湖南省长沙市2026届高三冲刺仿真训练数学试卷（五）

《湖南省长沙市2026届高三冲刺仿真训练数学试卷（五）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C D C A C ABC ABC 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】因为集合， 由交集的定义可得. 2．C 【分析】设复数，代入方程并分离实部、虚部，根据复数为零的条件列方程组求解，再利用复数模长公式计算. 【详解】设，则， 计算可得， 所以，计算可得， 所以. 3．B 【分析】应用百分位数的求法求数据的分位数. 【详解】由题设，而数据从小到大为， 所以该组数的分位数为其中第5个数据，即. 故选：B 4．C 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为2． 故选：C 5．D 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 得， 则. 即在上的投影向量为. 6．C 【分析】借助等差数列及求和公式与等比数列定义可求出与，再利用为正整数计算即可得. 【详解】等差数列的公差， 则， 等比数列的公比，即， 令，当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，的增长远快于，故无解； 故符合题意的的个数为. 7．A 【分析】根据三角形面积公式求得，得，由点到直线的距离公式列出方程，求得的值，即可判断. 【详解】因为，所以， 即，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以“”是“的面积为”的充分不必要条件. 8．C 【分析】利用空间向量法求出球心的坐标，计算球的半径，利用球的表面积公式即得. 【详解】如图，由正四面体的性质可知，顶点在所在平面内的投影为的重心， 连接，则在上，且. 如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.    因为，则，， 所以，，，，，， 取的中点，则， 因为,分别为棱，的中点，所以， 则，，则， 设球心的坐标为，因为，，，均在球的球面上， 所以，， 即， ， ， 解得，，，故得， 所以球的半径为， 则球的表面积为. 故选：C. 9．ABC 【分析】根据子集的定义求解，判断选项A,利用函数定义判断B,解分式不等式，判断C，由奇偶函数定义判断D. 【详解】由,子集个数应该是，故A正确. 由函数的定义，定义域相同，对应关系相同，故B正确. 由,则,故,故C正确. 若是奇函数，且在有定义，则，故D错误. 故选：ABC 10．ABC 【分析】观察图象确定函数的最值，利用最值求出判断选项A，观察图象确定函数的最小正周期判断B，并利用最小正周期与的关系求出，由特殊点坐标求出的值，可得的解析式，根据正弦函数对称性判断C，再利用函数的图象变换判断D． 【详解】对于A，观察函数的部分图象， 可得函数的最大值为，最小值为，又，故，A正确； 对于B，设函数的最小正周期为， 观察图象可得，故，B正确 又，所以，故， 由，可得， 故，，又， ，所以， 对于C，令，，可得，， 取可得， 所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，把的图象向右平移个单位可得的图象，故D错误. 11．ABD 【分析】A选项利用独立事件的概率乘法公式求得；B选项通过列出的分布列计算期望得；C选项通过枚举发现，说明不能简单分解为独立事件；D选项利用（正面次数）及期望的单调性证得. 【详解】对于A，对应于连续次扔出正面，于是，A正确； 对于B，，，，， 则，B正确； 对于C，观察前次扔出连续的次正面并不等价于前次的以及接下来的. 严格计算：，，，C错误； 对于D，不妨设表示前次投掷中出现正面的次数， 于是，则，则，于是，D正确. 故选：ABD 12．或. 【分析】设点，根据抛物线的定义，得到，求得，代入抛物线方程，求得，即可求解. 【详解】设抛物线上与焦点的距离等于6的点为，即， 由抛物线，可得焦点，准线方程为， 根据抛物线的定义，可得，即，解得， 将代入抛物线方程，可得，解得， 所以点的坐标为或. 故答案为：或. 13．2 【分析】利用诱导公式化简，并发现，即可得解. 【详解】由题意得， 则， 所以，故. 故答案为：2 14． 【分析】以为原点，所在直线为轴建立坐标系，得到的坐标，找出三角形为锐角三角形的的位置，计算所求的取值范围． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴建立坐标系，建立平面直角坐标系，如图所示： 因为，， 所以，， 设点， 因为是锐角三角形， 所以，且， 过点作轴与点，过点作，交轴于点， 则在线段上（不与、重合）， 所以， ，，， 则， 由二次函数的性质知，时，， 时，， 所以的取值范围是． 故答案为：． 15．(1)， (2)4 【详解】（1）由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. （2）由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 16．(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取的中点，由条件证明平面，再由线面垂直的性质推得，结合线段中垂线的性质即可得证； （2）由题意建系，利用几何法推得二面角的平面角为，求出相关点的坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】（1）如图，取的中点，连接和， 因为，所以， 又因为，且平面， 所以平面， 因为平面，所以，因， 所以. （2）由（1）知，，平面平面， 所以二面角的平面角为，即， 在平面内，过点作，易知两两相互垂直， 如图，以分别为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以满足，即， 则， 于是， 因为，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17．(1) (2)，，， (3) 【分析】（1）根据条件求得，求得椭圆方程； （2）利用三角形面积公式求得点的纵坐标，代入椭圆方程求得点坐标； （3）联立椭圆方程和直线方程，得到根与系数关系，利用弦长公式列式求解. 【详解】（1）因为，所以，即， 又，则，所以， 所以椭圆的方程为. （2）设点，则，得， 又， ，解得， 所以点的坐标为，，，. （3）设，， 联立，消去整理得， ，，， ， 化简整理得，解得. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出函数在处的切线方程； （2）先通过求导，研究函数的单调性，然后利用零点的存在性定理计算即可得； （3）不妨设，恒成立等价于，化简为，然后，令，然后判断的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，，， ， 故的图象在处的切线方程为，即； （2）， 则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则由题意可得，解得， 即实数的取值范围为； （3）不妨设，恒成立等价于， 即， 令， 由，具有任意性知，在区间内单调递减， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，， 故在上单调递增，故， 故实数a的取值范围是. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据题意求的可能取值以及相应的概率，分析的可能情况，进而运算求解； （2）先求得，分析可知数列是以首项为，公比为的等比数列，根据题意结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）若，由题意可知：， 因为表示巡查节点为宕机节点且修复成功，则， 可得； 又因为表示在的前提下，巡查节点为宕机节点且修复成功的情况，或在的前提下，巡查节点为在线状态且无需修复的情况， 所以. （2）由题意可知：， 且，， 可得， 因为，则， 因为表示在线节点数的期望，则表示宕机节点数的期望， 且，则， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则， 可得数列的前项和， 因为，则，， 可得， 由题意可得：，解得， 所以的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026届高三冲刺仿真训练数学试卷（五） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 3．2025年1~8月份广东省工业机器人、服务机器人、民用无人机、风力发电机组、太阳能电池、新能源汽车产品产量分别增长，则该组数的分位数为（　　） A． B． C． D． 4．已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D． 5．向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．已知等差数列中，，其前项和为．等比数列中，．则满足的的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．直线与圆相交于两点，则“”是“的面积为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．在正四面体中，，，，分别为棱，，的中点，若，，，均在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．已知集合，则M的子集个数是8 B．函数与是同一函数 C．不等式的解集是 D．函数是奇函数，则 10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于直线对称 D．函数向右平移个单位长度后可得到的图象 11．将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是_______________． 13．已知函数，若，则______. 14．在锐角中，，，则的取值范围为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 16．(15分)如图，在三棱锥中，. (1)证明：； (2)若二面角的大小为，且，求平面与平面夹角的余弦值. 17．(15分)已知椭圆的左、右焦点分别为，，，为上一点，且． (1)求的标准方程； (2)若的面积为1，求点坐标； (3)直线与交于，两点，若，求． 18．(17分)已知函数． (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若对区间内任意两个不等的实数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．(17分)某智慧城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点，初始时，2个节点在线，3个为宕机．每个月系统随机等概率巡查1个节点：若该节点为宕机，则修复成功率为；若该节点已在线，则仅进行维护，用表示第个月后在线节点数，表示其期望，且. (1)当时，求； (2)已知每台宕机节点每个月造成2万元经济损失，初始月份不考虑损失，若要求从第1个月开始的总期望经济损失不超过36万元，求的最小值. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $