北京市北京理工大学附属中学2025-2026学年高三下学期考前自测数学试题

理工附2026数学三模试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ） A．-240 B．240 C．60 D．-60 4．已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 6．已知，，若点满足，则点到直线：的距离的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．一位速算大师事前贴出的广告说，他能当着大家的面在几秒钟之内把一个几十位数的几十次方根迅速算出来．当然，涉及的全体数都是整数．某个观众准备的题目是“计算一个35位正整数的31次方根”，速算大师很快就给出正确答案．事实上速算大师仅用了部分数的常用对数近似值（如下表）． 11 12 13 14 15 16 17 18 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18 1.20 1.23 1.26 那么，观众准备的题目的正确答案为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 8．已知数列为无穷等比数列，为其前项和，“存在，对于任意的，”是“存在，对于任意的，”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设．定义点的相伴集合为，其中为正实数．给出以下两个命题： ①若，则其相伴集合所对应平面图形的面积为2； ②设，若对任意实数及任意，集合所对应平面图形与抛物线均无公共点，则．则正确的选项是（ ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 10．已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，，2，3，…），则下列四个结论中正确的是（ ） A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是常数列，则 D．若数列是周期数列，则最小正周期可能为2 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．若是纯虚数，则实数的值为__________． 12．使成立的一组，的值为__________，__________． 13．已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上．若，则直线的方程为__________． 14．海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 15．我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是几何体的高，“幂”是截面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且过点，则双曲线的渐近线方程为______．若直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为_______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．如图，四边形为菱形，，，把沿着折起，使到位置． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离． 17．已知函数，（）的最小正周期为． （1）求的值； （2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为，且． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分． 18．教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． （1）从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； （2）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； （3）从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 19．已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，以线段为直径的圆过的上下顶点，点在上，其中为的离心率． （1）求椭圆的方程和短轴长； （2）点，在上，且在轴的上方，满足，，直线与直线的交点为，求的面积． 20．已知函数（）的最大值为，设函数的图象在点处的切线为． （1）求的值； （2）证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且． 21．给定正整数，设数列：，，…，是，，…，的一个排列．从数列中选取第项、第项、…、第项（），，则称新数列，，…，为的长度为的递增子列．若，则称新数列，，…，为的递减子列．对，表示以为首项的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度． （1）若，，，，，求和； （2）求证：，； （3）求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $