北京市陈经纶中学2026届高三考前模拟练习一数学试题

模拟练习一 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1.已知集合M={x(x+3)(x-1)≤0}，N={xX<2},则MUN=() A.(-2,] B.-3,2) C.(-2,3] D.[-1,2) 2.在复平面内，点(1,2）)对应的复数为ii-a),则实数a=() A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.已知平面向量a=(1,m),5=(2,-2m),则下列结论一定错误的是（) A.allb B.a16 c.月=2g D.a-6=(1,-3m) 4.已知抛物线y=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N,若MF=6, 则△MNF的面积为（) A.8 B.4W5 c.55 D.10W5 5.点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量△L(单 位：dB)与传播距离r(单位：m)的关系式为△L=10g(r2)+k,其中k为常数.当传播 距离为r时，衰减量为△L;当传播距离为2时，衰减量为△L2.若r2=2r1,则△L2-△L1约为 ()(参考数据：Ig2≈0.3) A.6 dB B.4 dB C.3dB D.2 dB 6.已知圆O:x2+yY=1,过直线3x+4y-10=0上的动点P作圆O的一条切线，切点为A, 则PA的最小值为() A.1 B.√2 C.3 D.2 7.对于无穷数列{Q,},定义dn=C+1-C,(n=1,2,3,…),则“{a,}为递增数列”是“{d}为 递增数列”的(）条件 A.充分而不必要B.必要而不充分 C.充分必要D.既不充分也不必要 8.如图所示，半圆的直径AB=6,O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则PA+PB·PC的的取值范围为 A.L-.0]B.L2.0]C.(2.0] B 9.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1， 0 它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱 ABF-CDE和BDG-ACH是两个完全相同的直三棱柱，侧棱EF与GH互相垂直平分， EF,GH交于点I,AF=BF=a,AF⊥BF,则点G到平面ACEF的距离是( 试卷第1页，共6页 B 图1 图2 A.V3 c5。 2 10.在直角坐标系xOy中，全集U={(xy)x,y∈R,集合 A={(x,y)xcos8+(y-4)sin8=1,0≤8≤2n},已知集合A的补集8A所对应区域的 对称中心为M,点P是线段+y=8(X>0,y>0)上的动点，点Q是x轴上的动点， 则△MPQ周长的最小值为() A.24 B.4W0 C.14 D.8+4W2 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 11,已知双曲线千X1的一条渐近线的方程为y=2x,则孩双曲线的离，心率为 12.若(x-11)”的展开式共有6项，则展开式中所有二项式系数之和为 13.已知直线x=背为函数f=co0wX+孕ω>0图象的一条对称轴，则满足条件的 一个w的取值为 一若fW在区间（号0）上有零点，则ω的最小值为 已知函数f()= 1a*-1l,x≤1 14. (2-x-)+1x>1'其中0>0且a≠1.若关于×的方程 f(X)=a-3恰有三个不相等的实数根X,X2,,则a的取值范围为一，且×+2+为的 取值范围为」 15.已知无穷数列{0，}满足下列三个性质： 试卷第2页，共6页 (i)q=0,C2≠0； (i)对任意的neN,an∈Z; (i)对任意的n≥2，都有0n+2-C,=Cn-0n-1: 则下列说法正确的是一 ①当Q2=1,4=2时，a。=2; ②当a=2时，存在单调递增的数列{q,}满足上述条件； ③当C2>C马3>0时，Ck>0对任意的k∈N成立； ④对于任意数列{a,},总存在m∈N,使得对任意的n>m,都有QnCn<0. 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.在△ABC中，已知V3c=V36cosA+asin B (1)求B的大小： (2)在下面3个条件中选一个，使得△ABC唯一存在，并求其面积. ①b=√T3,a=4②A=7,b=23③c=4,b=√21 4 17.如图，在四棱锥A-BCFG中，十ABC是边长为4的等边三角形，四边形BCFG为 菱形，∠CBG=60°，平面ABC⊥平面BCFG,D为棱AB的中点，记平面ABC和平 面AFG的交线为/. ---B (1)证明：/∥BC; (2)在线段CG(不含端点)上是否存在一点E,使得直线DE与平面ACF所成角的正 试卷第3页，共6页 C 弦值为 6? 若存在， CG的值：若不存在， 请说明理由， 10 18.某学校为提升学生的科学素养，所有学生在学年中完成规定的科普学习任务，并通过 科普测试获得相应科普过程性积分。现从该校随机抽取60名学生，获得其科普测试成绩（百 分制，且均为整数)及相应过程性积分数据，整理如下表： 科普测试成绩x科普过程性积分人数 90≤x≤100 3 20 75≤X<90 2 10 60≤X<75 15 0≤X<60 0 15 用频率估计概率： (1)从该校全体学生中随机抽取一名学生，估计这名学生科普过程性积分不低于2分的概 率； (2)从该校全体学生中随机抽取三名学生，估计这三名学生的科普过程性积分之和恰好为 6分的概率； (3)从该校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生科普过 程性积分之差的绝对值不超过1的概率估计值记为p1,这两名学生科普过程性积分之差的 绝对值不低于1的概率估计值记为p2,试判断p1和p2的大小（结论不要求证明)。 试卷第4页，共6页 19.如图所示，已知点A、B、C、D均在椭圆「：X±y=1上，点A在第一象限，直线AB 直于x轴，直线AC分别与y轴正半轴和x轴负半轴交于点E、F,E为线段AF的中点，直 线BD经过点E y D B (1)若F为椭圆「的左焦点，求aFAB的周长； (2)求当直线CD的倾斜角取得最小值时点A的坐标. 20.已知函数f×)=m-lnx-受oeR). (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)若f(X存在极值，求实数a的取值范围： (3)求证：对任意a∈R,都存在m,n∈(0，+o),使得f(m)f(n)<0. 试卷第5页，共6页 21.记集合0=(a,C2,…,a)川g∈{0,1，i=12…,(n>2).对任意a=(a,92,…,Q,)∈0， B=(h,b2,,b,)∈Q,记d(a,B)=(a-bl,la2-bl,…,an-bnD,对于非空集合AcQ,定 义集合D(A)={d(a,B)Ia∈A,B∈A八 (1)当n=2时，写出集合Q;对于A={(0,0),(0,1),(1,0},写出D(A: (2)当n=3时，如果D(A)=Q,求card(A,的最小值 (3)求证：card(D(A)≥card(A). (注：本题中，card(A)表示有限集合A中的元素的个数.) 试卷第6页，共6页 《高考模拟一》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B D D C A C 0 A B B 3.D 【分析】根据向量共线的坐标表示求出参数的值，即可判断A;根据a.b=0及数量积的 坐标表示求出m,即可判断B;表示出问，5， L+ 即可判断C；根据平面向量线性运算的坐 标表示判断D. 【详解】对于A:若db,则1x(-2m)=2m,解得m=0,故A正确； 对于B:若a16,则a.6=1×2-2m=0,解得m=±1，故B正确； 对于C:因为日=v1+m,|5=V2+(←2m2=V4+4m=2+m, 显然问=2d,故C正确： 对于D:a-5=(1,m)-(2,-2m)=（-1,3m),故D错误 故选：D 4.C 【分析】确定抛物线的焦点和准线，根据MF=6得到M(5,25)，计算面积得到答案. 【详解】因为抛物线y=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1, 所以MF=xM+1=6,故xM=5 不妨设M在第一象限，故M(5,2V5), 2=41 所以Se=2×5-0)x25=55 故选：C 5.A F1,0) 【分析】利用给定的模型，结合对数运算计算得解 【详解】依题意， △L2-△L=10.1gm)+k-101gmr)-k=201g2=20lg26(B）. 故选：A 6.C 【分析】连接P0,PA=|PO2-r2,当PO最小时，PA最 小，计算点到直线的距离得到答案 【详解】如图所示：连接Po,则PA=Po-r2, 当PO最小时，1PA最小，P0m=上10-2 V32+42 故PA的最小值为√2-1=√， 故选：C 7.D 【分析】由递增数列的性质，分别判断充分性和必要性即可. 答案第1页，共13页 【详解】{a}为递增数列时，有d,=an1-an>0,不能得到{d}为递增数列，充分性不成 立； {d}为递增数列时，不一定有d。>0,即不能得到{a}为递增数列，必要性不成立 所以“{a,}为递增数列”是“{d,}为递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 8.A 【详解】因为点O是线段AB的中点，所以向量PA+PB=2PO,所以 (PA+PB).PC=2PO.PC. 又因为向量PO,PC方向相反， 所以2Po.pc-2po|pcl=-2pol6po26poo)-2Po-3-多号 9.B 【详解】取AC中点M,，连接MW,过G作M的垂线交M的延长线于点K, B 取AB中点N,连接FN, 由已知，M、I分别为AC、EF中点， 因为ABF-CDE是直三棱柱，所以AF⊥AC,EF/AC且EF=AC, 所以FIIIAM且F1=AM,所以四边形AMIF为平行四边形， 又AF⊥AC,所以AMIF为矩形，所以EF⊥MK, 又EF⊥GH,MKc平面KIG,GHI平面KWG,MKnGH=I, 所以EF⊥平面KWG,KGc平面KWG,所以EF⊥KG, 又因为KG L MK,EFc平面ACEF,MKc平面ACEF,EF MK=I, 所以KG⊥平面ACEF,所以点G到平面ACEF的距离等于线段KG的长度，设为h; AF⊥BF,在RtABF中，AF=BF=a, 答案第2页，共13页 所以A8=V+d=V2a,设角∠FA8=0,则有sin9= 2 因为四边形AMMF为平行四边形，所以MM/AF, 又因为BDG-ACH是直三棱柱，所以AB//HG,且HG=AB=√2a, 所以∠KG=∠FAB=9,1G=V2@ 2 又因为KG1平面ACEF,IKc平面ACEF,所以KG⊥IK, 所以sn6、 KG_hh√2 G2。即2.2，解得h= a 2 2 所以点G到平面ACEF的距离是 故选：B. 10.B 1 【详解】点(0,4)到直线cos8+(y-4)sin8=1的距离d= ==1 Vcos+sin2e ∴.直线Xcos8+(y-4)sin8=1始终与圆x2+(y-4)=1相切， ·集合A表示除圆X2+(y-4)2=1以外所有的点组成的集合， ∴集合CuA表示圆x2+(y-4)2=1,其对称中心M(0,4)如图所示：设M'是点M(0,4) b-4=1 关于直线线段X+y=8(X>0,y>0)的对称点，设M'(a,b),则由 a-0 求 a+0.b+4 [2+2 =8 6=8可得M'(48).设M关于×轴的对称点为M(mn),易得M"(4-8),则直线 a=4 得 QM',和线段的交点为P,则此时，△MPQ的周长为 答案第3页，共13页 MP+PQ+QM =PM'+PQ+QM =MQ+QM =M'Q+QM =M'M=410, 小值. M 故选：B 11.5 12.32 13.1,4 2 14.①.3<a<4 ②.+2+<2 【详解】当0<a<1时，函数y=f(的图象及直线y=a-3如图： y=f(x) =a-3 当1<a<2时，函数y=f(W的图象及直线y=a-3如图： yf(x) y=a-3 当a=2时，函数y=f(X)的图象及直线y=a-3如图： 答案第4页，共13页 y=f(x) y=a-3 当a>2时，函数y=f(X)的图象及直线y=a-3如图： YA y=f(x) =a-3 观察图象知，当且仅当a>2且0<a-3<1,即3<a<4时，函数y=f(X)的图象及直 线y=0-3有3个交点， 即方程f(X=a-3有三个不相等的实数根为，2，X,不妨令X<X2<为， 则为= 。2)e2到，由fx)=fx).得1-0=0-1，即c的+的=2 因此0=产，0<0=1则%+%<0，所以名+为+名<2 15.①③④ 【详解】对于①：当q=0,C2=1,C=2, 由(i)对任意的n≥2，都有0n+2-0,=Cn-Q,1,可得0+2=20n-0n1, 可得04=2a2-a1=2×1-0=2;q=2C-02=2×2-1=3; C。=204-0=2×2-2=2,所以①正确： 对于②，若c2=2,若存在单调递增整数列，则必须0=C<C2<C<04, 即0<2<C<a4,且04=202-q=4, 答案第5页，共13页 所以2<g<4,因为C3∈Z,所以a=3,此时C=20-02=4, 所以C=Q4,所以②错误； 对于③：当02>C>0时，则02-q3>0 由04=202-a1=202>0;a5=2a3-02; a6=2a4-03=4a2-q3>3a3>0;C7=2C-04=4C-402, a8=2a6-a5=2(4a2-a3)-(2a3-a2)=9a2-4a3>5a3>0,…, 且02-q1>0,04-C3>0,06-05>0,…,即02>q,04>3,C%>C,C%>07,…, 归纳可得C2k=202k-2-C2k-3且C2k-2>C2k-3,所以C2k>0,所以③正确： 对于④，由特征方程r3-2r+1=0，可得(r-1)(r2+r-)=0, 解得5=1，=1+5,6=15，则Q.=A+8a+Cg 2 其中a=一1+√5，B=。2·则1a≤1,1≥1， 2 假设C=0,则an=A+Ban, 因为a是无理数，要使得所有0∈Z,必须B=0, 否则α会产生无理数的部分，无法始终抵消， 因B1>1,所以Q。~CB”,因为B<0,所以B符号交替， 所以当充分大时，Q+1O。<0成立，所以④正确； 16.写 (2)答案不唯一，具体见解析 【分析】(1)利用正弦定理将边变角，然后整理化简可得B的大小； (2)利用正弦余弦定理求出三角形其他边角，再利用面积公式求出面积 【详解】(1)：√3c=√36cosA+asinB 答案第6页，共13页 由正弦定理得√3sinC=√3 sin BcosA+sin AsinB..2分 .3sin BcosA+sinAsin B=3sin(A+B)=3sin AcosB+3sin BcosA .sin Asin B=3sin Acos B,......4 :sinA≠0.sinB=√3cosB,即tanB=√3， 又0<8<m,8-号6分 (2)选①：b2=a2+c2-2 ac cos B :13=16+c2-2×4×cxc0s3 .c=1或c=3,所以△ABC不唯一存在 所以①不能选； b 0= 23 选②： sinA sinB 即 sin sn交8分 4 0=2√2.9分 A云8=号 sinc-sin(A+B)-sinAcOsB+cosAsinB32 2222 4 .11分 5bsnc-722643+g…13分 4 选③b2=a2+c2-2 accos B .8分 即21=a2+16-2×0×4×c0s 3 .9分 ∴.a=5或a=-1(舍)】 .11分 s-3rsnB-2x5x6sn号=5 ...13分 CE 1CE 7 17.(1)证明见解析 (2)存在， ，或 cG=4或cG9 (1)证明：四边形BCFG为菱形，∴.FG∥BC,…1分 ,'FGc平面AFG,BC￠平面AFG, ∴.BC/1平面AFG, …3分 ,BCc平面ABC,平面ABC∩平面AFG=/, ..I Il BC. .…5分 (2)取BC的中点O,连接OA,OG, 十ABC是边长为4的等边三角形，∴.OA⊥BC,…6分 四边形BCFG为菱形，∠CBG=60°，.△CBG为等边三角形，OG1BC,…7分 答案第7页，共13页 ,平面ABC⊥平面BCFG,平面ABC∩平面BCFG=BC,OGc平面BCFG, OG 1 BC, .OG⊥平面ABC, …8分 以O为坐标原点，以OA,OB,OG所在直线分别为X,y,z轴，建立空间直角坐标系， D B y 则0(0,0,0)，A23,0,0,B(0,2,0),C(0,-2,0),D(√3,1,0)，F(0,-4,23) G(0,0,23, AC=(-23,-2,0,AF=(-23,-4,23,AD=(-31,0),9分 设平面ACF的法向量为m=(×,y,z), 则元1AC 由/mAc=-2x-2y=0 mL AF mAF=-23x-4y+2V3z=0 令x=1,则y=-V3,z=-1,m=(1,-3,-1, …11分 假设在线段CG(不含端点)止存在点E,使得直线DE与平面ACF所成角的正弦值为Y6 10 设CE=CG,0<A<1, 则DE=DC+CE=DC+CG=(-3,-3,0+(0,2,23=-5,2A-3,23), 平面ACF的法向量为m=1,-3,-1. …12分 直线DE与平面ACF所成角的正弦值为y6 10 答案第8页，共13页 lcos(m,DE引= mDE。 |23-43a 刷DE-5×√3+(2a-3)2+1212 101 7 > 整理得3612-37入+7=0.解得入=4或入= 所以在线段CG(不含端点)上存在点E,当 CE 1CE 7 =或 时， CG4×CG 9 直线DE与平面ACF所成角的正弦值为y6 …14分 10 18.解：(1)由表知，科普过程性积分不低于2分的学生人数为10+20=30， 则从样本中学生的科普过程性积分不低于2分的频率为积=号 所以用频率估计概率，从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不低于2分 的概率估计值为。 …4分 (2)所以从该校学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为0分的概率估计值 为品-京，这名学生的科普过程性积分为1分的概率估计值为品=日，这名学生的科普过 程性积分为2分的概率估计值为品=日，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计值 为品= …7分 设“从该校随机抽取三名学生，这三名学生的科普过程性积分之和恰好为6分”为事件A, .8分 P(A)=(启)3+3×(2x+6x×言×号=品 37 ……10分 (3)从该校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取1名学生，这名学生的科普过程性 积分为1分的概率估计值为号=号，这名学生的科普过程性积分为2分的概率估计值 为8-号，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计值为碧-专， P1-P2=这两名学生科普过程性积分之差的绝对值为0的概率-积分之差的绝对值为2的 概率=(2+（原2+（侍-2x×=器-兰>0.围p1>P2 ……13分 19.(1)8 答案第9页，共13页 【详解】(1)解：设直线AB与x轴交于点G,如图所示， y D :E为AF的中点，O为FG的中点， G .OE是△AFG的中位线，∴.OF=OG,...1分 .G为椭圆「的右焦点， .AF+AG=2a,BF+BG=2a, .3分 ∴.△FAB周长为：AF+BF+AG=(AF+AG)+(BF+BG)=2x2a=8. .4分 (2)设A(m,n),:点A在第一象限，∴.m>0,n>0, 则B(m-n,F(-m0,E(0号 .6分 设直线AC斜率为k,则k= 2m 直线BD的斜率kD=- 3n=-3, 2m 则直线AC的方程为y=:+?,直线BD的方程为y-3+ n .8分 将两直线方程分别代入椭圆方程，得 (1+4k2)x2+4nx+n2-4=0,（1+36k2）X2-12knx+n2-4=0, 设cx.0%i,则m=平旋m%=脸 .10分 1 3 直线CD的斜率：k。=当-业-k名+3)=kx1+4级+1+36吧 ×-2X-X2 1 1 1+4k21+36k2 4+48k21.3k =kx- 32kK28k+2 .12分 答案第10页，共13页 品0.南w安警2受号 2m 2 当且仅当。 3头时，等号成立，即k=5时取等号，…13分 k2 所以当CD斜率取得最小值时，k=”= , 即m=3n, 2m6 又点A在椭圆上，且m>0,n>0, m+2=1, 22.n2 即点A的坐标为 2W212W7 ..15分 7 7 77 20.(1)y=x-1 (3)证明见解析 【详】当0-1时.f=nx-=1是1.2分 .f"(1)=1,又f()=0,.3分 ∴.曲线y=f(x)在点(1f(1)处的切线方程为：y=x-14分 (2)0f=-x20eR.f约-0g10x0 X2 当a≤0时，f'(x)<0,f(x)在(0，+∞)上单调递减，无极值；5分 1 当0<a<2时，令f'(x)=0,即ax-x+a=0, 解得x=1-v行4 1+V1-4a2 一，X2= …6分 2a 2a 当0c02时，4-1ge101,≤=1+ 2a 2a -∈(1，+0)， (0,x) (x,2) X2 (,+∞) f”(x) 0 0 f(x) 7 极大值 极小值 .f(x)的单调递增区间为(0，x),(,+∞)，单调递减区间为(x,2),x,为函数的两个极 答案第11页，共13页 1 值点，故0<0<2符合题意： 8分 .4a2-1 当a22时. f'(x=2-x+0 2a 4a2 ≥0 .∫(x)在(0，+∞)上单调递增，无极值.9分 综上，实数¤的取值范围为 02 ..10分 (3)①当a≤0时，由(2)知，f(x)在(0，+∞)上单调递减， 令m交n2.则fim>f刊=-0fo<f刊=0.÷fmfn<0:1分 ②当0<a<2时，f(x)为极大值，f()为极小值， .f(x)>f(1)=0,f(x2)<f(1)=0, 令m=x,n=x2,则f(m)f(n)<0;.13分 ③当a≥2时，f(y在(0+0)上单调递增，令m=2n=2, f(n)>f(1)=0,f(m)<f(1)=0,f(m)f(n)<0;.14分 综上，对任意a∈R,都存在mn∈(0，+o),使f(m)f(n)<0..15分 21.(1)Q={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)};D(A)={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1}(2)5(3)证明见解析 【分析】(1)根据定义直接写出集合Q,再根据D(A)的定义写出D(A); (2)设card(A)=m,则card(Q)=8,则由题意可得C2≥7，从而可求得结果； (3)设A中的所有元素为a1,a2,,am,其中m=card(A),记a=d(a,a)(i=1,2,…,m), 先利用反证法证明这些α互不相等，再根据定义证明即可. 【详解】(1)0={(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1}： 若A={(0,0),(0,10,(1,0},则D(A={(0,0),(0,1),(1,0),(11}4分 (2)Card()的最小值为5..5分 证明如下： 设card(A)=m. 因为card(Q)=2-8,除(0,0,0)=d(a,B)外，其它7个元素需由两个不同的a,B计算得 到，所以Cm≥7，解得m≥5..7分 当A={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1}时，有D(A)=0,符合题意 答案第12页，共13页 9分 (3)证明：设A中的所有元素为a1,a2,,am,其中m=cadA). 记a吲=d(a,Q1)（i=1,2,…,m),则这些a互不相等.10分 证明如下：如果存在i≠j,d(a,a)=d(aj,a), 则d(a,a),d(a,a)的每一位都相等， 所以a,Q,的每一位都相等， .12分 从而a,=a1,与集合A中元素的互异性矛盾..13分 定义集合D'(A)={a,a2,,a},则card(D'(A)=m=card(A).14分 又D(A)2D'(A), 所以card(D(A)≥card(D'(A)=card(A)...15分 【点睛】此题考查集合的新定义，考查集合间的关系，解题的关键是对集合新定义的正确 理解，考查理解能力，属于难题 答案第13页，共13页