湖南省长沙市2026届高三冲刺仿真训练数学试卷（四）

《湖南省长沙市2026届高三冲刺仿真训练数学试卷（四）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D C A D B B CD ACD 题号 11 答案 ACD 1．C 【详解】由解得，又，所以， 因为，所以. 2．D 【详解】由于已知复数满足，则， 所以，对应点为， 故在复平面内对应的点位于第四象限. 3．D 【分析】根据正态分布中当较小时，对应的正态曲线“瘦高”， 表示随机变量X的分布比较集中，即可判断A；根据在回归分析时，用决定系数刻画模型的拟合效果，若越大，说明模型的拟合效果越好，即可判断B；利用样本数据的平均数，求出所求数据的平均数，即可判断C；求出所给数据的第80百分位数，即可判断D. 【详解】若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”， 表示随机变量X的分布比较集中，故A错误； 在做回归分析时，用决定系数刻画模型的拟合效果， 若越大，表示残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故B错误； 因为， 所以 ，故C错误； 将这组数据按照从小到大排列为， 因为，所以第80百分位数为第8，9两个数据的平均数，即，故D正确. 故选：D 4．C 【分析】利用基本不等式将已知条件转化为关于的不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，即， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值是1. 故选：C 5．A 【分析】求出的值，利用平面向量数量积的运算律可求得结果. 【详解】因为向量、满足，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以. 6．D 【详解】令，可得， 因为，所以， 则. 7．B 【分析】由双曲线的性质得到，然后在和在中利用勾股定理、余弦定理可得． 【详解】由题意，可知 在中，， 故在中，由余弦定理， 即，化简得，因，则得 故 故选：B. 8．B 【分析】将三棱锥补成三棱柱，求出外接圆半径，再求外接球半径，即可求外接球表面积. 【详解】如图将三棱锥补成三棱柱，则它们的外接球相同， 其中，，， 由，，得平面， 则平面，则， 则， 则， 则， 则外接圆半径, 则三棱柱的外接球半径， 则外接球的表面积为， 故选：B. 9．CD 【分析】利用同一函数的定义来判断A，利用函数的性质来判断B，利用偶函数来判断C，利用零点存在性定理结合单调性来判断D. 【详解】由于的定义域为，的定义域为，所以它们表示的不是同一函数，故A错误； 函数的每一个自变量只有唯一的因变量与之对应，所以函数图象与直线的交点最多有1个，故B错误； 因为，又函数定义域为，所以是偶函数，即图象关于轴对称，故C正确； 因为， 且在区间上单调递增， 所以函数在区间上有且只有1个零点，故D正确； 故选：CD. 10．ACD 【分析】首先应用辅助角公式化简函数式，再根据图象平移写出对应解析式并化简判断A、B，由正弦函数的单调性判断C、D. 【详解】由， A：为偶函数，对， B：为非奇非偶函数，错， C：，则，显然在区间上单调递增，对， D：，，则，显然在区间上单调递增，对. 11．ACD 【分析】对于A，依题知每人每次只能选两种套餐中的一种即得；对于C，易得，推得等比数列，求其通项即可判断；对于B, D两项，由题意得，由推得，即可计算判断. 【详解】因每人每次只能选择两种套餐中的一种，故必有，故A正确； 依题意，，则， 因，则，故数列是以为首项，为公比的等比数列. 于是，，即故C正确； 因，故， 依题，当时，，故, 则， 因，则，故，故D正确； 因，则，故B错误. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：关键在于发现，从而推得等比数列，求得，继而利用二项分布的相关公式计算即得. 12． 【分析】根据抛物线方程得抛物线标准方程，从而得抛物线的焦准距的值，再根据抛物线的定义得所求即可. 【详解】抛物线的标准方程为：， 则抛物线中， 由抛物线的定义可得抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为. 故答案为：. 13． 【分析】根据三角函数的定义可求出，再结合点的对称性可求出，最后根据诱导公式可求解. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 又角与的终边关于x轴对称， 所以角的终边经过点，所以. 所以. 14． 【分析】由题意把表示成与的夹角的余弦值的2倍，再由几何关系求得最值可得结果. 【详解】设，原点，则，； 所以，即， 如图所示，所以当直线与函数在轴右侧相切时，取到最大值，即取得最大值； 联立直线与函数可得， 所以，解得（舍去）； 此时，所以， 即的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据表达式的特征，将其转化为向量数量积的坐标表示形式，利用几何关系求出最值即可. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理化简，即可求角大小； （2）利用配方，结合已知条件即可求，从而可求面积大小. 【详解】（1）由余弦定理得：， ， 又由，因为，所以. （2）由，， 可得， 所以的面积为. 16．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）由余弦定理求出，并利用勾股定理逆定理证得，再建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）由四边形为矩形，得，又，平面， 则平面，而平面，所以. （2）在中，， 由余弦定理得， 则，于是，由（1）得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得，又D为的中点， 则， 于是，设平面的法向量为， 则，取，得，， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的余弦值. 17．(1) (2)，，， (3) 【分析】（1）根据条件求得，求得椭圆方程； （2）利用三角形面积公式求得点的纵坐标，代入椭圆方程求得点坐标； （3）联立椭圆方程和直线方程，得到根与系数关系，利用弦长公式列式求解. 【详解】（1）因为，所以，即， 又，则，所以， 所以椭圆的方程为. （2）设点，则，得， 又， ，解得， 所以点的坐标为，，，. （3）设，， 联立，消去整理得， ，，， ， 化简整理得，解得. 18．(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增； (2)证明见解析. 【分析】（1）先求出导函数，再对分情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）由（1）可知当时，的最小值为，令，利用导数得到的最小值为， 所以，即证得. 【详解】（1）函数的导数为， 当时，恒成立，故，所以在上单调递增； 当时，令 ，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，当时，在处取得最小值， 因此，对任意，有. 只需证明 ，即 令，. 求导得， ，故在上单调递增. 由知，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 所以在处取得最小值. 因此，即成立，等号当且时取得. 19．(1)， (2)①，；②答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率计算即可. （2）根据对立事件、互斥事件等概率计算公式及数学期望计算公式计算即可. （3）求出数学期望的表达式，结合导数与单调性证明即可. 【详解】（1）拿到编号为1的奖品，，即至少有一次抽到1，所以. 拿到编号为2的奖品，，即没有抽到1，且至少有一次抽到2， 没有抽到1的概率为，没有抽到1且全抽到3的概率为， . 所以拿到编号1的盲盒对应奖品的概率是，拿到编号2的盲盒对应奖品的概率是． （2）①拿到编号不小于，，即每次抽到的编号都大于等于. 所以，. ②因为事件与事件互斥，所以， 即 所以随机变量的期望 （3）， 随机变量的期望 . 设，，， 当时，，等号成立； 当时， ，等号成立； 当时， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 设， 因为， 所以，所以. 综上所述，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026届高三冲刺仿真训练数学试卷（四） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布较离散 B．在做回归分析时，用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越差 C．若样本数据的平均数为3，则的平均数为9 D．一组数据的第80百分位数为18 4．已知，且，则的最小值是（　　） A．4 B．2 C．1 D．0 5．若向量、满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 7．设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与表示同一函数； B．函数的图象与直线的交点最多有2个； C．函数的图象关于轴对称； D．函数在区间上有且只有1个零点． 10．已知函数，则正确的有（    ） A．将曲线上的各点向左平移个单位长度得到的曲线关于轴对称 B．将曲线上的各点向左平移个单位长度得到的曲线关于原点对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 11．学校食堂每天中午都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐概率为，选择套餐概率为；而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是；如此反复，记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；5个月（150天）后，记甲、乙、丙三位同学选择套餐的人数为，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知抛物线上一点，则点到该抛物线焦点的距离为___________． 13．已知角的终边经过点，若角与的终边关于x轴对称，则______． 14．已知为函数图象上一动点，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(13分)在中，内角所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 16．(15分)如图，在六面体中，为的中点，四边形为矩形，且，． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值． 17．(15分)已知椭圆的左、右焦点分别为，，，为上一点，且． (1)求的标准方程； (2)若的面积为1，求点坐标； (3)直线与交于，两点，若，求． 18．(17分)设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 19．(17分)学校社团准备了编号1到的个盲盒，不同的编号对应不同的奖品（编号越大，奖品越好）．规则如下：参与者有放回地抽取盲盒次，一次抽取一个盲盒，抽到的编号最小的盲盒对应的奖品即为最终奖品，设获得的奖品对应的盲盒编号为． (1)当，时，求最终拿到编号1的奖品的概率和拿到编号2的奖品的概率． (2)若． ①求最终拿到编号不小于的奖品的概率； ②用表示出期望． (3)当时，证明：期望． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $