因为△AC是锐角三角形，所以msC=V个-nC- 3 由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcos C=17,则c=√17！ 7.B【解析】本题考查正方体的截面，考查空间想象能力. D 如图，取棱DC上更靠近D的三等分点Q,连接PQ,QC1.易证PQ∥A B1C1,PQ=B,C1,所以平面PB,C1截正方体的截面为平行四边形 PB1C1Q.因为B1C1=3,PB1=√13，所以该截面的周长为6+2√13， 【高三数学·参考答案第1页（共7页）】 ·HUN· 8.D【解析】本题以古诗的平仄为背景考查排列，考查应用意识 因为5个字的全排列种数为A=120,“落”与“少”放在第二个和第五个位置的排列种数为 AA=12,所以所求不同的排列种数为120一12=108. 9.ABD【解析】本题考查函数图象的对称轴，考查逻辑推理的核心素养. f(x)=x2一4x的图象关于直线x=2对称，A正确， 因为2×2一4=0，所以f(x)=cos(2x一4)的图象关于直线x=2对称，B正确. f(x)=|x+2|的图象关于直线x=一2对称，C错误 因为答×2+吾=受，所以f(x)=sim(石x+)的图象关于直线x=2对称，D正确， 10.ACD【解析】本题考查双曲线与向量的综合应用，考查数学运算的核心素养. 因为a=PF-PF2-F2F1,所以|a=F2F1=2X√1+24=10，A正确。 C的渐近线方程为y=士√24x=士2√6x,B错误 因为O是F1F2的中点，所以b=PF1+PF2=2Pò，C正确. PF11-PF21I=2, 当1a=b时，Pδ1=5，所以△PF1F2是直角三角形.由 PF12+PF2I2=100, (PFI=6,(PFI=8 得 或 所以PF1+PF2=14,D正确， PF2=8PF2=6 11.AC【解析】本题考查函数的奇偶性与极值，考查数学运算和逻辑推理的核心素养。 因为f(x)的定义域为R,且f(一x)=x3一ax+2sinx=一f(x),所以f(x)是奇函数，A 正确， f'(x)=-3x2十a-2cosx,由f'(0)=a-2=0,得a=2.因为f'(x)是偶函数，所以0不 可能是f'(x)的变号零点，所以0不可能是f(x)的极值点，B错误. ∫'(x)的导函数为f(x)=-6x+2sin,当0≤x≤受时，x≥sinx,得”(x)≤0，当z>受 时，一6x<一3π，2sinx≤2，得f"(x)<0,所以f'(x)在[0，+∞)上单调递减.当a>2时， f'(0)>0,当x→十∞时，f'(x)→一∞，则f'(x)在[0，十∞)上有1个变号零点，所以f(x)在 [0,十∞)上有1个极值点.又f(x)是奇函数，所以f(x)有2个极值点.故f(x)可能有2个极 值点，C正确. f(0)=a-2>0, 当f(x)在(0,1)上有极大值时， 得2<a<3+2cos1,D错误. f'(1)=-3+a-2cos1<0, 12.3 8 【解析】本题考查等比中项与正四棱台的体积，考查数学运算的核心素养， 因为正四棱台的高为√√2×2√2=2， 所以该正四棱台的体积为号×2×[W2)2+(22)2+VW2)2×(2w2)]=2 【高三数学·参考答案第2页（共7页）】 ·HUN· 13.一3【解析】本题考查单位圆与三角恒等变换，考查直观想象和数学运算的核心素养 设0A,OB与z轴正半轴所成的角分别为a9,则cosQ二，得snaV1-co3a-2月 5, cos a ae2,所以an月=tane十a"a=一3.故点B的纵坐标与横坐 值为一3. 14.号 【解析】本题考查二项分布与随机变量的期望，考查应用意识 设小张获得的卡片数为X,升星的颗数为Y,则X~B(6,) PY=0)=P(X=0+P(X=1D=(合)》°+C×(号)》°= PY=D=P(X=2+P(X=3)=C×(》°+C×(合)- PY=2)=P(X=0+P(X=5)=Cx(分》+c×2)°- PY=3)=PX=6)=(兮分)”=敢EW-0×3+1×8+2x+3x 15 64 644 15.【解析】本题考查一元线性回归模型，考查应用意识和数据处理能力 解：（1)由题意得工=1+2十3十4十5=3， 5 …2分 =4十4.2十4.5十4.8十54,5，…4分 则6= 2z:-2)0.-D--2)x(-0.5)+(-1D×(-0.3)+0+1X0.3+2x0.5- 2(x:-x)2 4+1+0+1+4 i= 0.26,…6分 a=y-ix=3.72. …8分 故y关于x的经验回归方程为y=0.26x十3.72. 9分 (2)当x=6时，y=0.26X6十3.72=5.28.…11分 故预测2026年我国高铁的运营里程为5.28万公里.…13分 【评分细则】 【1】第(1)问还可以这样求： y1×4+2×4.2+3×4.5+4×4.8+5×5-5X3×4.5=0.26. 2x-na 1+4+9+16+25-5×32 = 【2】第(2)问中，只写“预测2026年我国高铁的运营里程为5.28”，未写“万公里”，扣1分， 16.【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学运算和直观想象的核心素养】 【高三数学·参考答案第3页（共7页）】 ·HUN· 解：（①）由题意得F(o,),… 1分 C的准线方程为y=一 2分 则号+(-9)=2×(-) 4分 得p=6. 5分 故C的方程为x2=12y,…6分 (2)易得l的斜率存在，设A(x1,y1),B(x2,y2),l:y=kx+3. …7分 y=kx+3, 由 得x2-12k.x-36=0, …8分 x2=12y, (△=144k2+144>0, 得 …10分 (x1+x2=12k, 由题意得AA11+BB1|=2×9=18. …11分 因为AA1|+|BB1|=y1+y2=kx1+3+kx2十3=k(x1+x2)+6=12k2+6=18,… …13分 所以k=士1. 14分 故L的方程为x一y十3=0或x十y一3=0.…15分 【评分细则】 【1】第(2)问中，未写“易得1的斜率存在”，扣1分；最后的结果还可以写为“故1的方程为y =x+3或y=一x十3”. 【2】第(2)问还可以这样求AA1+BB1: AM1+BB,=1十y(x+x)=x十z,)-2x1x]=12k2+6=18. 17.【解析】本题考查函数的单调性和最值，考查逻辑推理和数学运算的核心素养， (1)证明：f(x)的定义域为(0，十o∞)，f'(x)=一lnx.…1分 令f'(x)>0,得0<x<1,则f(x)在(0,1)上单调递增， 2分 令f'(x)<0,得x>1,则f'(x)在(1，十∞)上单调递减， …3分 所以∫(x)mx=f(1)=1.故f(x)≤1.…4分 (2)解：由g(x)=er-2x,得g'(x)=aer-2.……5分 当a≤0时，g'(x)<0,g(x)在R上单调递减. 7分 当a>0时，令g(x)<0,得x<n名，则g()在(-∞，}n2）上单调递减，…8分 令g(x)>0,得x>21n名，则gx)在(n名，+)上单调递增 9分 (3)解：当a≤0时，g(x)在R上单调递减，当x>0时，g(x)<g(0)=1,不符合题意.… …11分 【高三数学·参考答案第4页（共7页）】 ·HUN· 当a>0时，g(x)m=g(2ln2)=2-2n2≥1. …12分 由(1)可知f(x)=x一xlnx≤1，当且仅当x=1时，等号成立. 因为后>0，（合）-名名n名≤1，所以f(合)-名总h是-1，…14分 所以2=1，得a=2.故0的取值集合为(2，…15分 【评分细则】 【第(2间中，写“g)在(-，h]上单调递减，在[h名，十e)上单调通增，不 扣分. 【2】第(3)问中，最后的结果写成“a=2”,未写成集合形式，扣1分 18.【解析】本题考查线线垂直、二面角与图形折叠的变换，考查逻辑推理的核心素养和空间想象 能力， (1)证明：如图1，取DE的中点O,连接PO,OF.…1分 ,AB=AC,D,E分别为AC,AB的中点， ∴.OF⊥DE,POLDE.…2分 PO∩OF=O,DE⊥平面POF.…3分 D .PFC平面POF,.DE⊥PF.…4分 B4 (2)解：DEBC,BC⊥PF,BC⊥OF,…5分 F 图1 ∴.二面角P-BC-D的平面角为∠PFO. …6分 .PO⊥DE,平面PDE⊥平面BCDE,平面PDE∩平面BCDE=DE, ∴.PO平面BCDE,…7分 ∴PO⊥OP.易得PO=OF,∴∠PFO=T,即二面角P-BCD为 ，…9分 (3)解：如图2，取DE的中点O,连接PO,OF 由(1)可知POLDE,OF⊥DE,则∠POF=0.·10分 以O为原点，建立空间直角坐标系，则P(2cos0,0,2sin0), D(0,1,0),C(2,2,0).…11分 E 设G(x,y,之). 由重心性质可得x=2cos9+0+2-2 3 3cosB士5：y 图2 0+1+2-1,z=2sin9+0+0_ 3 3 3 sin0. …13分 .y=1为定值，重心G在固定平面内运动.…14分 由x-号-号os0,2=号m0,得(x-号》+=青os0+号sm0=有，…15分 【高三数学·参考答案第5页（共7页）】 ·HUN· 点G在圆心为号，1,0），半径=号的圆上.… 16分 2 又0∈(0，)，点G在空间中的运动轨迹的长度为3元 17分 【评分细则】 第(2)问得到PO⊥平面BCDE给1分，接下来这样解答： 如图，以O为原点，OF,OD,OP所在直线分别为x轴、 y轴、之轴，建立空间直角坐标系， 则B(2,-2,0),C(2,2,0),P(0,0,2),BC=(0,4,0),B2= （-2,2,2).… 6分 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), In·BC=4y=0, 则 n.B2=-2x+2y+2z=0, 取x=1,则之=1，得n=(1,0,1).… 7分 易得平面BCDE的一个法向量为m=(0,0,1),得二面角P-BC-D的余弦值为 m·n mn 2 …8分 由图可知二面角P-BC-D为锐角，故二面角P-BCD为. 9分 19.【解析】本题考查数列的新定义与导数的综合应用，考查逻辑推理、数学抽象的核心素养和创 新意识. (1)解：由题意得∫'(x)=x,则∫'(an)=an=2”1.…1分 因为fan）-fa,)212g-号4-4）≠2，…2分 所以f(a+1)-f(an)≠f'(an),所以{an}不是f(a)的衍生数列.…3分 (2)证明：当f(x)=kx(k≠0)时，f'(x)=k≠0，则f'(an)=k.…4分 由f(an+1)-f(an)-k(am+1-an)=k及k≠0，得a+1一an=l, …5分 又a1=l,所以an=n.…6分 则2.+++2 2m2n+1… 7分 即 11 - 2m+i=1一九十2 2n+1, ……………………………… 8分 则号-5=22 2 2 9分 【高三数学·参考答案第6页（共7页）】 ·HUN· (3)证明：f'(x)=.由fa）-fa,)=f(a),得2va1-2a,= .…10分 √x √a 令b,=√a,得b1=√a-1,b+1=b.十26 将61=6：十站两边半方，得=候+1+得院1-6-1计>1.…1分 当n≥2时，b号-b=b房-b层1+…+b号-b经+b经-b>n-1,得b>n. 又b1=1≥√I,所以bn=√am≥√n.…12分 品：一候=1计被≤1+ .…13分 当n≥2时，6妮-b=-62++好-好+好-i≤n-1+号1+号+…叶n》 得6候≤十(1+号+…叶n）.… …14分 当≥2时点2有公+司 12 =2(Wn-1-√n-2), 则≤+(1+号++)a+×21-0+E-1++-m2)a+ 7/.……15分 要证va<n+2,只需证b<(vn+)》, 即证+n-<n+a+},即证+受+>0，这显然恒成立，则va,<m+2 …16分 综上wa<a,<n+ 17分 【评分细则】 【1】第(1)问中，只写“{an不是f(x)的衍生数列”，未说明理由，给1分. 【2】第(3)问中，未写“b1=1≥1”，扣1分. ▣▣ 【高三数学·参考答案第7页（共7页）】 ·HUN·